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专题 27.1 图形的相似
一、知识点梳理
要点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成
．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d，我们就
说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
要点三、相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
要点四、平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
要点五、黄金分割
定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即
PB AP
AP AB （此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就
叫黄金分割．
要点诠释：
1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP=1x
PB AP
∵ AP AB
1x x
∴ x 1
x2 1x
∴5 1
x 0.618
∴ (舍负)
2
二、题型总结
【题型1 相似图形的定义】
【例1】．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆 B．两个菱形 C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形
【变式1-1】．下列关于“相似形”的说法中正确的是（ ）
A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例
【变式1-2】．观察如图所示的四组图形，不相似的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】．在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是_____，不是相
似形的是_____．【题型2 相似多边形的性质】
【例2】．如图，已知四边形 四边形 ， ， ，则 的长是（ ）．
A．6 B． C． D．4
【变式2-1】．如图，四边形 四边形 ，则 的度数是______．
【变式2-2】．如图，四边形 ∽四边形 ，若 ， ， ，则 _____．
【变式2-3】．图中的两个四边形相似，则 ______．【题型3 比例的性质】
【例3】．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．已知线段 ， 满足 ，求 的值．
【变式3-2】．已知 ，则 的值为_____．
【变式3-3】．若 ， ，则 __________．
【题型4 成比例线段】
【例4】．下列四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【变式4-1】．下列各组中的线段，其中a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】．下面两个比能组成比例的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【变式4-3】．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4、2、1、3 B．1、2、3、5 C．3、4、5、6 D．3、4、6、8
【题型5 平行线分线段成比例】
【例5】．如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【变式5-1】．如图，直线 ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若
， ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【变式5-2】．如图，在 中， 、 、 分别是 、 、 上一点， ， ， ，
，则 （ ）cm．
A．12 B．15 C．18 D．21
【变式5-3】．如图，直线 ，直线 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若
，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【题型6 黄金分割】
【例6】．已知一本书的宽与长之比等于 称为黄金比，若书的长是 ，则宽为____________cm．
【变式6-1】．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为 的黄金分
割点（ ），如果 的长度为10cm，则 的长度为 ___________cm．（结果保留根号）
【变式6-2】．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为 ，则它的长为_______ ．
【变式6-3】．当一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比值越接近黄金分割比
时，越给人一种美感．某位参加空姐选拔的选手身高 ，上半身长 ，那么她应穿______ 的鞋子才更美？
（精确到 ）．
三、课后练习
1．“相似的图形”是( )
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
2．观察下列各组图形，其中不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．有一个角为 的两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．有一个角为 的两个等腰三角形
D．两个矩形4．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b= ，c= ，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b= ，c= ，d=2
5．四边形ABCD与四边形 相似，相似比为2：3，四边形 与四边形 相似，相似比为5：
4，则四边形ABCD与四边形 相似且相似比为
A．5：6 B．6：5 C．5：6或6：5 D．8：15
6．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 ______．
8．已知 ，且 ，则 的值为__________．
9．如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 、 固定在乐器板面上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，支
撑点 是靠近点 的黄金分割点，则 ______ ， ______ 结果保留根号，参考数据：黄金分割数：
10．如图，四边形 中， ，如果 ， ， ，则 的长是__________．
11．如图，四边形 与四边形 相似，若 ，则 _____°．12．已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a＝3cm，b＝(x－1) cm，c＝5 cm，d＝(x＋1) cm，则x＝________．
13．如图，四边形ABCD~四边形 ，求边BC，AB的长度x，y和 的大小．
14．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD=6，DF=3，BC=5，求
BE的长
15．如图，点D是 边 上一点，连接 ，过 上点E作 ，交 于点F，过点F作 交
BC于点G，已知 ， ．
(1)求 的长；
(2)若 ，在上述条件和结论下，求 的长．
