文档内容
专题24.1.2 垂直于弦的直径（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【知识点梳理】
考点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【典例分析】
【考点1 垂径定理】
【例1】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
如果AB＝20，CD＝16，那么线段BE的长为（ ⊙）A．4 B．6 C．8 D．9
【变式1-1】（2022春•铁岭月考）如图， O的半径为4，点A为 O上一点，OA的垂直
平分线分别交 O于点B，C，则BC的⊙长为（ ） ⊙
⊙
A．3 B．4 C．2 D．4
【变式 1-2】（2020秋•站前区校级期中）如图，AB是 O的直径，点 C 在 O上，
CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是⊙ ． ⊙
【变式1-3】（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是 O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，
连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（ ⊙ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【例2】（2021秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建
立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【变式2-1】（2020秋•西林县期末）如图， P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣
10），圆心P的横坐标为﹣4．则 P的半径⊙为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-2】（2022•龙马潭区模拟）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB
⊙
＝30°， O的半径为 ，则弦CD的长为（ ）
⊙
A．3 B． C． D．9
【变式2-3】（2017•龙湖区校级开学）如图，已知AB是 O的直径，C是 O上的一点，
CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求⊙AD、AC的长． ⊙【考点2 垂径定理的应用】
【例3】（2020秋•渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交
小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【变式3-1】（2020秋•甘井子区校级期末）如图，两个同心圆的圆心为 O，大圆的弦AB
交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
【变式3-2】（2020秋•广饶县期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小
圆于点C、D
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的
长．【变式3-3】（2021秋•柳江区期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
【例4】（2021秋•开化县期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股
定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几
何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，
锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【变式4-1】（2022•德城区一模）把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子
高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式4-2】（2021秋•玄武区期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O是这
段弧所在圆的圆心．C是 上的点，OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则
O的半径为 m．
⊙【变式4-3】（2021秋•潜山市期末）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的
装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱
门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝
27分米，求拱门所在圆的半径．
【例5】（2021秋•兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截
面如图．油面宽AB＝600毫米．
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
【变式5】（2022•立山区一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高
PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE
＝4米时，是否要采取紧急措施？专题24.1.2 垂直于弦的直径（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1.掌握垂径定理及其推论；
2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【知识点梳理】
考点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
3）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【典例分析】
【考点1 垂径定理】
【例1】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
如果AB＝20，CD＝16，那么线段BE的长为（ ⊙）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：连接OC，
∵AB＝20，
∴OC＝OA＝OB＝10，
∵AB⊥CD，AB是 O的直径，
⊙
∴CE＝DE＝ CD，
∵CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝ ＝ ＝6，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：A．
【变式1-1】（2022春•铁岭月考）如图， O的半径为4，点A为 O上一点，OA的垂直
平分线分别交 O于点B，C，则BC的⊙长为（ ） ⊙
⊙
A．3 B．4 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：设OA与BC相交于点D，连接OB，
∵BC是OA的垂直平分线，
∴OD＝AD＝2，∠BDO＝90°，
∴BC＝2BD，
在Rt△BDO中，BD＝ ＝ ，
∴BC＝2× ＝ ．
故选：D．
【变式 1-2】（2020秋•站前区校级期中）如图，AB是 O的直径，点 C 在 O上，
CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是⊙ ． ⊙【答案】10
【解答】解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，
在Rt△ODC中，
∴OC＝ ＝ ＝5，
∴AB＝2OC＝10，
故答案为：10．
【变式1-3】（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是 O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，
连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（ ⊙ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解答】解：∵直径AB⊥CD，垂足为M，
∴DM＝ CD＝4，
连接OD，设圆的半径为r，
则在直角△OMD中，OM＝r﹣2，由勾股定理得到：OD2＝OM2+MD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
∴OA＝5，
∴AM＝10﹣2＝8，
在直角△AMD中，AD2＝MD2+AM2，
∴AD＝ ＝4 ，
故选：C．
【例2】（2021秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建
立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【答案】C
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【变式2-1】（2020秋•西林县期末）如图， P与y轴交于点M
（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横⊙坐标为﹣4．则 P的半径为（ ）
⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵ P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
⊙∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝ MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝ ＝ ＝5，
即 P的半径为5，
故⊙选：C．
【变式2-2】（2022•龙马潭区模拟）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB
⊙
＝30°， O的半径为 ，则弦CD的长为（ ）
⊙
A．3 B． C． D．9
【答案】A
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°，
∴OE＝ OC＝ ，
∴CE＝ OE＝ × ＝ ，
∴CD＝2CE＝3．
故选：A．
【变式2-3】（2017•龙湖区校级开学）如图，已知AB是 O的直径，C是 O上的一点，
CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求⊙AD、AC的长． ⊙【答案】AD＝ ﹣ ＝1cm，AC的长为 cm
【解答】解：连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA＝ AB＝ cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO＝ ＝ cm，
∴AD＝ ﹣ ＝1cm，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ，
则AD的长为1cm，AC的长为 cm．
【考点2 垂径定理的应用】
【例3】（2020秋•渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交
小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【答案】（1）略 （2）2 ﹣2
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝ CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝ ＝ ＝2 ，
∴AH＝ ＝ ＝2 ，
∴AC＝AH﹣CH＝2 ﹣2．
【 变 式 3-1 】 （2020秋•甘井子区校级期末）
如图，两个 同心圆的圆心为 O，大圆的弦
AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
【答案】略
【解答】证明：
过O作OE⊥AB于E，
则OE⊥CD，
∵OE过O，∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
即AC＝BD．
【变式3-2】（2020秋•广饶县期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小
圆于点C、D
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的
长．
【答案】（1）略 （2）AC＝AE﹣CE＝4 ﹣2
【解答】（1）证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE，
故BE﹣DE＝AE﹣CE；
即AC＝BD；
（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE＝4，CE＝DE，
∴DE＝CE＝ ＝ ＝2 ，
AE＝ ＝ ＝4 ，
∴AC＝AE﹣CE＝4 ﹣2 ．【变式3-3】（2021秋•柳江区期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
【答案】（1）略（2）
【解答】（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，
在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，
在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，
∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝ ，
∴CD＝2CH＝ ．
故答案为： ．
【例4】（2021秋•开化县期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股
定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几
何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，
锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺＝10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸【答案】D
【解答】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D．
【变式4-1】（2022•德城区一模）把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子
高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：AB的中点D，作CD⊥AB于点D，取CD上的球心O，连接OB，
设OB＝x，则OD＝16﹣x，BD＝8，
在直角三角形ODB中，BD2+MF2＝OB2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B．【变式4-2】（2021秋•玄武区期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O是这
段弧所在圆的圆心．C是 上的点，OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则
O的半径为 m．
⊙
【答案】13
【解答】解：连接OA，如图所示：
设 O的半径为rm，
∵⊙OC⊥AB，AB＝10m，
∴AM＝BM＝ AB＝5（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，
即：r2＝（r﹣1）2+52，
解得：r＝13，
即 O的半径为13m．
故⊙答案为：13．
【变式4-3】（2021秋•潜山市期末）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的
装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱
门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝
27分米，求拱门所在圆的半径．【答案】15分米．
【解答】解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB＝18，C为AB的中点，
∴AC＝BC＝9，
设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，
∵CD＝27，
∴OC＝27﹣x，
在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，
∴92+（27﹣x）2＝x2，
∴x＝15（分米），
答：拱门所在圆的半径是15分米．
【例5】（2021秋•兴化市期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截
面如图．油面宽AB＝600毫米．
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
【答案】(1)GF＝OG﹣OF＝100mm (2)100毫米或700毫米
【解答】解：（1）过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA，
∴AF＝ AB＝300mm，
∵直径MN＝1000mm∴OA＝500mm
由勾股定理得，OF＝ ＝ ＝400mm，
则GF＝OG﹣OF＝100mm；
（2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况：
当油面CD在圆心O的下方时，连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝400mm，OE＝ ＝300mm，
则EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm，
同理，当CD在圆心O上方时，可得EF＝700．
答：此时油面上升了100毫米或700毫米．
【变式5】（2022•立山区一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高
PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE
＝4米时，是否要采取紧急措施？
【答案】(1) r＝34（米）(2)不需要
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝ AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
