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专题 27.1 图形的相似
一、知识点梳理
要点一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成
．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d，我们就
说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
要点二、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
要点三、相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
要点四、平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
要点五、黄金分割
定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即
PB AP
（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就
AP AB
叫黄金分割．
要点诠释：
1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP=1x
PB AP
∵
AP AB
1x x
∴
x 1
∴x2 1x5 1
∴x 0.618(舍负)
2
二、题型总结
【题型1 相似图形的定义】
【例1】．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆 B．两个菱形 C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形
【答案】B
【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似
多边形；根据这两个定义即可判断得解．
【详解】解：A、两个圆的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意；
B、两个菱形的各角不一定相等，故不一定相似，故选项B符合题意；
C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意；
D、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
【变式1-1】．下列关于“相似形”的说法中正确的是（ ）
A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形
C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例
【答案】B
【分析】根据相似形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；
B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；
D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．
【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识．
【变式1-2】．观察如图所示的四组图形，不相似的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用相似图形的定义解答即可．
【详解】解：由题意可知：
A. ，是相似图形，故不符合题意；
B. ，是相似图形，故不符合题意；
C. ，不是相似图形，符合题意；
D. ，是相似图形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形．
【变式1-3】．在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是_____，不是相似
形的是_____．【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4）
【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可．
【详解】解：根据相似图形的定义可知：
（3），（5），（6）是相似图形，
（1），（2），（4）不是相似图形．
故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）
【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键．
【题型2 相似多边形的性质】
【例2】．如图，已知四边形 四边形 ， ， ，则 的长是（ ）．
A．6 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由四边形 四边形 ，可得 ，再代入数据计算即可．
【详解】解：∵四边形 四边形 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握“相似多边形的对应边成比例”是解本题的关键．
【变式2-1】．如图，四边形 四边形 ，则 的度数是______．
【答案】 ##100度
【分析】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．
【详解】解： 四边形 四边形 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
【变式2-2】．如图，四边形 ∽四边形 ，若 ， ， ，则 _____．
【答案】
【分析】根据相似多边形的性质，当四边形 ∽四边形 时， ， ，
，再结合四边形内角和为 可知 ．
【详解】解： 四边形 ∽四边形 ， ， ， ，
， ， ，
由四边形内角和为 可知 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查利用相似多边形性质求角度问题，涉及四边形内角和为 等知识，熟练掌握相似多边形对应角相
等是解决问题的关键．
【变式2-3】．图中的两个四边形相似，则 ______．
【答案】63
【分析】根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可．
【详解】解：∵两个四边形相似，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．
【题型3 比例的性质】
【例3】．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据比例的性质进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．【变式3-1】．已知线段 ， 满足 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据比例的性质将 恒等变形得到 ，从而得到 的值．
【详解】解： 线段 ， 满足 ，
，即 ，
，即 ．
【点睛】本题考查利用线段比例的性质化简求值，熟练掌握 与 的互化是解决问题的关键．
【变式3-2】．已知 ，则 的值为_____．
【答案】0
【分析】根据比例的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 ．
故答案为∶0
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
【变式3-3】．若 ， ，则 __________．
【答案】
【分析】根据比的基本性质，将 化为 ，然后即可得出答案．
【详解】根据比例的基本性质可知，
∵ ，且
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查求比值，掌握比的基本性质是解题的关键．
【题型4 成比例线段】【例4】．下列四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】B
【分析】根据比例线段的概念，将所给四条线段按照从小到大的顺序排列，用最小的乘以最大的，中间两条相乘，看
它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项错误；
B、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项正确；
C、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项错误；
D、按照从小到大排列： ， ， ， ，则 ，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，判断四条线段是否成比例，必须将所给线段按照一定的顺序重
排，通常按照从小到大即可，在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，中间两条相乘，看它们的积是否相
等即可确定．
【变式4-1】．下列各组中的线段，其中a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义：如果其中两条线段a，d的乘积等于另外两条线段b，c的乘积，则四条线段a，b，
c，d成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、 ，故选项不符合题意；
B、 ，故选项不符合题意；
C、 ，故选项不符合题意；
D、 ，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，
看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
【变式4-2】．下面两个比能组成比例的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B【分析】根据成比例的定义即可进行解答．
【详解】解：A、 ，故A不成比例，不符合题意；
B、 ，故B成比例，符合题意；
C、 ，故C不成比例，不符合题意；
D、 ，故D不成比例，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了成比例的定义，解题的关键是熟练掌握：两个量的比值与另两个量的比值相等，就叫成比例．
【变式4-3】．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4、2、1、3 B．1、2、3、5 C．3、4、5、6 D．3、4、6、8
【答案】D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、 ，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、 ，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、 ，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
D、 ，故此选项中四条线段成比例，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，
看它们的积是否相等进行判断．
【题型5 平行线分线段成比例】
【例5】．如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】解：A．∵ ，
∴ ，故该选项正确，符合题意；
B．∵ ，∴ ，故该选项错误，不符合题意；
C．∵ ，
∴ ，故该选项错误，不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，故该选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的
对应线段的长度成比例．
【变式5-1】．如图，直线 ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若
， ，则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【分析】由平行线可得比例式 ，代入可求得 ．
【详解】∵ ， ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
【变式5-2】．如图，在 中， 、 、 分别是 、 、 上一点， ， ， ，
，则 （ ）cm．A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例得出 ，然后结合 即可求解．
【详解】解∶∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出 是解题的关键．
【变式5-3】．如图，直线 ，直线 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若
，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，代入数据即可得到结论．
【详解】解： ，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
【题型6 黄金分割】
【例6】．已知一本书的宽与长之比等于 称为黄金比，若书的长是 ，则宽为____________cm．
【答案】
【分析】利用一本书的宽与长之比等于 建立等量关系．
【详解】由题可得 ，
书的长是 ，
宽 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割点，根据题目条件建立等量关系是解决本题的关键．
【变式6-1】．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为 的黄金分割
点（ ），如果 的长度为10cm，则 的长度为 ___________cm．（结果保留根号）
【答案】【分析】根据黄金分割的定义可得 ，从而求出 的长，然后根据线段的和差关系求出 的长，即可
解答．
【详解】解：∵B为 的黄金分割点（ ）， 的长度为10cm，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【变式6-2】．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为 ，则它的长为_______ ．
【答案】 ##
【分析】根据黄金比值是 进行计算即可．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，
∴这本书的长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是 是解题的关键．
【变式6-3】．当一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比值越接近黄金分割比 时，
越给人一种美感．某位参加空姐选拔的选手身高 ，上半身长 ，那么她应穿______ 的鞋子才更美？（精
确到 ）．
【答案】5
【分析】设某位参加空姐选拔的选手应穿 的鞋子，根据黄金分割的定义列出方程，解方程即可．
【详解】解：设某位参加空姐选拔的选手应穿 的鞋子才更美，
根据题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
即某位参加空姐选拔的选手应穿 的鞋子才更美．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，解决本题的关键是掌握黄金分割的比值．三、课后练习
1．“相似的图形”是( )
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【答案】A
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
【详解】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选A．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形．
2．观察下列各组图形，其中不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、形状不相同，大小不同，不符合相似定义，故符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故不符合题意；
D、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
3．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．有一个角为 的两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．有一个角为 的两个等腰三角形
D．两个矩形
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【详解】解：A、分别有一个角是 的两个等腰三角形，其底角都等于 ，所以有一个角是 的两个等腰三角形相似，此选项符合题意；
B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合
题意；
C、一个角为 的两个等腰三角形不一定相似，因为 的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性
质是解决问题的关键．
4．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b= ，c= ，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b= ，c= ，d=2
【答案】C
【详解】∵ ，故选项A中的线段成比例；
∵ ， ，故选项B中的线段成比例；
∵ ，故选项C中的线段不成比例；
∵ ， ，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
5．四边形ABCD与四边形 相似，相似比为2：3，四边形 与四边形 相似，相似比为5：
4，则四边形ABCD与四边形 相似且相似比为
A．5：6 B．6：5 C．5：6或6：5 D．8：15
【答案】A
【分析】首先将2：3转化为10：15，将5：4转化为15：12，然后求得四边形ABCD与四边形AB C D 相似比即可．
2 2 2 2
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形AB C D 相似，相似比为2：3，
1 1 1 1
即，相似比可化为：10：15；
四边形AB C D 与四边形AB C D 相似，相似比为5：4，
1 1 1 1 2 2 2 2
即，相似比可化为：15：12；∴四边形ABCD与四边形AB C D 且相似比为10：12，
2 2 2 2
即， 相似比为5：6．
故选A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是将相似比进行转换．
6．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知AC:AB=BC:AC= ，
∴AC:BC= .
故选A.
7．已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】利用设 法，进行计算即可解答．
【详解】解：设 ，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设 法是解题的关键．
8．已知 ，且 ，则 的值为__________．
【答案】12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
9．如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 、 固定在乐器板面上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，支撑
点 是靠近点 的黄金分割点，则 ______ ， ______ 结果保留根号，参考数据：黄金分割数：
【答案】
【分析】由黄金分割点的定义求出 的长，即可解决问题，
【详解】解： 支撑点 是靠近点 的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，
，
；
，
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．
10．如图，四边形 中， ，如果 ， ， ，则 的长是__________．
【答案】 ## ##
【分析】根据平行线分线段成比例得出 ，求出 ，即可得出答案．【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键．
11．如图，四边形 与四边形 相似，若 ，则 _____°．
【答案】103
【分析】根据相似图形对应边相等求出 ，再根据四边形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形 与四边形 相似，
∴ ，
∴ ，
故答案为：103．
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，熟知相似图形对应边相等是解题的关键．
12．已知a，b，c，d四条线段成比例，其中a＝3cm，b＝(x－1) cm，c＝5 cm，d＝(x＋1) cm，则x＝________．
【答案】4
【详解】∵a，b，c，d四条线段成比例，
∴ ，
∵a＝3cm，b＝(x－1) cm，c＝5 cm，d＝(x＋1) cm，
∴ ，
解得x=4cm.
13．如图，四边形ABCD~四边形 ，求边BC，AB的长度x，y和 的大小．【答案】 ， ， =83゜．
α
【分析】根据四边形 四边形 ，得出边长比，求出x和y的值，再根据相似四边形的对应角相等，求
出 的大小.
【详解】∵四边形 四边形
∴ ，
∴ ， .
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了形似四边形的性质，掌握相似四边形的对应边长比等于相似比以及相似四边形的对应角相等是解
题的关键.
14．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD=6，DF=3，BC=5，求
BE的长
【答案】7.5
【详解】分析：由平行可得到 ，代入可求得CE，再根据线段的和可求得BE．
本题解析：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
解得CE=2.5，
∴BE=BC+CE=5+2.5=7.5，故答案为7.5．
15．如图，点D是 边 上一点，连接 ，过 上点E作 ，交 于点F，过点F作 交
BC于点G，已知 ， ．
(1)求 的长；
(2)若 ，在上述条件和结论下，求 的长．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）由 ，推出 ，由 ，推出 ，可得结论．
（2）由 ，推出 ，可得结论．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键．
