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专题17 圆中相似
1．如图， 中 ， ，点 在 边上，以 为直径画 与
交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长度．
2．如图， 是 的直径， 是 上一点，连接 ，过 外点 作 于点 ，交
于点 ，连接 ， ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径为6，求 的长．
3．如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 ，
， 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．4．如图，在 中， ， ， 是 边上一点，作 的外接圆 ，
是 的直径，且 与 交于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．
5．如图，点 在 的平分线上， 与 相切于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2） 与 相交于点 ，直线 交 于点 ，若 ， ，求 的半径．
6．如图， 是 外一点， 是 的切线， 是切点， 是 上一点，且 ，延长
分别与 、切线 相交于 、 两点．
（1）求证： 是 的切线；
（2） 为 的中点， 交 于点 ，若 ， ，求 的值．7．如图， 为 的直径， ， 交 于点 ， 于 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
8．如图，半圆 与 的 边相切于点 ，与 ， 边分别交于点 ， ， ，
是半圆 的直径．
（1）求证： 是半圆 的切线；
（2）若 ， ，求 和 的长．
9．如图，已知 是 的直径， 是 上一点， 的平分线交 于点 ，交 的切
线 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的值．
10．如图，在 内接于 ， ， ，将斜边 绕点 顺时针旋转一定的角度得到 ，过点 作 于点 ， ， ，连接 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 交 于点 ，连接 ．求证： ．
11．如图， 是 的内接三角形， ， ，连接 并延长，交 于
点 ，连接 ．过点 作 ，使 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求线段 的长．
12．如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交 于点 ，过 作 的垂线，垂
足为 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．13．如图， 是 的内接三角形， ， 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求证：点 是 的黄金分割点；
（3）若 ， ， ，求 的直径．
14．如图， 是 的外接圆，点 是 的中点，过点 作 分别交 、 的延
长线于点 和点 ，连接 、 ， 的平分线 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
15．如图， 是 的直径，点 在线段 上，过点 作 交 于点 ，延长 到
， 是 上一动点（不与 、 重合），连接 、 、 ，给出下列信息：①点 为
中点；② ；③ 是 的切线．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题，试判
断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 、 ，结论是 （只要填写序
号）．
（2）在（1）的情况下，若 ，求 的长．16．如图1， 为 的直径， 为 上一点，连接 ，过 作 于点 ，过点 作
，使 ，其中 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）如图2，点 在 上，且满足 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
若 ， ，求线段 的长．
17．如图所示， 、 是 上的点， 是 外一点，且 ， ．连接 并
延长，与 延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ．
18．如图，在 中， 为直径，点 为圆上一点，延长 到点 ，使 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）分别过 、 两点作直线 的垂线，垂足分别为 、 两点，过 点作 的垂线，垂足
为点 ．求证： ．19．如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点 ．
（1）若 为 的中点，证明： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径 的长．
20．如图，以 为直径的 经过 的顶点 ，过点 作 交 于点 ，交
于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，在 的延长线上取一点 ，连接 ，使
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径是3， ，求 的长．
