文档内容
专题10 相似三角形的经典模型（10大题型）
【题型目录】
题型一 A字型相似
题型二 8字型相似
题型三 AX型相似
题型四 母子型相似
题型五 三角形内接矩形相似
题型六 射影定理相似
题型七 旋转相似
题型八 k字型相似
题型九 折叠相似
题型十 动态相似
【经典例题一 A字型相似】
【模型解读】
①如图，在 中，点D在 上，点E在 上， ，则 ，
．
②模型拓展1：斜交A字型条件： ，图2结论： ；
③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔ ．1．（2022·江苏无锡·统考模拟预测）如图， 中， ， ， ，点 在 内，且
平分 ， 平分 ，过点 作直线 ，分别交 、 于点 、 ，若 与
相似，则线段 的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．6
2．（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在 中， ，D是 上一点，点E
在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ．
3．（2022·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分
∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求 的值．
4．（2022上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习） 中， ， ，
于 ，点 在线段 上，点 在射线 上，连接 ， ，满足 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，点 为 的中点，连接
，若 ， ．当 最小时，直接写出 的面积．
【经典例题二 8字型相似】
【模型解读】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ ；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ ．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔ ．
1．（2022·山东聊城·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点， ，连接BE
交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在 中，点D在BC上，
，连接AD， ，则线段AD的长为 ．
3．（2023·江苏南通·统考一模）正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点，将 沿 翻折得到 ，直线 交射线 于点 ．
(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；
(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说明理由；
(3)若 ，求 的值．
4．（2023下·山东济南·九年级校联考期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，交 轴于点 ， 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接 ，交线段 于点 ，若 ，求 的值．
(3)如图2，已知抛物线的对称轴交 轴于点 ，与直线 ， 分别交于 、 两点．试问 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【经典例题三 AX型相似】
【模型解读】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD
于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知 中， ， （如图）．以线段 为
边向外作等边三角形 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交线段 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）连接 ，交 于点 ．
①若 ，求 的长；
②作 ，垂足为 ，求证： ．3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形 中，点 是 的中点，在直线
上截取 ，连接 ， 交 于 ，则 ___________．
4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点
的直线BC ⊥AC于C 交AB的延长线于B．
1 1 1 1
（1）请你探究： ， 是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一定成立吗？
并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝ ，DE∥AC交AB于点E，试求 的
值．
【经典例题四 母子型相似】
【模型解读】
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当 时， ，则有 ．
1．（2022·江苏南通·统考一模）如图， 中， ， ， ，点 ， 分别在 ，
上， ， ．把 绕点 旋转，得到 ，点 落在线段 上．若点
在 的平分线上，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图， 中，点 在边 上，且
，若 ， ，则 的长为 ．
3．（2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足
，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
4．（2023·安徽合肥·统考一模）如图1， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到
，使点 落在 的点 处， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若点 ， ， 在同一条直线上，如图2，求 的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
【经典例题五 三角形内接矩形相似】
【模型解读】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
1．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图， 中， ，点E在 上，
于点F， ，已知 的面积为a， 的面积为b，则矩形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在 中， ， ， ．
（1）若四边形 为 的内接正方形，则正方形 的边长 为 ；
（2）若四边形 为 的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形 的边长 为 ．
3．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在 中， ，高 ．矩形 的一边
在 边上，E、F两点分别在 、 上， 交 于点H．(1)若矩形 为正方形，求该正方形的边长．
(2)设 ，当x为何值时，矩形 的面积最大？并求其最大值．
4．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图①，在 中， ， ， ，
，动点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，过点 作 的垂线交
于点 ，以 为边向上作矩形 ，点 在 或 的延长线上， ，当点 与点 重合
时点 停止运动，设点 运动的时间为 （秒）．
(1)求 的长；
(2)当 平分矩形 的周长时，求 的值；
(3)当点 在 的直角边的垂直平分线上时，直接写出 的值；
(4)如图②，当点 在 的延长线上时， 、 分别交边 于点 、 ，当 与图中某个三角形
全等时，求 的值．
【经典例题六 射影定理相似】
【模型解读】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常
见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
在
（1） 正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在 和 内均有射影定理模
型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．
1、（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以
ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A. B．2 C. D．2
2、（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为
D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
4、（2022秋•汝州市校级月考） 中， ， ，点E为 的中点，连接 并延长
交 于点F，且有 ，过F点作 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
【经典例题七 旋转相似】
【模型解读】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则
，且相似比为 ， 与 的夹角为 ．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点
及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示， ，则 ， ，且 ．
1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，把
以 为中心顺时针旋转，点 为射线 、 的交点．若 ， ．以下结论：
① ；② ；
③当点 在 的延长线上时， ；
④在旋转过程中，当线段 最短时， 的面积为 ．
其中正确结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022上·福建三明·九年级统考期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF
为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
3．（2022下·山东济南·八年级统考期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边
作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方
形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形ABCD的边
长．
4．（2022上·河南周口·九年级统考期末）观察猜想
(1)如图1，在等边 中，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接 ，以 为边作等边
，连接 ，则 与 的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边 中，点M是 延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中
结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰 中， ，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接 ，以 为
边作等腰 ，使顶角 ．连按 ．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
【经典例题八 k字型相似】【模型解读】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
1．（2022上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，边长为10的等边 中，点D在边 上，且 ，
将含 角的直角三角板（ ）绕直角顶点D旋转， 分别交边 于P、Q，连接 ，
当 时， 的长为（ ）
A．6 B． C． D．
2．（2022·湖北襄阳·统考一模）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上， ，将
沿直线DE翻折得到 ，当点F落在边BC上，且 时， 的值为 ．3．（2022·广东佛山·九年级校联考期末）如图， ， ，E是 上一点，使得 ；
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)当 时，请写出线段 之间数量关系，并说明理由．
4．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开
展数学活动．有一张矩形纸片 ，点E在射线 上，现将矩形折叠，折痕为 ，点A的对应点记
为点F．
(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形 的边 上，直接写出一个与 相似的三角形；
(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形 的边 的下方时， 、 分别交 于点M、N，过点F
作 ， ，垂足分别为点G、H，当点G是 的中点时，试判断 与 是否相似，并证明你的结论；
(3)问题解决：在（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【经典例题九 折叠相似】
1．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿 ， 折叠，点D，E恰好重合
于点M．记 面积为 ， 面积为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形 中， ，点P为射线 上一个动点．连接 ，
把 沿 折叠，当点A的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为
．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将边长为3的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点
落在边 上（点 不与点 ， 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ，
交于点 ， ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
4．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知 中， ，E是 上的一点，
，点D是线段 上的一个动点，沿 折叠 ，点C与 重合，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若点F是 上一点，且 ，求 的最小值．
【经典例题十 动态相似】
1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，点 、 分别是边、 的中点，点 是在以 为圆心、以 为半径的圆弧上的动点，则 的最小值等于
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ．动点M从点A出发，沿
边 向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边 向点C匀速运动，连接 ．动点M，N同时出发，
点M运动的速度为 ，点N运动的速度为 ，且 ．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．
在运动过程中，将四边形 沿 翻折，得到四边形 ．若在某一时刻，点B的对应点 恰好
与 的中点重合，则 的值为 ．
3．（2023·江苏淮安·校考二模）如图：已知菱形 中， ，点 为边 上一动点，连接
交 外角角平分线于点 ，连接 ， ， 交 于 点．(1)如图 ，①设 的度数为 ，直接写出 的取值范围______；
②当点 为 中点时，连接 ，求证： ；
(2)如图 ，过点 作 的平行线 ，且使 ，连接 ，
①证明： ；
②当 ， 时，求 的长．
4．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）（1）特殊发现：
如图1，正方形 与正方形 的顶B重合， 、 分别在 、 边上，连接 ，则有：
① ______；
②直线 与直线 所夹的锐角等于______度；
（2）理解运用
将图1中的正方形 绕点B逆时针旋转，连接 、 ，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过 边的中点O， ，直接写出 的长等于______；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形 的 边上一动点（不与A、B重合），连接 ，沿 将 翻折到
位置，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接 ，若 ，则 的值是否是定值？
请说明理由．【重难点训练】
1．（2022上·江西景德镇·九年级校联考期中）如图，边长为10的等边 中，点D在边 上，且
，将含 角的直角三角板（ ）绕直角顶点D旋转， 分别交边 于P、
Q，连接 ．当 时， 长为（ ）A．6 B． C．10 D．6
2．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，矩形 的边长 ， ，E为 的中点，F
在线段 上，且 ， 分别与 、 交于点M、N，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，将矩形 对折，得
到折痕 ，沿着 折叠，点 的对应点为 ， 与 的交点为 ；再沿着 折叠，使得 与
重合，折痕为 ，此时点 的对应点为 .下列结论：① 是直角三角形；② ；③
；④ ；其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图， 为等腰直角三角形， 于点， 于点 ，连接 ，设 ，若 ，则 可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，在 中， ，D是 的中点，过点D作
的平行线，交 于点E，作 的垂线，交 于点F．若 ，且 的面积为 ，则 的长是
．
6．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，将矩形 分别沿
翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上．若 ，则 ．
7．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，折叠边长为 的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落
在 处，分别延长 、 交 于点 、 ，若 是 边的中点，则 ， ．8．（2023上·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在矩形 中， ，
，点E，F分别在边 上，且 ，沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线
上，点B的对应点为 ，点M为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）在正方形 中， 为 边上一动点，将 沿 折叠，
得到 ，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ．
(1)如图①，试探究当 的度数为多少时， 为 的中点？说明理由；
(2)如图②，当 时，若 ，求正方形 的边长；
(3)如图③，延长 交 边于点 ，连接 交 于点 ，记正方形的面积为 ， 的面积为 ，
当 时，求 的值．
10．（2023上·湖南·九年级专题练习）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做
“等对角四边形”．(1)已知四边形 是“等对角四边形”， ， ，则 =________°，
=_________°．
(2)如图1，在 中， ， 为斜边 边上的中线，过点 作 垂直于 交 于点 ，
试说明四边形 是“等对角四边形”．
(3)如图2，在 中， ， ， ， 平分 ，点 在线段 延长线上，以
点 为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段 的长．
11．（2023上·四川成都·九年级统考期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究．
如图1，将矩形纸片 折叠，使点C的对应点 始终落在对角线 上，点B的对应点记为 ，折痕
与边 分别交于点E，F．
【初步感知】
（1）如图2，当点 与A重合时，连接 ，四边形 是哪种特殊的四边形，并证明；
【深入探究】
（2）如图3，当 ， ，点 ， ，D在同一条直线上时，求 的长．
12．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图1，在矩形 中， ，点 是对角线上任意一点，连接 ，过 点作 ，且 ，连接 ．
(1)证明： ．
(2)四边形 可能为矩形吗？如果可能，求出此时四边形 的面积，如果不可能，请说朋理由；
(3)如图2，作 ，垂足为 ，当点 从点 运动到点 时，直接写出点 运动的距离．
13．（2023上·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，在正方形 中，点 是边 上的一点（不与
， 重合），点 在边 的延长线上，且满足 ，连接 ， ， 与边 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ；
(3) 交 于点 ，若 ，求 的值（用含 的代数式表示）．14．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知： 中， ， ，时线 ，
点D在射线 上，连接 ，将线段 绕点D逆时针旋转 得到 ．
(1)如图1，连接 并延长交射线 于点F，若 ，当 时；
① °；
②求 的长；
(2)如图2，连接 交 于点G，若 ， ，试求 的面积．
15．（2023上·上海松江·九年级统考期中）（1）如图1，在 中， 是 上一点，过点 作 的平
行线交 于点 ，点 是 上任意一点，连结 交 于点 ，求证： ；
（2）如图2，在（1）的条件下，连结 ， ，若 ，若 ，且 、 恰好将 三
等分，求 的值；
（3）如图3，在等边 中， ，连结 ，点 G在 上，若 ，求 的
值．16．（2023上·四川成都·九年级校考期中）【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列
问题，请你给出证明．
如图1，矩形 中， ， 分别交 ， 于点 ， ， 分别交 ， 于点 ， ，
求证： ；
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又 ，点 ， 分别在边 ， 上，若 ，则
的值为________；（直接写出结果）
【联系拓展】
（3）如图3，四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分别
在边 ， 上，求 的值．
