文档内容
训练 33 计数原理
一、单项选择题
1．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成
不同的币值种数是( )
A．15 B．31 C．24 D．23
答案 D
解析 除100元人民币以外的三张人民币中，每张均有取和不取2种情况，
两张100元人民币的取法有不取、取一张和取两张3种情况，
再减去五张人民币全不取的1种情况，所以共有23×3－1＝24－1＝23(种)．
2．若5的展开式中各项系数的和为2，则展开式中的常数项为( )
A．－720 B．－360 C．360 D．1 080
答案 C
解析 5
＝ax·5＋·5，
令x＝1，则展开式的各项系数和为a＋1＝2，解得a＝1，
所以5＝x·5＋·5，
所以常数项为x·C(3x)23＋·C(3x)32＝C×32×(－2)3＋C×33×(－2)2
＝－720＋1 080＝360.
3．(2023·益阳模拟)某单位安排7位员工在“十·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人
值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁
不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A．504种 B．960种
C．1 008种 D．1 200种
答案 C
解析 依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有AA＝1 440(种)，
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的方案共有
AA＝48(种)．因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．
4．(2023·石家庄模拟)为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》
《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班
A，B，C三名同学有两名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读(不同的同学可以阅读相同的图书)，则这三名同学选取图书的不同情况有(
)
A．144种 B．162种 C．216种 D．288种
答案 A
解析 分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有C种方法，
第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余1本作为一组，
再分给三名同学，共有CCCA种方法；
第二种情况，从4本里任选2本作为一组，剩余的2本作为一组，有种方法，分给三名同学
中的两名同学，有A种方法，剩余一名同学，
从这4本中任选1本阅读，有C种方法，共有·AC种方法．
故这三名同学选取图书的不同情况有CCCA＋·AC＝144(种)．
二、多项选择题
5．(2023·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a＋a(x＋1)＋a(x＋1)2＋…＋a(x＋1)5，则( )
0 1 2 5
A．a＝－32 B．a＝－80
0 2
C．a＋4a＝0 D．a＋a＋…＋a＝1
3 4 0 1 5
答案 ABC
解析 令x＝－1得(－1－1)5＝a ，即a ＝－32，故A正确．令x＝0得(－1)5＝a ＋a ＋…＋
0 0 0 1
a ，即a ＋a ＋…＋a ＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a ＋a(x＋1)＋a(x＋1)2
5 0 1 5 0 1 2
＋…＋a(x＋1)5就变为(y－2)5＝a ＋ay＋ay2＋…＋ay5，根据二项式定理知，a 即二项式(y
5 0 1 2 5 2
－2)5展开式中y2项的系数，T ＝Cy5－r(－2)r，故a ＝C·(－2)3＝－80，B正确．a ＝C×(－
r＋1 2 4
2)1＝－10，a＝C(－2)2＝40，故C正确，故选ABC.
3
6．西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安城(西安古
称)示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐
的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法正确的是( )
A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条B．甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若两人的选择
互不影响，则两人从同一城门进城的概率为
C．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色(街道忽略)，要求有公共边的两
个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法
D．若将街道看成直线，则图中矩形ABCD区域中共有不同矩形150个
答案 ABD
解析 A项，如图1所示，
从延平门到安化门，最近的路线是从图1中点M到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以
共有C＝15(条)，故A正确；
B项，甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因为两人的
选择互不影响，所以两人进城共有9种不同的情况，两人从相同城门进城有3种情况，所以
两人从同一城门进城的概率为，故B正确；
C项，如图2所示，
用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同，则有A
＝24(种)染色方法，若1与4颜色相同，则有A＝24(种)染色方法，若2与3颜色相同，则有
A＝24(种)染色方法，若1与4颜色相同且2与3颜色相同，则有A＝12(种)染色方法，综上，
共有84种染色方法，故C错误；
D项，若将街道看成直线，则在矩形ABCD区域网格的5条横线中任取两条，6条竖线中任
取两条，即可围出一个矩形，所以共有CC＝150(个)不同的矩形，故D正确．
三、填空题
7．(2024·上饶模拟)4的展开式的常数项是________(用数字作答)．
答案 －8
解析 T ＝Cx4－r·(－2x－3)r＝C(－2)rx4－4r，令4－4r＝0，得r＝1.
r＋1
所以所求常数项为C(－2)＝－8.
8．(2023·长沙模拟)有甲、乙2位女生和4位男生共6位同学排成一排，甲同学不能站在最
左边，4位男生中恰有3位相邻的排法有________种．
答案 240解析 先将3位相邻的男生捆绑在一起记为元素a，另外一名男生记为元素b，
则甲，乙，a，b四个不同元素排成一排，甲不在最左边，a，b不相邻，
则不同的排法种数为A(AA－A)＝24×10＝240.
四、解答题
9．现有编号分别为A，B，C，D，E，F，G的7个不同的小球，将这些小球排成一排．
(1)若要求A，B，C相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若要求A排在正中间，且B，C，D各不相邻，则有多少种不同的排法？
解 (1)把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有AA＝720(种)．
(2)A在正中间，所以A的排法只有1种．
因为B，C，D互不相邻，
所以B，C，D不可能同时在A的左侧或右侧．
若B，C，D中有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，则不同的排法有 CACA＝
108(种)，
若B，C，D中有2个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，则不同的排法有 CACA＝
108(种)．
故所求的不同排法有108＋108＝216(种)．
10．已知n的展开式中偶数项二项式系数和比(1＋x)2n展开式中奇数项二项式系数和小120.
(1)求(1＋x)2n展开式中二项式系数最大的项；
(2)设n展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p＋q.
解 (1)由题意可得2n－1＋120＝22n－1，
故(2n－16)(2n＋15)＝0，故2n＝16，解得n＝4.
(1＋x)2n＝(1＋x)8，展开式中二项式系数最大的项为T＝Cx4＝70x4.
5
(2)n＝4，其展开式的第r＋1项为T ＝C()4－rr＝Cx2－r，
r＋1
令2－r＝0，得r＝2.
∴常数项p＝C＝6，
令x＝1，可得展开式中所有项系数的和为q＝24＝16，∴p＋q＝22.
