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专题09 铅锤线段最值及进阶
类型一 求铅锤线段最值
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）经过A（ ， ）和B（4，6）两点，点P是线段AB上异于A，B的
动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
解：（1）∵ 、 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）设直线AB的解析式为： ，
∵ 、 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为 ，
设动点P得坐标为 ，则C点得坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，当P点坐标为 ，线段PC有最大且为 ．
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使
线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；【详解】
（1）y=﹣x2+bx+c经过点C，则c=3，
将点A的坐标代入抛物线表达式：y=﹣x2+bx+3，得：0=-1-b+3，解得：b=2，
抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：
令y=0，得：﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1或3，故点B（3，0），
设直线BC为y=kx+b，将点B、C的坐标代入得：
，解得： ．
∴直线BC的表达式为：y=﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），
则PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x= ，
当x 时，PD最大值为： ；
3．已知抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图，点 是抛物线上位于直线 上方的动点，过点 分别作 轴， 轴的平行线，交直线 于点 ， ，当 取最大值时，求点 的坐标．
解：（1） 抛物线 经过点 ， ，
，
解得 ， ，
抛物线的解析式为 ．
，
抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为 ，
，
．
，
，
，
．
平行于 轴， 平行于 轴，
， ，
，
，
，
，
当 的长度最大时， 取最大值．
设直线 的函数关系式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ， ，直线 解析式为 ．
设 ，则 ，
．
，
当 时， 最大，此时 ，
．
【点睛】
本题为二次函数综合题，综合性较强，第（1）步根据待定系数法求出函数解析式是解题关键，第（2）步
根据函数解析式得到PD=PE，进而得到当 的长度最大时， 取最大值时解题关键．
类型二 求斜锤线段最值
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，且 ，抛物线 （
）图象经过 ， ， 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是直线 下方的抛物线上的一个动点，作 于点 ，当 的值最大时，求此时点 的
坐标及 的最大值．
解：∵点 的坐标为 ，
∴OB=1，
∵ ，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),
将点A、B、C的坐标代入 中，得，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
(2)
解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P（x， ），则点H（x，x-4），
∴ ，
∵ ，
∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为 ，
此时点P（2，-6）．
．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数
的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合
题．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋
c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P
的坐标及PD的最大值．
【答案】（1）点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；（2）y＝ x2﹣3x﹣8；（3）最大值为4
，此时点P（4，﹣12）
【解析】
【分析】
（1）根据B点坐标及OA＝OC＝4OB结合图象即可确定A点，C点的坐标；
（2）由（1）可将抛物线的表达式写成交点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；
（3）求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P
（a， a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】
解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），
∴OB＝2，
∴OA＝OC＝4OB＝8，
故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），
把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，
解得：a＝ ，故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣3x﹣8；
（3）∵直线CA过点C，
∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝8，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（a， a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），
∴PD＝HPsin∠PHD＝ （a﹣8﹣ a2+3a+8）＝ = ，
∴当a＝4时，其最大值为4 ，此时点P（4，﹣12）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质结合三角函数是解题的
关键．
类型三 铅锤斜锤转化求面积周长最值
6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（﹣4，0），与y轴交于C（0，﹣3），连
接BC．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
(1)
解：设y＝a（x﹣2）（x+4），
把C（0，﹣3）代入得： ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：如图，延长PE交x轴于点F，
设点 ，△PDE的周长是l，
∵B（﹣4，0），C（0，﹣3），
∴OB=4，OC=3，∵BC＝5，
∴△BOC的周长是12，
设直线BC的解析式为 ，
把B（﹣4，0），C（0，﹣3），代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式是： ，
∴E（x，﹣ x﹣3），
∴PE＝（﹣ x﹣3）﹣（ x2+ x﹣3）＝﹣ x2﹣ x，
∵PD⊥BC，
∴∠PDE＝∠BOC＝90°，
∵PE∥y轴，
∴∠PED＝∠BEF=∠BCO，
∴△PDE∽△BOC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴l＝﹣ （x+2）2+ ，
∴当x＝﹣2时，l ＝ ，即△PDE周长的最大值为 ，
最大
当x＝﹣2时，y＝ ×（﹣2+4）×（﹣2﹣2）＝﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
7．如图1，已知抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，连接 、
．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 于点
，当 的周长最大时，求出 的周长最大值及此时点 的坐标；
【详解】
（1）∵点 、 、 在抛物线的图像上，
∴将点A、B、C的坐标代入得：
，
解得 ，
∴ ；
（2）如图3，过点P作 轴交BC于点H，图3
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 取最大值时， 取最大值，
设 ，设直线 的解析式为： ，
将点B、C的坐标代入得：
，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值 ，
将 代入到 中，得 ，
∴ ；
8．已知，如图，抛物线 经过点 和 .
（1）求此抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直
线AB于点E，作 于点D.动点P在什么位置时， 的面积最大？求出面积的最大值，并求出
此时点P的坐标.
【答案】（1） ， ；（2） 最大面积为 ， P坐标为（-1，-2）．
【解析】
【分析】
（1）把 ， ，分别代入抛物线与一次函数解析式，可得答案；
（2）先证明 是等腰直角三角形，设点P的坐标为 ，表示 的坐标，求解 的长度，
再表示 的面积，利用二次函数的性质求解面积最大值及点 的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线 经过点 ， ，∴ ，
解得： ，
所求抛物线的解析式为 ；
设直线AB的函数表达式为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
所求直线AB的函数表达式为 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴PE越大， 面积越大.
设点P的坐标为 ，
∴点E坐标为 ，
∴，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，
PE有最大值1，
此时 的面积为
，
当 则
点P坐标为（-1，-2）.
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，同时考查了利用二次函数的性质解决图
形面积的最值问题.
类型四 铅锤斜锤综合演练
9．如图1，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式：
（2） 是抛物线上位于直线 上方的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 于
点 ，过点 作 轴于点 ，求出 的最大值及此时点 的坐标；
【详解】（1）将 和 两点代入解析式得 ，解得 ，
抛物线得函数表达式为 ；
（2）由题意， ，则 为等腰直角三角形， ，
设 得解析式为 ，将 与 代入求得 ，则 ，
点 在抛物线上， 轴交 于点 ，
设 ，则 ， ，其中 ，
如图，延长 交 于点 ，则 ，且由题可知， 为等腰直角三角形，
由“三线合一”知， ，
的横坐标为 ，
，
故由二次函数的性质可得，当 时， 最大为 ，此时 ；
10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当0＜PD＜2 时，请直接写出
点P横坐标的取值范围．
解：（1）∵点B的坐标为(1，0)，
∴OB=1，
又∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，即点A坐标为（-4，0）；点C坐标为（0，4）；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
∴ ，
解得： ,
∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵点A坐标为（-4，0）点C坐标为（0，4）
∴直线CA函数表达式为: y=x+4,
过点P作y轴的平行线交AC于点Q,设点P坐标为 ，其中 ，则点Q坐标为 ，
∵点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，
∴ ，
∴ ，即当x=-2时，P点坐标为（-2，6），此时PQ的最大值为
又∵ ， 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵0＜PD＜2 ，
∴0＜PQ＜4，即： ，
∴当x=-2时， PQ的最大值为 ，此时 ,
∴当0＜PD＜2 时，P横坐标的取值范围为： 且 ．
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，其中（3）得出 ，
并用函数关系表示PQ是本题解题的关键．
11．如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作 轴交l于点D， 轴交l于点E，求 的最大
值；
(1)
解：∵直线 与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴ 、 ，
∵点 、C在抛物线解 上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
(2)
∵点P在直线l下方的抛物线上，设 ，
∵ 轴， 轴，点D，E都在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，，
∴ ，
即： ，
∴当 时， 的最大值是3．
12．如图1，抛物线 与x轴交于 ， 两点，交y轴于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作х轴的平行线交抛物线于点
D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求 的最大值及此时点P的坐标；
(1)
解：∵抛物线 与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，
∴可设抛物线解析式为 ．
∵该抛物线过点C(0，3)，
∴将C(0，3)代入 ，得：
∴ ，
∴抛物线解析式为 整理得： ．
(2)
解：设经过A、C的直线解析式为 ，
∴解得：
∴直线AC的解析式为： ．
∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴 ．
设点 ，点 ，则 ．
∴ ，即
∴当 时， 有最大值为 ．
将 代入 ，得： ．
∴此时点 ．
13．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 ，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线
交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
【详解】（1）二次函数表达式为： ，
将点B的坐标代入上式得： ，解得： ，
故函数表达式为： …①；
（2）设点M的坐标为 ，则点 ，
则 ， ，
矩形MNHG的周长 ，
∵ ，故当 ，C有最大值，最大值为10，
此时 ，点 与点D重合；
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与
y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接BC与OP，交于点D，求当 的值最大时点P的坐标；
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中得：
，
解得：∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
（2）如图1，作PG⊥x轴于点H，交BC于点G，
∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx＋3，则3k＋3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3；
设点P（m，－m2＋2m＋3），则点G（m，－m+3），
∴PG = －m2＋2m＋3－（－m+3）= －m2＋3m
∵PG//OC，
∴△PDG ODC，
△
∴
当 时， 有最大值，
∴点P（ ）．
