文档内容
专题 09 锐角三角函数
【思维导图】
◎考点题型1 正弦的概念和求正弦值
锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)
定 义 表达式 取值范围 关 系
正 sinA= ∠A的对边 sinA= a ∠C=90°,tanA= 3 4 ,BC=12,
弦 斜边 c (∠A为锐角) sin∠AOC= 3 ⋅¿¿
4
cosA=sinB
余 8 cos A tan A ∠ A
sin A=
弦 17 (∠A为锐角)
正
切 (∠A为锐角)B
斜边 对边
c
a
b
A C
邻边
【正弦和余弦注意事项】
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
例．（2022·安徽合肥·九年级期末）在 中， ，若 的三边都缩小5倍，则 的值
（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
变式1．（2021·上海宝山·九年级期末）在 中， ， ， ，那么 的值为
（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在 中， ，则 = ( )
A． B． C． D．
变式3．（2022·湖北襄阳·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，
点D在△ABC的外接圆上，则sin∠ADC等于（ ）
A．1 B． C． D．
◎考点题型2 已知正弦值求边长例．（2021·广东·深圳外国语学校九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，AC＝6cm，则BC的
长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
变式1．（2022·安徽滁州·九年级期末）在 中， ，若 ， ，则 的长是
（ ）
A．80 B． C．60 D．
变式2．（2022·四川绵阳·三模）在Rt ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝ ，AB＝6，D是AB的中点，连接
△
CD，作DE⊥AC于E，则 CDE的周长为（ ）
△
A．4+ B．6+ C．4+ D．6+
变式3．（2022·四川南充·一模）如图，∠C＝90°，AC＝DC，EC＝BC，AB＝10，sinA＝0.6，则AE长为
（ ）
A．2.4 B．2 C．1.6 D．1
◎考点题型3 余弦的概念和求余弦值
例．（2021·吉林长春·九年级期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为
a，b，c，则（ ） △
A．sinA＝ B．a＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝
变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
变式2．（2021·江苏·九年级专题练习）在 中， 、 、 对边分别为 、 、 ， ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为
（ ） △
A． B． C． D．2
◎考点题型4 已知余弦值求边长
例．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）如图，在 中， ，且 ，若
， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．变式1．（2022·广西·南宁二中三模）如图，在 中， ，则 长为
（ ）
A．4 B．8 C． D．12
变式2．（2022·江苏南通·模拟预测）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的
对角线的长度是( )
A．20cm B． cm C． cm D．5cm
变式3．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图， 中， ， ， 的垂直平分线 交
于 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型5 正切的概念和求正切值
例．（2021·全国·九年级专题练习）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于 的是
（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）在 中， ，a，b，c分别是 ， ， 的对边，
下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2018·上海市致远中学九年级期末）坡比等于 的斜坡的坡角等于（ ）A． B． C． D．
变式3．（2018·上海市致远中学九年级期末）在 △ 中， ， ， ，那么
等于（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型6 已知正切值求边长
例．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，
，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据： ， ，
）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
变式1．（2021·北京·潞河中学九年级阶段练习）在 中， ， ， ，
，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
变式2．（2022·广东广州·二模）如图，Rt ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB= ，若以点C为圆心，r为半
△
径的圆与直线AB刚好相切，则r等于（ ）
A．3 B．4 C．2.4 D．2.5
变式3．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图， 为 的直径， 是 的切线，点 为切点，若
， ，则 的长为（ ）．A．4 B．3 C． D．
◎考点题型7 求特殊角的三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数 30° 45° 60°
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sinα随 的增大而增大，cosα随√3的增大而减小。
正切的增减性：当0°<√3<90°时，tan√3随 的增大而增大
例．（2022·河北沧州·九年级期末） 的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点
称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·贵州六盘水·九年级期末）在平面直角坐标系中，点A（ ，－ ）关于y轴对称
的点的坐标是（ ）A．（－ ，－ ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（－ ，－ ）
变式3．（2022·天津河北·二模）3tan60°的值为( )
A． B． C． D．3
◎考点题型8 特殊角的三角函数值判断三角形的形状
例．（2022·广西贺州·九年级期末）在 ABC中， ，则 ABC一定是（ ）
△ △
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝ ，则 ABC不可能
△
是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
变式2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）在 中， ，则
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
变式3．（2022·湖南邵阳·九年级期末）在 ABC中，若锐角∠A、∠B满足 ，则
△
对 ABC的形状描述最确切的是（ ）
A．△直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
◎考点题型9 已知角度比较三角函数值的大小
例．（2020·四川·西昌一中俊波外国语学校九年级阶段练习）已知 ，A，B均为锐角，则
A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2019·江苏南京·一模）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是( )
△A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB
C．tanA＜tanB D．sinA＜cosA
变式2．（2019·全国·九年级单元测试）当锐角 ， 的值（ ）
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）若锐角 、 满足条件 时，下列式子中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型10 利用同角三角函数求值
例．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知 ， 是锐角，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东省青岛实验初级中学九年级开学考试）在Rt ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则
△
cosA＝（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）已知 为锐角， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在 中， 于点 ，若
，则 的值为（ ）A． B． C． D．
◎考点题型11 根据三角函数值判断锐角的取值范围
例．（2021·全国·九年级课时练习）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（ ）
A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60°
变式1．（2021·江苏·九年级专题练习）锐角α满足 ，且 ，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
变式2．（2021·全国·九年级课时练习）已知 为锐角，且 ，那么下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2022·山东淄博·九年级期末）已知 ，则锐角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型12 互余两角三角函数关系
例．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，在Rt 中， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·湖南岳阳·九年级期末）在 中， ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
变式2．（2022·河北唐山·九年级期末）在 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·山东淄博·九年级期中）下列式子错误的是（ ）
A．cos40°＝sin50°
B．tan15°•tan75°＝1
C． 25°+ 25°=1
D．sin60°＝2sin30°
