文档内容
专题 17 分式的加减混合运算
考点一 同分母分式加减法 考点二 异分母分式加减法
考点三 整式与分式相加减 考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母
考点五 分式加减乘除混合运算 考点六 分式化简求值
考点一 同分母分式加减法
例题：（2022·江西上饶·八年级期末）计算：
【答案】
【分析】根据同分母分式的加减法计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查同分母分式的加减，解题关键是掌握分式加减法法则．
【变式训练】
1．（2021·浙江湖州·模拟预测）化简： ．
【答案】2
【分析】根据分式的加减运算法则进行化简即可；
【详解】原式=
=＝2．
【点睛】本题主要考查分式的加减，掌握分式加减的运算法则是解题的关键．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）已知： ．
（1）对上式进行化简，得 _______；
（2）若 ，则 ________．
【答案】
【分析】（1）根据分式的减法进行计算即可求解；
（2）将 代入（1）中即可求解．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的计算是解题的关键．
考点二 异分母分式加减法
例题:（2022·浙江舟山·七年级期末）化简：
言言同学的解答如下：
言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
【答案】不正确，过程见解析
【分析】先进行通分，再进行化简计算．
【详解】不正确．解答如下：．
【点睛】本题考查分式的加减运算，解决本题的关键是正确通分及熟练应用平方差公式．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·八年级期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．
（1）
解：
（2）
解：【点睛】本题主要考查了异分母分式加减，熟练掌握异分母分式相加减运算法则，是解题的关键．
2．（2022·江苏泰州·八年级期中）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据同分母分式减法法则计算即可；
（2）先通分，再按同分母分式加法法则计算即可．
（1）
解：原式
=3；
（2）
解：原式
．
【点睛】本题考查分式加减运算，熟练掌握分式加减法法则是解题的关键．考点三 整式与分式相加减
例题：（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）化简：
【答案】
【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·全国·八年级课时练习）化简： ．
【答案】 ．
【详解】 ．
2．（2021·陕西·九年级专题练习）计算
【答案】a
【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题.
【详解】原式=
=
=a
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.
考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母例题：（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若 ，则 _________， _________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级）已知 ＝ ，且A、B为常数，则A+3B＝_____．
【答案】0
【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入
求值即可．
【详解】解：
＝
＝
＝ ，
∵ ＝ ，且A、B为常数，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴A+3B＝3+3×(-1)=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．
2．（2020·江苏·南通田家炳中学八年级阶段练习）若 恒成立，则A-
B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得 ，
∴
∴A-B＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求
解．
考点五 分式加减乘除混合运算
例题：（2022·吉林·长春博硕学校八年级阶段练习）化简：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先将括号里的通分，再将括号外的除法变成乘法，进行约分计算即可；
（2）根据分式的四则混合运算法则计算即可．
（1）；
（2）
．
【点睛】本题考查了分式的四则混合运算，计算中注意，括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改
变符号．
【变式训练】
1．（2022·陕西西安·八年级期末）计算：（ ）÷ ．
【答案】
【分析】先算括号内的分式减法，然后计算括号外的分式除法即可．
【详解】解：
＝
＝＝ ．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
2．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）化简： ．
【答案】
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的加法与乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
考点六 分式化简求值
例题：（2022·浙江舟山·七年级期末）先化简．再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先通分，再把分子相加减，最后把x=3代入进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
= ，
当x=3时，原式=
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的加减法则是解答此题的关键．
【变式训练】1．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）化简并求值： 其中 ．
【答案】 ；6
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将 的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，详解本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
2．（2022·河南·商水县平店乡第一初级中学八年级阶段练习）先化简：( -a-2)÷ ，再从-3，
0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】 ；当 时，原式=1
【分析】括号内通分计算，再将除法转化为乘法计算，最后选择合适的a值代入求值即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ．∵ ， ，
∴ ， ，
∴当 时，原式＝ ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．
一、选择题
1．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是对分式进行通分，将异分母分式变为同分母分式．2．（2021·四川达州·八年级期末）如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先计算、化简分式，再将m+n=4代入计算即可．
【详解】解：∵
=
=
= ，
∴当m+n=4时，
原式= =2，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式化简求值问题的解决能力，关键是能进行准确化简、计算．
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）若 ， 为实数且满足 ， ，设 ，
，有以下 个结论：①若 ，则 ；②若 ，则 下列判断正确的是
( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【分析】①中只需通过求出M-N=0需要满足的条件，看是否与ab=1相同即可；
②通过计算得到 ，根据 ，得到a，b互为相反数，得到ab≤0，从而得出结论．
【详解】解：∵ ，且 ， ，∴当 时， ，即 ，
故 正确；
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
故 正确．
综上所述，结论 都正确，
故选： ．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
4．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）小沈对下面式子进行化简整理：
第一步
第二步
第三步
对于小沈的化简过程，你认为( )
A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．没有错误
【答案】D
【分析】按照分式的加减法运算法则验算即可．
【详解】解：．
因此运算过程没有错误．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法运算法则和因式分解是解题的关键．
二、填空题
5．（2021·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学八年级阶段练习）计算 的结果是___________.
【答案】1
【分析】公分母为 ，通分、化简即可．
【详解】解： ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接
相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
6．（2021·内蒙古·镶黄旗第一中学九年级阶段练习）化简： =__________________
【答案】
【分析】先运用分式的加减法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
= ．【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
7．（2021·贵州·铜仁学院附属中学八年级阶段练习）已知 ，则 __．
【答案】3
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可．
【详解】解： ∵
∴ ；
化简得： ；
所以 ，
故答案为：3
【点睛】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方
法计算．
8．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知 ，其中 ， ， ， 为常数，
则 ______．
【答案】6
【分析】由于 ，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，
然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于 、 、 、 的方程组，解方
程组即可求解．
【详解】解： ，且 ，
当 时， ①
当 时， ②当 时， ③
∵ ,
即
∴ ④
联立 解之得
、 、 ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出
关于 、 、 、 的方程组即可解决问题．
三、解答题
9．（2021·浙江·温州绣山中学七年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果，再把 代
入求值即可．
【详解】解：
当 时，
原式
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题
的关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）化简求值． ，其中 ；
【答案】 ，
【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后从所给字母的值代入代入计算．
【详解】解：原式=
=
=
= ，
当 时，
原式= = ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，
乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
11．（2022·湖南·新田县云梯学校八年级阶段练习）先化简： ，再从 的范
围内，选取一个你喜欢的整数作为x的值，代入求值．
【答案】 ； 时，分式的值为4
【分析】先将分式进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
把 代入得：原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简计算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
12．（2022·湖北随州·九年级阶段练习）先化简、再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据 得到 即可得到答案．
【详解】解：，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
13．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）先化简 ，然后给a选取一个合适的值，
求此时原式的值．
【答案】 ，3（答案不唯一）
【分析】先根据分式的混合运算法则将原式化简，然后取一个使分式有意义的值代入计算即可．
【详解】解：
；
根据分式有意义的条件可得： 且 ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．
14．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级期末）先化简： ，再从 中选取
一个适当的x的值代入求值．
【答案】 ， 时，原式=
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分
式有意义的条件，选取值代入求解．【详解】解：原式＝
；
∵ ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
15．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ，从中选取一个整数值，代入求值．
【答案】化简的结果： ，当 时，值为1．
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法转化为乘法运算，约分即可，再根据分式有意义的条
件得到m=4，再代入求值即可．
【详解】解：
∵分式有意义，则 且 ，
而m为符合 的整数，
∴
∴原式【点睛】本题考查的是分式的混合运算，化简求值，分式有意义的条件，掌握“分式的混合运算的运算顺
序”是解本题的关键．
16．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题
我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．
小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小
于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和
的形式，如
．
(1)下列分式中，属于真分式的是（ ）
A． B． C． D．
(2)将假分式 ，化成整式和真分式的和的形式．
(3)当m取哪些整数时，分式 的值也是整数？
【答案】(1)A
(2)
(3)-1或0或2或3
【分析】（1）根据真分式的定义可得答案；
（2）把分子化为 再逆用分式的加法运算，约分后可得答案；
（3）由 ，m为整数，可得 或 或 或 再解方程可得
答案．
（1）
解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．
∴ 是真分式， ， ， 是假分式，
故选A（2）
（3）
解：∵ ，m为整数，
∴ 或 或 或
解得： 或 或 或
【点睛】本题考查的是对新定义的理解，以及新定义的运用，分式的加减运算的逆用，分式的值，掌握
“分式加减运算的逆用”是解本题的关键．
