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专题 10 解直角三角形及其应用
【思维导图】
◎考点题型1 解直角三角形
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出
其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
直角三角形五元素之间的关系：
1. 勾股定理（ ）
2. ∠A+∠B=90°
3. sin A= =
4. cos A= =
. tan A= =
5
例．（2022·广东深圳·二模）如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学
在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使 （河的两岸平行）.若利用测量工
具测得 为m米， ，根据测量数据可计算得到小河宽度 为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与
地面的夹角为 ，则梯子底端A到墙面的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）在 Rt△ABC 中， C 90 ， AB 5 ， AC 4 ．下列四个
选项，正确的是（ ）
A．tan B B．cot B C．sin B D．cos B
◎考点题型2 解非直角三角形
例．（2021·全国·九年级课时练习）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A
站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C
到海岸线l的距离是（ ）A． km B． km C． km D． km
变式1．（2022·广西河池·二模）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡艇从A处沿着北偏东60°方向
巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．若取
结果保留一位小数，则A，B间的距离为（）
A．42.3海里 B．73.5海里 C．115.8海里 D．119.9海里
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在东西方向的海岸线上有 ， 两个港口，甲货船从 港沿东北方
向以 海里 时的速度出发，同时乙货船从 港口沿北偏西 方向出发， 后相遇在点 处，如图所示．
问 港与 港相距（ ）海里．
A． B． C． D．
变式3．（2019·全国·九年级单元测试）今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数
量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记
录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上
行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G
在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（ ）米．（精确
到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）
A．29.0 B．28.5 C．27.5 D．27.0
◎考点题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
例．（2021·全国·九年级专题练习）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制
的他家（点 ）到两个景点 ， 的示意图，景点 位于他家的东南（即南偏东 ）方向，景点 位于
他家的正南方向，并测得 ， ，则景点 位于景点 的（ ）
A．南偏东 方向 B．北偏东 方向 C．北偏东 方向 D．南偏东 方向
变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的
端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝
∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A．60 8 B．60 8 C．64 D．68
变式2．（2020·浙江·宁波市惠贞书院八年级期末）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为
60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形
ABCD．若六角星纸板的面积为9 cm2，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．18cm B． cm C．（ +6）cm D．（ +6）cm
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，
AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型4 仰俯角问题
例．（2022·山东枣庄·中考真题）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校
“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实
践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P
测
的仰角为39°；
量
方案示意图
步 （2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与
骤 O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直
接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得
P点的仰角为56°．
参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼
PO的高度
（结果保留整
数）
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某学校九年级的学生去参加社会实践，在风景区看到一棵古松，不
知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：
甲：我站在此处看树顶仰角为45°.
乙：我站在此处看树顶仰角为30°.
甲：我们的身高都是1.5m．
乙：我们俩相距20m．
请你根据两位同学的对话，计算这棵古松DE的高度．（结果保留根号）．
变式2．（2022·河南驻马店·九年级期末）驻马店新一代天气雷达楼位于驻马店市天中广场东南角，东临乐
山大路，南临通达路．建筑造型采用简洁现代的建筑风格，在结构上通过层层退台的裙房处理及塔楼6个
方向曲面变化，利用雷达独特的球形造型，充分体现了驻马店市腾飞的精神面貌，寓意驻马店市像一颗正
在冉冉升起的“天中明珠”，屹立于中原大地．某数学活动小组到天中广场测量雷达楼的高度，如图，他
们在测量点A处测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是28°，然后沿水平方向前进100米到达C点，此时
测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是45°；雷达楼底部D和A、C两点在同一水平线上．(1)求雷达楼BD的高度（结果精确到1米，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
(2)雷达楼BD的实际高度是110米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．
变式3．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角 为
30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角 为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高
度（结果保留整数）．（参考数据： ， ）
◎考点题型5 方位角问题
例．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向
33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，
在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参
考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）变式1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，一艘轮船在海面上由南向北航行，当该轮船行驶到B处时，
发现灯塔C在它的北偏东34°方向上，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的东
北方向上，已知轮船航行的速度是每小时40海里．求此时轮船与灯塔C的距离AC．(结果保留整数，参考
数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67， )
变式2．（2022·湖北湖北·九年级专题练习）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测
得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东30°方向上．
(1)求 的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
变式3．（2022·山东德州·二模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，
AB=8km．有一艘小船在点P处，从A处测得小船P在北偏西60的方向，从B处测得小船P在北偏东45°的方向．
(1)求点P到海岸线 的距离（结果保留根号）；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．
求点C与点B之间的距离．（结果精确到0.1km， ， ）
◎考点题型6 坡度比问题
例．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2． 设
AE=30dm，BC=50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保
留根号）？
变式1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组
的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AP攀行了26
米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．
(1)求坡顶A到地面PQ的距离；
(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4）
变式2．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图， 是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端 出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点 ，再经过一段坡路 ， 米，坡面 的坡
度 （即 ），然后再沿水平方向向左行走4米到达点 ，在 处测得建筑物顶端 的
仰角37°．
(1)求点 到建筑物 的水平距离；
(2)求建筑物 的高度．（参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ，
均在同一平面内．）
变式3．（2022·海南三亚·一模）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D
处测得楼房顶部A的仰角为 ，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处测得
楼房顶部A的仰角为 ，已知坡面 米，山坡的坡度 （坡度i是指坡面的铅直高度与水平
宽度的比）．
(1)填空： _______度；
(2)求楼房AB高度（结果保留根号）．
◎考点题型7 其它问题
例．（2022·四川遂宁·九年级专题练习）某中学九年级数学课外学习小组某天下午实践活动课时，测量朝
西教学楼前的旗杆 的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆 的顶端A的影子落在教
学楼前的草坪地C处，测得影长 ， ， ， 与地面的夹角 ，在同一时刻，测得一根长为0.5m的直立竹竿的影长恰为1m．根据这些数据求旗杆 的高度．
变式1．（2022·吉林·中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是
其侧面示意图． BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD
的度数为58°．当△AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：
sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
变式2．（2022·辽宁大连·二模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介
绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即 ，点B、F在线段AC
上，点C在DE上，支杆 ， ， ， ．
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求滑竿DE的长度；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据： ， ，
， ．变式3、为提高防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最
长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直
线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否
伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
