文档内容
专题 24.1.3 与圆有关的角（专项训练）
1．（2020秋•新化县期末）如图，AB为 O的直径，点C、D是 的三等分点，∠AOE＝
⊙
60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
2．（2020秋•越秀区校级期中）如图在 O中，若点C是 的中点，∠AOC＝45°，则
⊙
∠AOB＝（ ）
A．45° B．80° C．85° D．90°
3．（2019秋•庐阳区期末）如图，在 O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝
25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数⊙为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2019•港南区四模）P是 O外一点，PA、PB分别交 O于C、D两点，已知 、
⊙ ⊙
的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
5.（2020秋•红谷滩区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆
心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 ．
6．（2019秋•长白县期末）如图，AB和DE是 O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则
弦CE＝ ． ⊙
7．（2020秋•金山区期末）如图，已知 O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么 O的半
径长等于 ． ⊙ ⊙8．（2019秋•崇川区校级期中）如图，∠AOB＝110°，弦AB所对的圆周角为（ ）
A．55° B．55°或70° C．55°或125° D．55°或110°
9.（2021•郧西县校级模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在 O上，若∠ABC+∠AOC
＝75°，则∠OAC的大小是（ ） ⊙
A．25° B．50° C．65° D．75°
10．（2019秋•南宁期中）如图， O的直径CD的长为4， ＝ ，∠A＝60°．则AC的
⊙
长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．（2021•锡山区一模）如图，在 O中，AC为 O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝
26°，则∠AOB的度数为 ．⊙ ⊙12．（2019•福建模拟）如图，AB是 O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，
AC交OD于点E，DE＝1，则AE的⊙长为（ ）
A． B． C． D．
13．（2019秋•点军区校级期中）如图，在 O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC
的度数为（ ） ⊙
A．132.5° B．130° C．122.5° D．115°
14．（2019•东台市模拟）如图，AB是 O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若
⊙
的度数为50°，则∠ADC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
15．（2019秋•台江区期中）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，
P是直径CD上一动点， O的半径是2，则PA+PB的最小值为（ ）
⊙A．2 B． C． D．
16．（2021•鄞州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半
径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
17．（2022•惠山区一模）如图，四边形 ABCD为 O的内接四边形，若∠A＝50°，则
∠BCD的度数为（ ） ⊙
A．50° B．80° C．100° D．130°
18．（2022•东莞市一模）如图，四边形ABCD内接于 O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，
⊙
且∠ADC＝110°，若点E为 的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
19．（2022•湖里区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于 O，连接AC，BD，且AC＝
BC，∠ADC＝130°，则∠ADB的度数为（ ） ⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
20．（2022•温州模拟）如图，四边形 ABCD内接于 O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，
CO，则∠AOC的度数为（ ） ⊙
A．110° B．120° C．130° D．140°
21．（2021秋•山西期末）如图，A，B，C，D都是 O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若
∠OBC＝26°，则∠ADC的度数为（ ） ⊙
A．26° B．32° C．52° D．64°22．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形 ABCD内接于 O，如果它的一个外角
∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（ ） ⊙
A．63° B．126° C．116° D．117°
23．（2021秋•朝阳区期末）如图，四边形ABCD内接于 O，若∠C＝130°，则∠BOD的
度数为（ ） ⊙
A．50° B．100° C．130° D．150°
24．（2021秋•信都区校级月考）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦专题 24.1.3 与圆有关的角（专项训练）
1．（2020秋•新化县期末）如图，AB为 O的直径，点C、D是 的三等分点，∠AOE＝
⊙
60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴ 的度数是120°，
∵点C、D是 的三等分点，
∴ 的度数是 ×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
2．（2020秋•越秀区校级期中）如图在 O中，若点C是 的中点，∠AOC＝45°，则
⊙
∠AOB＝（ ）A．45° B．80° C．85° D．90°
【答案】D
【解答】解：∵ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝45°+45°＝90°，
故选：D．
3．（2019秋•庐阳区期末）如图，在 O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝
25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数⊙为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
4．（2019•港南区四模）P是 O外一点，PA、PB分别交 O于C、D两点，已知 、
⊙ ⊙的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【答案】B
【解答】解：∵ 和 所对的圆心角分别为88°和32°，
∴∠A＝ ×32°＝16°，∠ADB＝ ×88°＝44°，
∵∠P+∠A＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB﹣∠A＝44°﹣16°＝28°．
故选：B．
5.（2020秋•红谷滩区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆
心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数 ．
【答案】 72 °
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，
∴∠A＝90°﹣∠A＝54°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠A＝54°，
∴∠ACD＝180°﹣54°﹣54°＝72°；
故答案为：72°．6．（2019秋•长白县期末）如图，AB和DE是 O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则
弦CE＝ ． ⊙
【答案】 3
【解答】解：连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，
∵∠A＝∠ACO，
∴∠1＝∠2．
∴CE＝BE＝3．
7．（2020秋•金山区期末）如图，已知 O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么 O的半
径长等于 ． ⊙ ⊙
【答案】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于H．
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝ AB＝9，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OA＝ ＝6 ．
故答案为：6
8．（2019秋•崇川区校级期中）如图，∠AOB＝110°，弦AB所对的圆周角为（ ）
A．55° B．55°或70° C．55°或125° D．55°或110°
【答案】C
【解答】解：如图，在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接
AD，BD，
∵∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝55°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝125°．
∴弦AB所对的圆周角为：55°或125°．
故选：C．9.（2021•郧西县校级模拟）如图，△ABC的顶点A、B、C均在 O上，若∠ABC+∠AOC
＝75°，则∠OAC的大小是（ ） ⊙
A．25° B．50° C．65° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝ ×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝ （180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C
10．（2019秋•南宁期中）如图， O的直径CD的长为4， ＝ ，∠A＝60°．则AC的
⊙
长是（ ）
A．1 B． C．2 D．【答案】D
【解答】解：连接OA，过点O作OF⊥AC于F，
则AF＝FC，
∵ ＝ ，
∴AC＝BC，
∵∠CAB＝60°，
∴∠CBA＝∠CAB＝60°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠CBA＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝30°，
∴AF＝OA•cos∠OAC＝2× ＝ ，
∴AC＝2AF＝2 ，
故选：D
11．（2021•锡山区一模）如图，在 O中，AC为 O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝
26°，则∠AOB的度数为 ．⊙ ⊙
【答案】52°
【解答】解：∵∠OBC＝26°，OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝2∠C＝52°，
故答案为：52°．
12．（2019•福建模拟）如图，AB是 O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，
AC交OD于点E，DE＝1，则AE的⊙长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OC．
∵∠DOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∵ ＝ ，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴ ＝ ，
∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝ r＝DE＝1，
∴OA＝2，
∴AE＝ ＝ ，
故选：A．
13．（2019秋•点军区校级期中）如图，在 O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC
的度数为（ ） ⊙A．132.5° B．130° C．122.5° D．115°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故选：B．
14．（2019•东台市模拟）如图，AB是 O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若
⊙
的度数为50°，则∠ADC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵ 的度数为50°，
∴∠BOC＝50°，
∵半径OC⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠ADC＝ ∠BOC＝25°．
故选：B．
15．（2019秋•台江区期中）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，
P是直径CD上一动点， O的半径是2，则PA+PB的最小值为（ ）
⊙A．2 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB＝
QP+PB＝QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠ACD＝30°．
∵B弧AD中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝30°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×30°＝60°，
∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．
∵ O的半径是2，
∴⊙OB＝OQ＝2，
∴BQ＝ ＝2 ，即PA+PB的最小值为2 ．
故选：D．
16．（2021•鄞州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半
径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
【答案】（1）65° （2）
【解答】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴ ．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ •AF•BC＝ •AC•AB，
∴ ，
∴ ．
∵AC＝AD，AF⊥CD，∴ ．
17．（2022•惠山区一模）如图，四边形 ABCD为 O的内接四边形，若∠A＝50°，则
∠BCD的度数为（ ） ⊙
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°， ⊙
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
故选：D．
18．（2022•东莞市一模）如图，四边形ABCD内接于 O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，
⊙
且∠ADC＝110°，若点E为 的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【解答】解：如图，连接AC，由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵AB＝AD，
∴ ，
∴∠ACB＝∠ACD＝ ＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵点E为 的中点，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝35°．
故选：C．
19．（2022•湖里区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于 O，连接AC，BD，且AC＝
BC，∠ADC＝130°，则∠ADB的度数为（ ） ⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°， ⊙
∵∠ADC＝130°，
∴∠ABC＝50°，
∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝80°，
∴∠ADB＝∠ACB＝80°，
故选：D．
20．（2022•温州模拟）如图，四边形 ABCD内接于 O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，
CO，则∠AOC的度数为（ ） ⊙
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠B+∠D＝180°， ⊙
∵∠D﹣∠B＝40°，
∴∠D＝110°，∠B＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
故选：D．
21．（2021秋•山西期末）如图，A，B，C，D都是 O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若
∠OBC＝26°，则∠ADC的度数为（ ） ⊙
A．26° B．32° C．52° D．64°
【答案】B
【解答】解：连接OC，
∵OA⊥BC，OA为半径，∴ ，∠OEB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝64°，
∴∠AOC＝64°，
∴∠ADC＝32°，
故选：B．
22．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，四边形 ABCD内接于 O，如果它的一个外角
∠DCE＝63°，那么∠BOD的度数为（ ） ⊙
A．63° B．126° C．116° D．117°
【答案】B
【解答】解：∵∠DCE＝63°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝117°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝⊙63°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝126°，
故选：B．
23．（2021秋•朝阳区期末）如图，四边形ABCD内接于 O，若∠C＝130°，则∠BOD的
度数为（ ） ⊙
A．50° B．100° C．130° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，
⊙∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：B．
24．（2021秋•信都区校级月考）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【答案】C
【解答】解：A、直径为弦，所以A选项的说法正确；
B、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以B选项的说法正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；
D、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以D选项的说法正确．
故选：C．
