文档内容
专题24.1.3 与圆有关的角（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
【知识点梳理】
考点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条
弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角） C
2
B O
A推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O
考点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
A E
【典例分析】
【考点1 圆心角】
【例1】（2022•灌阳县一模）如图，在 O中， ＝ ，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
⊙A．60° B．30° C．45° D．40°
【变式1-1】（2020秋•道外区期末）下列图形中，∠AOB为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2021秋•雁塔区校级月考）如图1，在 O中，若点C是 中点，∠OAB＝
⊙
50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式1-3】（2021秋•越秀区校级期中）如图，已知AB、CD是 O的直径， ＝ ，
⊙
∠BOD＝32°，则∠COE的度数为 度．【变式1-4】（2021秋•黄石期末）如图，AB，CD是 O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度
数为40°，∠AOC的度数 ． ⊙
【考点2 圆周角】
【例2】（2021秋•临邑县期末）如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，若
∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．65° B．55° C．60° D．75°
【变式2-1】（2021•重庆）如图，AB是 O的直径，AC，BC是 O的弦，若∠A＝20°，
则∠B的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．70° B．90° C．40° D．60°
【变式2-2】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在O上，边AB、AC分别交 O于D、E两点，点B是 的中点，则∠ABE＝ ．
⊙ ⊙
【考点3 圆心角与圆周角】
【例3】（2021•长沙）如图，点A，B，C在 O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（
） ⊙
A．27° B．108° C．116° D．128°
【变式3-1】（2022•黄石模拟）如图，AB是 O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（ ）
⊙
A．80° B．100° C．120° D．140°
【变式3-2】（2021•郧西县校级模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在 O上，若
∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ） ⊙
A．25° B．50° C．65° D．75°
【变式3-2】（2021•邵阳）如图，点A，B，C是 O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝
⊙30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点4 圆内接四边形】
【例4】（2022•湘潭县校级模拟）如图， O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，
且∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（⊙ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
【变式4-1】（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数
之比为4：3：5，则∠D的度数是（ ）
A．80° B．120° C．135° D．140°
【变式4-2】（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相
交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）A．25° B．30° C．40° D．55°
【变式4-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD内接于 O，如果它的一个
外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（ ） ⊙
A．63° B．126° C．116° D．117°
专题24.1.3 与圆有关的角（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算
2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.
【知识点梳理】考点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条
弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角） C
2
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
弦是直径。
C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O【典例分析】
【考点1 圆心角】
【例1】（2022•灌阳县一模）如图，在 O中， ＝ ，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
⊙
A．60° B．30° C．45° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵ ＝ ，
∴∠2＝∠1＝45°，
故选：C．
【变式1-1】（2020秋•道外区期末）下列图形中，∠AOB为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．故选：C．
【变式1-2】（2021秋•雁塔区校级月考）如图1，在 O中，若点C是 中点，∠OAB＝
⊙
50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是 中点，
∴∠BOC＝ ∠AOB＝40°，
故选：A．
【变式1-3】（2021秋•越秀区校级期中）如图，已知AB、CD是 O的直径， ＝ ，
⊙
∠BOD＝32°，则∠COE的度数为 度．
【答案】64【解答】解：∵∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∵ ＝ ，
∴∠AOE＝∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，
故答案为：64．
【变式1-4】（2021秋•黄石期末）如图，AB，CD是 O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度
数为40°，∠AOC的度数 ． ⊙
【答案】70°
【解答】解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝70°．
【考点2 圆周角】
【例2】（2021秋•临邑县期末）如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，若
∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ） ⊙ ⊙A．65° B．55° C．60° D．75°
【答案】A
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
【变式2-1】（2021•重庆）如图，AB是 O的直径，AC，BC是 O的弦，若∠A＝20°，
则∠B的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．70° B．90° C．40° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠C＝90°， ⊙
∵∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
故选：A．
【变式2-2】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在
O上，边AB、AC分别交 O于D、E两点，点B是 的中点，则∠ABE＝ ．
⊙ ⊙【答案】13°
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是 O的直径，
∵点B是⊙ 的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
【考点3 圆心角与圆周角】
【例3】（2021•长沙）如图，点A，B，C在 O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（
） ⊙
A．27° B．108° C．116° D．128°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，
故选：B．
【变式3-1】（2022•黄石模拟）如图，AB是 O的直径，∠D＝40°，则∠AOC＝（ ）
⊙
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵∠D＝40°，
∴∠BOC＝2∠D＝80°，
∴∠AOC＝100°．
故选：B．
【变式3-2】（2021•郧西县校级模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在 O上，若
∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ） ⊙
A．25° B．50° C．65° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝ ×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝ （180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
【变式3-2】（2021•邵阳）如图，点A，B，C是 O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝
30°，则∠AOB的大小为（ ） ⊙A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为 ，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
【考点4 圆内接四边形】
【例4】（2022•湘潭县校级模拟）如图， O是四边形ABCD的外接圆，连接OD和OB，
且∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（⊙ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠BCD＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°， ⊙
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：A．
【变式4-1】（2022•长沙一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数
之比为4：3：5，则∠D的度数是（ ）A．80° B．120° C．135° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相
交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）
A．25° B．30° C．40° D．55°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ADC＝∠FBC， ⊙
∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，
∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，
则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，
解得，∠A＝55°，
故选：D．
【变式4-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形ABCD内接于 O，如果它的一个
外角∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（ ） ⊙A．63° B．126° C．116° D．117°
【答案】B
【解答】解：∵∠DCE＝63°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝117°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝⊙63°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝126°，
故选：B．
