文档内容
人教 专题 15.1 分式（6 个知识点 4 种题型 4 个易错点 2 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.分式的概念
知识点2分式有意义、无意义的条件（重点）
知识点3.分式的值为0的条件（重点）
知识点4.分式的基本性质（重点）
知识点5.约分、最简分式（重点）
知识点6.通分（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.分式有、无意义与分式的值
题型2.分式基本性质的应用
题型3.分式的化简求值
题型4.分式的探究创新题
【方法三】差异对比法
易错点1.分式的值为0时，忽略分母不为0的条件
易错点2.对分式的基本性质理解不透，导致错误
易错点3.约分不彻底
易错点4.不该约分的进行约分而造成错误
【方法四】 仿真实战法
考法1.分式的值为0的条件
考法2.分式的约分
【方法五】 成果评定法
【学习目标】1. 了解分式、最简分式和最简公分母的概念；能确定分式有（无）意义的条件、分式的值为0的条件。
2. 理解分式的基本性质，并能利用基本性质对分式进行通分或约分。
3. 体会类比、转化等数学思想，并用来学习分式问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.分式的概念
1．分式
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．
一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式．
【例1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握“分母中含有字母的式子叫做分式”是解题的关键，利用分式的
定义逐一判断即可．
【详解】解：A、 分母中不含字母，故不是分式，不符合题意；
B、 分母中不含字母，故不是分式，不符合题意；
C、 分母中含字母，故是分式，符合题意；D、 分母中不含字母，故不是分式，不符合题意；
故选：C．
【变式】列代数式 ， ， ， ， 中，分式有（ ）个．
A
． B． C． D．
【答案】D
【解析】除了 之外其余的都是分式．
【总结】考查分式的概念．
知识点2分式有意义、无意义的条件（重点）
1. 分式有意义条件：分母不为0。
2. 分式无意义条件：分母为0
【例2】分式有意义的条件是 ，无意义的条件是 .
【答案】分母不等于0，分母等于0
【详解】根据分式的定义即可得出答案.
解：分式有意义的条件是分母不等于0，无意义的条件是分母等于0.
故答案为分母不等于0，分母等于0.
知识点3.分式的值为0的条件（重点）
分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零即当A=0 且B≠0时，
【例3】能使分式 的值为 0 的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式为 的条件列出关于 的不等式组，求出 的值即可．
【详解】解：要使 的值为 ，
，
解得： ；
故选：A．【点睛】本题考查的是分式的值为 的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答
此题的关键．
知识点4.分式的基本性质（重点）
分式的基本性质
（M为不等于0的整式）
【例4】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）根据分式的基本性质，把分式
中的分子、分母的 ， 同时书大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变 D．不改变
【答案】D
【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质进行解
答即可，熟记分式基本性质是解题的关键．
【详解】解：根据分式的基本性质可得，把分式 中的分子、分母的 、 同时扩大2倍，
即 ，则分式的值不改变．
故选：D．
【变式】（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）将分式 中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的
值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，利用分式的基本性质即可完成．
【详解】解： ，
当分式 中的x，y的值都扩大为原来的2倍时，分式的值不变．
故选：A．
知识点5.约分、最简分式（重点）1.约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫
做分式的约分.
2.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【例5】（2023上·山东淄博·八年级统考期中）若分式 可以进行约分化简，则该分式中的A不
可以是（ ）
A．1 B．x C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的约分．分别令 ， ， ， ，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、若 ，则 ，能约分，故本选项不符合题意；
B、若 ，则 ，能约分，故本选项不符合题意；
C、若 ，则 ，不能约分，故本选项符合题意；
D、若 ，则 ，能约分，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式】（2023·全国·八年级专题练习）分式 、 、 、 中，最简分式的个数是
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了最简分式．掌握分式的化简过程，首先要把分子、分母分解因式，观察分子、分母中
有无公因式是解答本题的关键．
根据最简分式的标准：分子、分母中不含有公因式，不能再约分．得到以上分式中只有 是最简分式，
选出答案．【详解】解： ，分子分母有公因式 ；
，分子分母有公因式 ；
，分子分母有公因式 ；
分式 、 、 、 中，最简分式是 ，共有1个；
故选：A
知识点6.通分（难点）
通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式
化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
【例6】（2023上·河北邢台·八年级校考期中）若将分式 与分式 通分后，分式 的
分母变为 ，则分式 的分子应变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴分式 的分子应变为 ，故选：A．
【方法二】实例探索法题型1.分式有、无意义与分式的值
1.分式 中，当 时，下列结论正确的有 ．（填序号）
①分式的值为零；②分式无意义；③若 ，分式的值为零；④若 ，分式的值为零．
【答案】③
【分析】根据分式为零的条件列出不等式，解答即可．
【详解】由 ，得 ．把 代入分式 中，当 且 ，即 时，分式的值
为零，则③正确．
故答案为：③．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题
的关键．
题型2.分式基本性质的应用
2.（2023上·全国·八年级课堂例题）对分式 的变形，甲同学的做法是：
；乙同学的做法是： ．请根
据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确．
【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析
【分析】根据分式的基本性质分析判断即可．
【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以 ，而由分式有意义可知 ，所以甲同学的
做法正确；
乙同学将分式的分子、分母同时乘 ），但 的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错
误的．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键．
题型3.分式的化简求值
3.（2023上·四川内江·八年级校考阶段练习）已知： ，则 ；
【答案】7【分析】将 进行平方，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：7．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握平方法求分式的值，是解题的关键．
题型4.分式的探究创新题
4．阅读理解：
类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；
类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似
地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.
拓展定义：
对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如： ；
.
理解定义：
（1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号）
① ；② ；③ ；④ .
拓展应用：
（2）将分式 化成整式与真分式的和的形式；
（3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式．
【答案】（1）③；①②④；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；
（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．
【详解】（1）① ，是假分式；
② ，是假分式.
③ 是真分式；
④ ，是假分式；
（2） = = = = ，
（3） .
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．
【方法三】差异对比法
易错点1.分式的值为0时，忽略分母不为0的条件
1.已知分式 的值为 ，求 的值．
【答案】 ．
【解析】分母不为零，分式有意义；分母为零，分式无意义；分子为零且分母不为零，则分 式值为零．
【总结】考查分式有意义、无意义以及分式值为零的条件
易错点2.对分式的基本性质理解不透，导致错误
2.（2023上·山东泰安·八年级统考期中）将分式 的 、 均扩大2倍，则分式的值（）
A．不变 B．扩大4倍 C．缩小4倍 D．不能确定
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质“分式的分子与分母同乘（或除以）一个
不等于0的整式，分式的值不变”是解题的关键．
利用分式的基本性质进行计算，即可解答．【详解】由题意得： ，
∴将分式 的 、 均扩大2倍，则分式的值不能确定，
故选：D．
易错点3.约分不彻底
3.约分：
（1） ； （2） ；（3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】（1）原式 ； （2）原式 ；
（3）原式 ； （4）原式 ．
【总结】本题一方面考查因式分解的运用，另一方面考查分式的约分．
易错点4.不该约分的进行约分而造成错误
4.当 是什么数时，分式 无意义？
【答案】 ；
【注意】不能约分化简
【方法四】 仿真实战法
考法1.分式的值为0的条件
1.（江苏盐城·中考真题）使分式 的值为零的条件是x=
【答案】
【详解】解：根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式 的值为0，
则必须 ，解得：
∴ ．
故答案为：
考法2.分式的约分
2.17．（2023·安徽·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
当 时，
∴原式= ．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·全国·八年级专题练习）若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
解得 ，
故选：B．2.（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）将分式 中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值
（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，利用分式的基本性质即可完成．
【详解】解： ，
当分式 中的x，y的值都扩大为原来的2倍时，分式的值不变．
故选：A．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）若 的值为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的值，根据题意得到 ，再代入 中计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：A．
4．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）把分式 中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值
（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的一半
【答案】A【分析】将x，y的值用 代替，根据分式的性质化简．
【详解】解： ；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质；掌握分式的性质是解题的关键．
5．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义：形如 (A、B都是整式且B中含有字母)
的式子叫分式．
根据分式的定义进行分析判断．
【详解】解：A、是整式，不是分式，符合题意；
B、是整式，不是分式，不符合题意；
C、该式是整式，不是分式；
D、该式的分母有字母，是分式，
故选∶D．
6．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）要使分式 有意义，则x 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0解答．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】此题考查分式有意义的条件：分母不等于0，熟记条件是解题的关键．
7．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）在 中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A
【分析】考查分式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握分式的定义，注意 不是字母，是常数．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：在 中，分式有 共计2个．
故选： ．
8．（2023上·湖南郴州·八年级校考期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了最简分式的定义，根据分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即
可．
【详解】解： 的分子与分母不含公因式，属于最简分式，选项A符合题意；
，该分式的分子与分母含公因式 ，不是最简分式，选项B不符合题意；
，该分式的分子与分母含公因式 ，不是最简分式，选项C不符合题意；
，该分式的分子与分母含公因式 ，不是最简分式，选项D不符合题意；
故选A
9．（2023上·河北承德·八年级统考期中）若 表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分
母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】解：A、当☆为 时， ，不是最简分式，故该选项不符合题意；B、当☆为 时， ，是最简分式，故该选项符合题意；
C、当☆为 时， ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D、当☆为 时， ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
10．（2023上·湖南郴州·八年级校考期中）下列代数式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果
不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数．
【详解】解： 、 、 为整式，故选项A、C、D不符合题意；
为分式，故选项B正确；
故选：B．
二、填空题
11．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）若分式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知“分式的分母不为0”时分式有意义是解题的关键．
【详解】解：
故答案为： ．
12．（2023上·天津滨海新·八年级天津经济技术开发区第一中学校考期中）下列各式 ， ， ，
中，分式有 个．（填个数）【答案】2
【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义即可求解，熟记：“如果A、B表示两个整式，并且B
中含有字母，那么式子 叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母” 是解题的关键．
【详解】解：分式的有： ， ，
则分式有2个，
故答案为：2．
13．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）若 ，则 ．
【答案】
【分析】由 可得 ，结合 ，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的求值，熟练的利用整体代入法求解分式的值是解本题的关键．
14．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）若分式 无意义，则 的值为 ．
【答案】5
【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案．本题考查的是分式有意义的条件，熟知分
式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
【详解】解：若分式 无意义，
则 ，
解得： ．
故答案为：5．
15．（2023上·湖南郴州·八年级校考期中）分式 与 的最简公分母是 ．
【答案】【分析】本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的
公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最
高次幂，所有不同字母都写在积里．
【详解】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分
母为：
故选： ．
16．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校联考阶段练习）若分式 无意义，则 的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】本题考查分式无意义的条件，根据题意得到分母等于0，得到 ，进而求解．掌握分式无
意义的条件是分母等于0是解题的关键．
【详解】∵分式 无意义，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
17．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校联考阶段练习）若分式 的值为零，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据 且 即可求解．
【详解】解：依题意， 且
解得： ，
故答案为： ．
18．（2023上·辽宁锦州·九年级统考期中）如果 ，那么 ．
【答案】【分析】根据比例的性质，分式的性质，分式加减运算即可求解，本题主要考查分式的运算，比例的性质，
掌握以上知识的运用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
19．（2023上·河北邢台·八年级校考期中）已知分式 ．
(1)当 为何值时，该分式无意义；
(2)当 为何整数值时，该分式的值为正整数．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得 ，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条
件是解题的关键；
（2）根据题意分别令 或 ，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键．
【详解】（1）解： 该分式无意义，
，
解得 ，
即当 时，该分式无意义．
（2）解： 该分式的值为正整数，且 也为整数，
或 ，
解得 或 ，
即当 或 时，该分式的值为正整数．
20．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）已知：代数式(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
【答案】(1) 时，该式无意义
(2)
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；
（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则 ，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得，当 时，代数式 无意义；
所以 时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时， ，
即 ．
【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题
的关键．
21．（2021上·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图1，已知 ，
，且 的值为0．
(1)求A，B的坐标；
(2)若C点与B点关于y轴对称，M点在二象限， 且 ，若 ，请判定 与 的
关系，并证明．
(3)如图2，若C点与B点关于y轴对称，点G在二象限，作 且 ，连接BE，点F
为 的中点，请判定 与 的位置关系，并证明．【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
(3) ，证明见解析
【分析】（1）利用分式的值为零的条件求解即可；
（2）作 于E， 和 交于点E，先证明 ，再证 是 的垂直平分线，得
，利用等腰三角形的性质即可求证；
（3）延长 至H，使 ，连接 交 记作V点，先证 ，再证
得 ，用等腰三角形的三线合一即可求证；
【详解】（1）解：由题意得，
∴ ，
∴ ， ；
（2）证明：如图1，
，理由如下：
∵C点与B点关于y轴对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于E， 和 交于点E，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图2，
，理由如下：
延长 至H，使 ，连接 交 记作V点，
∵F是 的中点，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图
形，是一道综合型的试题，正确构造等腰三角形是解题的关键．
22．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）当 取什么值时，分式 的值为零？
【答案】
【分析】根据分子为零，分母不为零，则分式的值为零，即可求解．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
∴ ，
即当 时，分式 的值为零．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，特别注意当分子为零时，还要考虑分母不为零．
23．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若x，y均为实数， ， ，求 的值．
【答案】1
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出 ，再根据积的乘方法则得出
，得出 ，从而求出答案．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，分式的求值，根据运算法则将式子进行相
应的换算是解题的关键．
24．（2022·安徽合肥·校考模拟预测）观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第 个等式为： ，通过对等式的左边的运算即可
证明．
【详解】（1）解：第5个等式为： ，故答案为： ；
（2）猜想：第 个等式为： ，
证明：等式左边
右边，
故猜想成立．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
25．（2021上·陕西延安·八年级校考阶段练习）（1）约分： ；
（2）通分： 与 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）分子，分母都含有 ，即可得；
（2） 与 的最简公分母是12x2y，即可得
【详解】解：（1） ．
（2）∵ 与 的最简公分母是12x2y，
∴ ．
【点睛】本题考查了约分，通分，解题的关键是掌握约分，确定最简公分母．26．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）约分： ．
【答案】
【分析】根据提公因式、平方差公式、完全平方公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形
叫做分式的约分．
