文档内容
15.2 分式运算
【考点1:分式的乘除】
【考点2:同分母分式的加减】
【考点3:异分母分式的加减】
【考点4:分式混合运算】
【考点5: 分式化简求值】
【考点6:科学计数法】
【考点7:负指数整数幂】
知识点1：分式的乘除
分式的乘除法运算
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，
乘法
即
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，
除法 即
知识点2：分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
a n an
b bn n
（ 为正整数）.
⑴、 （ 是正整数） ⑵、 （ 是正整数）
⑶、 （ 是正整数）
⑷、 （ ， 是正整数， ）⑸、 （ 是正整数） ⑹、 （ ，n是正整数）
知识点3：同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
a b ab
c c c .
注意：
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不
然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
知识点4：异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd .
注意：
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分
式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分
式.
知识点5：科学记数法
科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n
是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法．
注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d
的指数 n=m+1．
【考点1:分式的乘除】【典例1】分式计算：
2x 3 x ( a2b ) 3 2a ( c ) 2
(1) ÷ ⋅ (2) ÷ ⋅ ．
5x−3 9−25x2 5x+3 −cd3 d3 2a
2
【答案】(1)− x2
3
a3b3
(2)−
8cd6
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可；
（2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可．
2x −(5x+3)(5x−3) x
【详解】（1）解∶ 原式= ⋅ ⋅
5x−3 3 5x+3
2
=− x2 ；
3
a6b3 d3 c2
（2）解：原式= ⋅ ⋅
−c3d9 2a 4a2
a3b3
=− ．
8cd6
【变式1-1】计算：
a+2 a2−4a+4 a2−4 x2−1 2x2−2
(1) ⋅ ÷ ； (2) ÷ ÷(x−1) 2 ．
a2−2a+1 a+1 a2−1 x2+2x+1 4x2+8x+4
a−2
【答案】(1) ；
a−1
2
(2) ．
(x−1) 2
【分析】（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可；
此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
a+2 a2−4a+4 a2−4
【详解】（1）解： ⋅ ÷
a2−2a+1 a+1 a2−1a+2 (a−2) 2 (a+1)(a−1)
= × ×
(a−1) 2 a+1 (a+2)(a−2)
a−2
= ；
a−1
x2−1 2x2−2
（2）解： ÷ ÷(x−1) 2
x2+2x+1 4x2+8x+4
(x+1)(x−1) 4(x+1) 2 1
= × ×
(x+1) 2 2(x+1)(x−1) (x−1) 2
(x+1)(x−1) 4(x+1) 2 1
= × ×
(x+1) 2 2(x+1)(x−1) (x−1) 2
2
=
．
(x−1) 2
【变式1-2】计算：
2x2 5 y 10x2 a2−4 4a2b+8ab
(1) · ÷ ； (2) ⋅ ．
3 y2 6x 21y❑ 2ab a2+4a+4
7
【答案】(1)
6x
(2)2a−4
【分析】本题考查了分式的乘除，能正确根据分式的乘除法法则进行计算是解此题的关键．
（1）根据分式的乘除法法则进行计算即可；
（2）根据分式的乘法法则进行计算即可．
2x2 5 y 10x2
【详解】（1）解： · ÷
3 y2 6x 21y❑
2x2 5 y 21y
= · ·
3 y2 6x 10x2
7
= ．
6x
a2−4 4a2b+8ab
（2）解： ·
2ab a2+4a+4(a+2)(a−2) 4ab(a+2)
= ·
2ab (a+2) 2
=2(a−2)
=2a−4．
【变式1-3】计算：
x2 6x y2 x−3 x−3
(1) ⋅ ； (2) ÷ ．
2y x4 x2−4x+4 x2−4
3 y
【答案】(1)
x
x+2
(2)
x−2
【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可．
（1）约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简．
3 y
【详解】（1）解：原式= ；
x
x−3 (x+2)(x−2) x+2
（2）解：原式= ⋅ = ．
(x−2) 2 x−3 x−2
【考点2:同分母分式的加减】
【典礼2】计算：
x2 x 4
(1) − (2) +a−2．
x−1 x−1 a+2
【答案】(1)x
a2
(2)
a+2
【分析】本题考查分式的加减．
（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加，再结合因式分解化简即可；
（2）先通分，再进行同分母分式的加减即可．
x2−x
【详解】（1）解：原式=
x−1
x(x−1)
=
x−1=x；
4
（2）解：原式= +(a−2)
a+2
4 (a+2)(a−2)
= +
a+2 a+2
4+a2−4
=
a+2
a2
= ．
a+2
x 2
【变式2-1】计算： + ．
x2−4 4−x2
1
【答案】
x+2
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可．
x 2
+
【详解】解：
x2−4 4−x2
x 2
= −
x2−4 x2−4
x−2
=
(x+2)(x−2)
1
= ．
x+2
a2 1
【变式2-2】化简： − ．
a−1 a−1
【答案】a+1
【分析】本题考查了分式的加减运算．根据同分母分式的加减法计算即可求解．
a2 1 a2−1 (a+1)(a−1)
【详解】解： − = = =a+1．
a−1 a−1 a−1 a−1
【变式2-3】计算下列各式．
x2 y2 a2
(1) − (2) −a−1
y−x y−x a−1
【答案】(1)−x−y
1
(2)
a−1
【分析】此题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）利用同分母分式减法法则计算即可；（2）通分化为同分母分式减法计算即可．
x2 y2
【详解】（1） −
y−x y−x
x2−y2
=
y−x
(x+ y)(x−y)
=−
x−y
=−(x+ y)
=−x−y
a2
（2） −a−1
a−1
a2
= −(a+1)
a−1
a2 (a−1)(a+1)
= −
a−1 a−1
a2 a2−1
= −
a−1 a−1
1
=
a−1
【考点3:异分母分式的加减】
【典礼3】计算：
x2 x−2 x+1 2
(1) −x+1； (2) + − ．
x+1 x2−x x−1 x
1
【答案】(1)
x+1
x
(2)
x−1
【分析】此题考查了异分母分式加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键：
（1）先通分，再计算同分母分式减法；
（2）先通分，再计算同分母分式加减法．
x2
【详解】（1）解： −x+1
x+1
x2
= −(x−1)
x+1x2 (x−1)(x+1)
= −
x+1 x+1
x2−x2+1
=
x+1
1
= ；
x+1
x−2 x+1 2
（2）解： + −
x2−x x−1 x
x−2 x+1 2
= + −
x(x−1) x−1 x
x−2+x(x+1)−2(x−1)
=
x(x−1)
x
= ．
x−1
【变式3-1】计算：
4 a+8 1 x2−3x
(1) − (2) +
a 2a x−1 x2−1
1
【答案】(1)−
2
x−1
(2)
x+1
【分析】本题考查分式的运算．
（1）根据题意先通分再计算即可；
（2）先通分再因式分解计算即可．
4 a+8
【详解】（1）解： − ，
a 2a
8 a+8
= − ，
2a 2a
−a
= ，
2a
1
=− ；
2
1 x2−3x
（2）解： + ，
x−1 x2−1x+1 x2−3x
= + ，
x2−1 x2−1
x+1+x2−3x
= ，
x2−1
1+x2−2x
= ，
x2−1
(x−1) 2
= ，
(x+1)(x−1)
x−1
= ．
x+1
【变式3-2】计算：
3 1 a−1 4a
(1) − ； (2) + ．
2x x a+1 a2−1
1
【答案】(1)
2x
a+1
(2)
a−1
【分析】此题考查分式的加减法计算，
（1）根据分式加减法计算法则计算即可；
（2）先通分，相加减，再化简即可．
3 1
【详解】（1）解： −
2x x
3 2
= −
2x 2x
1
= ；
2x
a−1 4a
（2）解： +
a+1 a2−1
(a−1) 2+4a
=
(a+1)(a−1)
(a+1) 2
=
(a+1)(a−1)a+1
=
a−1
【变式3-3】计算：
x+1 x−1 y 1
(1) − (2) − ．
x−1 x+1 y2−4 2y−4
4x
【答案】(1)
x2−1
1
(2)
2y+4
【分析】本题考查了分式的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先通分，再合并同类项计算，即可解答；
（2）先根据平方差展开y2−4，再通分计算，最后约分，即可解答．
(x+1) 2−(x−1) 2
【详解】（1）解：原式=
(x−1)(x+1)
4x
=
(x+1)(x−1)
4x
=
x2−1
y 1
（2）解：原式= −
(y+2)(y−2) 2(y−2)
2y−(y+2)
=
2(y+2)(y−2)
y−2
=
2(y+2)(y−2)
1
=
2(y+2)
1
= ．
2y+4
【考点4:分式混合运算】
( 5 ) x2−6x+9 ( 3 ) m+2
【典例4】（1）化简： x+2− ÷ ； （2）计算： m−1− ÷ ．
x−2 x−2 m+1 m2+mx+3
【答案】（1） ；（2）m2−2m
x−3
【分析】（1）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除
法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简即可得到答案；
（2）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘
法，然后对分式分子分母因式分解化简后，再由整式乘法运算求解即可得到答案．
( 5 ) x2−6x+9
【详解】解：（1） x+2− ÷
x−2 x−2
[(x+2)(x−2) 5 ) x−2
= − ×
x−2 x−2 (x−3) 2
x2−4−5 x−2
= ×
x−2 (x−3) 2
(x+3)(x−3) x−2
= ×
x−2 (x−3) 2
x+3
= ；
x−3
( 3 ) m+2
（2） m−1− ÷
m+1 m2+m
[(m−1)(m+1) 3 ) m(m+1)
= − ×
m+1 m+1 m+2
m2−1−3 m(m+1)
= ×
m+1 m+2
(m+2)(m−2) m(m+1)
= ×
m+1 m+2
=m(m−2)
=m2−2m．
【点睛】本题考查分式的化简，涉及异分母分式减法运算、通分、分式乘除运算、因式分解及整式乘
法运算等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键．
x2−x
(
x2
)
【变式4-1】化简： ÷ x+1−
x2−2x+1 x−1【答案】−x
【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解
因式．
x2−x
(
x2
)
【详解】解： ÷ x+1−
x2−2x+1 x−1
x(x−1) (x−1)(x+1)−x2
= ÷
(x−1) 2 x−1
x x2−1−x2
= ÷
x−1 x−1
x −1
= ÷
x−1 x−1
x
=− ⋅(x−1)
x−1
=−x．
【变式4-2】计算：
x y x2+ y2 x−2 x2−1 1
(1) − + (2) ⋅ − ．
y x xy x−1 x2−4x+4 x−2
2x
【答案】(1) ；
y
x
(2) ．
x−2
【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可．
x y x2+ y2
【详解】（1）解： − +
y x xy
x2 y2 x2+ y2
= − +
xy xy xy
x2−y2+x2+ y2
=
xy
2x2
=
xy2x
= ；
y
x−2 x2−1 1
（2）解： ⋅ −
x−1 x2−4x+4 x−2
x−2 (x+1)(x−1) 1
= ⋅ −
x−1 (x−2) 2 x−2
x+1 1
= −
x−2 x−2
x
= ．
x−2
( 3 ) x2−4x+4
【变式4-3】化简 −x+1 ÷ ．
x+1 x+1
2+x
【答案】
2−x
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的加减运算，再把除法化为乘法，再约
分即可．
( 3 ) x2−4x+4
【详解】解： −x+1 ÷
x+1 x+1
[ 3 (x−1)(x+1)) x+1
= − ⋅
x+1 x+1 (x−2) 2
3−x2+1 x+1
= ⋅
x+1 (x−2) 2
(2+x)(2−x) x+1
= ⋅
x+1 (x−2) 2
2+x
= ．
2−x
【考点5: 分式化简求值】
(4−2a ) a2−2a
【典例5】先化简，再求值： −a+2 ÷ ,请从−2,−1,0,2中选择一个数字a代入求值．
a+2 a+2a+4
【答案】− ，3
a
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式
有意义的值，计算即可．
(4−2a ) a2−2a
【详解】解： −a+2 ÷
a+2 a+2
(4−2a−a2+4) a+2
= ⋅
a+2 a(a−2)
(a+4)(2−a) a+2
= ⋅
a+2 a(a−2)
a+4
=− ；
a
∵a≠0,a+2≠0,a−2≠0，
−1+4
∴当a=−1时，原式=− =3．
−1
(2a+1
)
a2+2a+1
【变式5-1】先化简，再求值： −1 ÷ ，其中a=−2．
a a
1
【答案】 ，−1
a+1
【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式，再将
代入计算即可．掌握相应的运算法则，运算顺序及公式是解题的关键．
(2a+1
)
a2+2a+1
【详解】解： −1 ÷
a a
2a+1−a a
= ⋅
a a2+2a+1
a+1 a
= ⋅
a (a+1) 2
1
= ，
a+1
1
当a=−2时，原式= =−1．
−2+1(x−1 x−2) 2x2−x 1
【变式5-2】先化简，再求值： − ÷ ，其中x=− ．
x x+1 x2+2x+1 2
x+1
【答案】 ，2
x2
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把x的值代入到化简
后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
[(x+1)(x−1) x(x−2)) (x+1) 2
【详解】解：原式= − ×
x(x+1) x(x+1) x(2x−1)
[ x2−1 x2−2x) (x+1) 2
= − ×
x(x+1) x(x+1) x(2x−1)
2x−1 (x+1) 2
= ×
x(x+1) x(2x−1)
x+1
=
，
x2
1
∵x=− ，
2
1
− +1
2
= =2
∴原式 ．
( 1) 2
−
2
( 3 ) x2+4x+4
【变式5-3】先化简，再求值： x−1− ÷ ，其中x=5．
x+1 x+1
x−2 3
【答案】 ，
x+2 7
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时
利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
( 3 ) x2+4x+4
【详解】解： x−1− ÷
x+1 x+1
(x−1)(x+1)−3 (x+2) 2
== ÷
x+1 x+1x2−1−3 (x+2) 2
= ÷
x+1 x+1
(x+2)(x−2) x+1
= ⋅
x+1 (x+2) 2
x−2
= ，
x+2
当x=5时，
x−2 5−2 3
原式 = = ．
x+2 5+2 7
【考点6:科学计数法】
【典例6】H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，
这一直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10−9米 B．1.2×10−8米 C．12×10−8米 D．1.2×10−7米
【答案】D
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a)<10，n为整数即可求解，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对
值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，
解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：0.00000012=1.2×10−7（米），
故选：D．
【变式6-1】芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为
0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．0.201×10−5 B．2.01×10−5 C．2.01×10−6 D．2.01×10−7
【答案】C
【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10,n为由原数
左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整
数指数幂．
【详解】解：将数0.00000201用科学记数法表示为2.01×10−6，
故答案为：2.01×10−6．
【变式6-2】某种生物孢子的直径为0.000063m，用科学记数法表示为（ ）A．0.63×10−4m B．6.3×104m
C．6.3×10−5m D．6.3×10−6m
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：a×10n(1≤|a)<10),n为整数，进行表示
即可．
【详解】解：0.000063m=6.3×10−5m；
故选C．
【变式6-3】随着科技的进步，微电子技术飞跃发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸
大幅度缩小，某电子元件的面积大约为0.00000012平方毫米，0.00000012用科学记数法可表示为（
）
A．1.2×10−6 B．12×10−8 C．1.2×10−7 D．0.12×10−6
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a)<10，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到
答案．
【详解】解：0.00000012=1.2×10−7，
故选：C．
【考点7:负指数整数幂】
【典例7】计算：3−2−(−1) 2001−
|
−
2)
+(π−4) 0 ．
9
8
【答案】1
9
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算负整数指数幂、乘方、绝对
值、零指数幂，后算加减即可．
【详解】解：3−2−(−1) 2001−
|
−
2)
+(π−4) 0
9
1 2
= +1− +1
9 91
=2−
9
8
=1 ．
9
【变式7-1】计算： ( − 1) −2 +(2024−π) 0+ ( − 1) 2024 ×(−3) 2024
2 3
【答案】6
【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的意义，以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题
的关键．
先根据负整数指数幂和零指数幂的意义，以及积的乘方法则计算，再算加减．
【详解】解： ( − 1) −2 +(2024−π) 0+ ( − 1) 2024 ×(−3) 2024
2 3
2024
[ 1 )
=4+1+ − ×(−3)
3
=4+1+12024
=4+1+1
=6．
【变式7-2】计算：(π−2024) 0− ( − 1) −1 +|1−❑√3)+√3−8．
2
【答案】❑√3
【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，解题的关键是掌握相关运算．先进行开方、零指数
幂，负整数指数幂的运算，绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】解：(π−2024) 0− ( − 1) −1 +|1−❑√3)+√3−8
2
=1−(−2)+❑√3−1+(−2)
=❑√3．
【变式7-3】计算 |−2)+
(1) −2
×(π−❑√2) 0 −❑√9−(−1) 2
3
【答案】7
【分析】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握运算顺序和各运算法则，是解决本题的关键．先化简绝对值，负指数幂，0指数幂，算术平方根，平方，再乘，最后加减．
【详解】|−2)+
(1) −2
×(π−❑√2) 0 −❑√9−(−1) 2
3
=2+(3−1) −2 ×1−3−1
=2+9×1−3−1
=2+9−3−1
=7．
1．纳米是非常小的长度单位，1纳米=10−9米，某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的
长度，结果是（ ）
A．5×109 B．50×10−9 C．5×10−8 D．5×10−10
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a)＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a)<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解： 50纳米=50×10−9=5×10−8米；
故选：C．
3x+6 x2−4
2．化简 ⋅ 的结果为（ ）
x2−2x x2+4x+4
3 1 x
A．3 B． C． D．
x 3 3
【答案】B
【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将各分子分母因式分解，再
约分即可．
3x+6 x2−4 3(x+2) (x+2)(x−2) 3
【详解】解： ⋅ = ⋅ = ，
x2−2x x2+4x+4 x(x−2) (x+2) 2 x故选：B．
a−1 a
3．计算 − 的结果为（ ）
2a−1 1−2a
2a+1 1
A．−1 B．1 C． D．
2a−1 2a−1
【答案】B
【分析】本题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法计算法则求解即可．
a−1 a
【详解】解： −
2a−1 1−2a
a−1 a
= +
2a−1 2a−1
2a−1
=
2a−1
=1
故选：B．
4．计算2024−1的正确结果是（ ）
1 1
A．2024 B．−2024 C． D．−
2024 2024
【答案】C
1
【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则p−n= (p≠0)求解即可．
pn
1
【详解】解：2024−1=
，
2024
故选：C．
m2 9
5．若m=2，则代数式 − 的值为（ ）
m+3 m+3
A．−1 B．−3 C．1 D．3
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的加法，再把m=2代入计算即可．
【详解】解：∵m=2，
m2 9
∴ −
m+3 m+3
m2−9
=
m+3(m+3)(m−3)
=
m+3
=m−3
=2−3
=−1，
故选：A
3 2 m
6．计算(− ) ⋅ 的结果是（ ）
m 9
1 1
A．− B．−m C． D．m
m m
【答案】C
【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可．
3 2 m 9 m 1
【详解】解：(− ) ⋅ = ⋅ = ．
m 9 m2 9 m
故选C．
( 1 x+1 )
7．化简 − ⋅(x−1)的结果是（ ）
x−3 x2−1
2 2 x−4
A．2 B． C． D．
x−1 x−3 x−1
【答案】C
【分析】此题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合法则是解决此题的关键．
先根据乘法分配律去括号，再根据分式的减法法则计算即可．
( 1 x+1 )
【详解】解： − ⋅(x−1)
x−3 x2−1
x−1 x+1
= − (x−1)
x−3 (x−1)(x+1)
x−1
= −1
x−3
x−1 x−3
= −
x−3 x−3
x−1−x+3
=
x−32
= ，
x−3
故选：C．
1 1 a−2ab−b
8．已知 − =4，则 =（ ）
a b 2a−2b+7ab
2 2
A． B．− C．−6 D．6
15 7
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得a−b=−4ab，再代入分式计算即可，掌握整体代入
法是解题的关键．
1 1
【详解】解：∵ − =4，
a b
∴b−a=4ab，
即a−b=−4ab，
a−b−2ab −4ab−2ab −6ab
∴原式
= = = =6，
2(a−b)+7ab −8ab+7ab −ab
故选：D．
9．将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
x+ y x+3 y x+3 y
A．20% B． C． D．
2 20 10x+10 y
【答案】D
【分析】本题主要考查列代数式（分式），明确混合前后糖的质量等于混合前的质量之和且糖水前后
总质量相等是解答本题的关键．
由题意可知：含糖的质量为10%x+30% y，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量
除以混合后糖水的质量再乘以100%即可．
【详解】解：由题意可得：
10%x+30% y x+3 y x+3 y
混合后的糖水含糖： ×100%= ×100%= ．
x+ y 10x+10 y 10x+10 y
故选：D．
10．计算：−5x y2÷15xy= ．
1
【答案】− y
3
【分析】本题考查单项式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式的运算法则：单项式除以单项
式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．据此解答即可．
1
【详解】解：−5x y2÷15xy=− y．
3
1
故答案为：− y．
3
a❑ 2 1
11．化简： − = ．
a−1 a−1
【答案】a+1
【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据分式的运算法则计算再化简即可，掌握同分母分式
的减法运算法则是解题的关键．
a❑ 2 1 a❑ 2−1 (a+1)(a−1)
【详解】解： − = = =a+1，
a−1 a−1 a−1 a−1
故答案为：a+1．
12．计算： ( − 1) −2 +20= ．
5
【答案】26
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂进行计算即可，掌握负整数指
数幂和零指数幂是解题的关键．
【详解】解： ( − 1) −2 +20=25+1=26，
5
故答案为：26．
a a2
13．计算： + = ．
a−1 1−a
【答案】−a
【分析】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握分式的加法法则．根据分式的加法法则计算即可．
a a2
【详解】解： + ，
a−1 1−a
a a2
= − ，
a−1 a−1
a−a2
= ，
a−1
a(1−a)
= ，
a−1
=−a，故答案为：−a．
14．化简：
a+2 ( 2)
(1) ÷ 1+ ；
a2 a
(
a+3) a2−1
(2) a−1+ ÷ ．
a+2 a+2
1
【答案】(1) ；
a
a+1
(2) ．
a−1
【分析】本题主要考查了分式的混合计算：
（1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
a+2 a+2
【详解】（1）解：原式= ÷
a2 a
a+2 a
= ⋅
a2 a+2
1
=
∙
a
a2−a+2a−2+a+3 a2−1
（2）解：原式= ÷
a+2 a+2
a2+2a+1 a+2
= ⋅
a+2 (a+1)(a−1)
(a+1) 2 a+2
= ⋅
a+2 (a+1)(a−1)
a+1
= ．
a−1
x x2+2x+1 x+1
15．计算： − ÷
x+2 x2+x x−2
4
【答案】
x(x+2)
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把除法变成乘法后约分化简，再根据分式的减法计算法则求解即可．
x x2+2x+1 x+1
【详解】解； − ÷
x+2 x2+x x−2
x (x+1) 2 x−2
= − ⋅
x+2 x(x+1) x+1
x x−2
= −
x+2 x
x2−(x2−4)
=
x(x+2)
4
=
．
x(x+2)
16．计算：
3 a−15 ( 1 1 ) 2x
(1) + (2) + ÷
a 5a x−1 x+1 x2−2x+1
1
【答案】(1)
5
x−1
(2)
x+1
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的加法计算：
（1）根据异分母分式加法计算法则求解即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可．
3 a−15
【详解】（1）解： +
a 5a
15 a−15
= +
5a 5a
a−15+15
=
5a
a
=
5a
1
= ；
5( 1 1 ) 2x
（2）解： + ÷
x−1 x+1 x2−2x+1
x+1+x−1 2x
= ÷
(x+1)(x−1) x2−2x+1
2x (x−1) 2
= ⋅
(x+1)(x−1) 2x
x−1
= ．
x+1
( 2 ) x2−6x+9
17．先化简，再求值： 1− ÷ ，其中x=5．
x−1 x2−x
x 5
【答案】 ，
x−3 2
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，
最后代值计算即可得到答案．
( 2 ) x2−6x+9
【详解】解： 1− ÷
x−1 x2−x
x−1−2 (x−3) 2
= ÷
x−1 x(x−1)
x−3 x(x−1)
= ⋅
x−1 (x−3) 2
x
= ，
x−3
5 5
当x=5时，= = ．
5−3 2
