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专题 05 相似三角形（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·河南南阳·九年级期末）如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不
能说明△ACP与△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP×AB D．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的判定条件对各个条件逐条分析，即可得出结果．
【详解】A.当∠ACP=∠B，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故A不符合题意；
B.当∠APC=∠ACB，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故B不符合题意；
C.当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC时，结合∠A=∠A，可以判定△APC∽△ACB，故C不符合题意；
D.当 时，不能判断△APC和△ACB相似，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组
角对应相等的两个三角形相似．
2．(本题4分)（2022·广东梅州·九年级期末）点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE BC的
条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各个选项的条件只要能推出 或 ，即可得出 ，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可．
【详解】解：
A、根据 ，不能推出 ，故本选项错误；
B、根据 ，不能推出 ，故本选项错误；
C、根据 ，不能推出 ，故本选项错误；
D、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ = ，
∵∠A=∠A，
∴ ，
∴∠ADE=∠B，
∴ ，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出 ．
3．(本题4分)（2019·河北·保定市乐凯中学九年级期中）如图，在小正方形网格中，三角形的三个顶点均
在格点上，则下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据网格结构以及勾股定理可得：所给三角形是两直角边分别为 ，2 的直角三角形，然后
利用相似三角形的判定方法，选择答案即可．
【详解】根据勾股定理得：所给三角形的两直角边为： ， ，
∴夹直角的两边的比为 ，
A. 不是直角三角形，不符合题意，
B. 是直角三角形，且夹直角的两边的比为 ，符合题意，
C. 不是直角三角形，不符合题意，
D. 夹直角的两边的比为 ，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，掌握对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，是解题
的关键．
4．(本题4分)（2020·吉林长春·二模）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得
AB=2m，BC=8m．则建筑物CD的高是（ ）
A．8m B．6m C．4.8m D．19.2m
【答案】B
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE=1.2m，AB=2m，BC=8m，
∴AC=AB+BC=10m，
∴ ．
解得DC=6，
即建筑物CD的高是6m，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．(本题4分)（2020·安徽省安庆市外国语学校九年级期中）如图，以 为顶点的三角形与以
为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )
A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2
【答案】A
【分析】通过观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出
结论．
【详解】解：观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝
12，EF＝6，∴ ．
故选A.
【点睛】此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.
6．(本题4分)（2021·安徽宣城·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿
图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与△ABC相似的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性质求出 的长，再根据相似三角形的判定逐个判断即可得．
【详解】解：如图1，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，但 或者 ，但 ，
则 与 不相似；
如图2， ，
，
在 和 中， ，
；
如图3和图4，剪下的阴影三角形均与 有一组公共角 ，还有一组大小均为 的相等的角，
所以图3和图4中，剪下的阴影三角形均与 相似；综上，满足剪下的阴影三角形与 相似的个数是3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题
关键．
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，
，DE＝1，BC的长度是_________．
【答案】
【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到 ,即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，DE＝1，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，则点 坐标为___________．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得 ，进而可得
△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点 ，
∴OA=10，
∵ ，
∴ ，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
，即 ，
∴ ，∴BC=4，
∴点B的坐标为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
9．(本题5分)（2021·全国·九年级专题练习）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点
的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：
： ，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____．
【答案】2.5
【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1： 的三角形，求出面积即可．
【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形，
=2.5
故答案为：2.5．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思
想解决问题，属于中考常考题型．
10．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出
发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点
到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．【答案】
【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．
【详解】解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，
∵当t=6÷2=3
∴0≤t≤3
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当 ＝ 时，△APQ∽△ABC，
∴ ＝ ，
解得：t＝ ，
当 ＝ 时，△AQP∽△ABC，
∴ ＝ ，
解得：t＝ ，
∵ 3，故舍去
综上所述：当t＝ 时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： ．
【点睛】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表示相关线段的长度，
得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，考虑全面，做好分类讨论．
三、解答题(共56分)11．(本题10分)（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，等边三角形 ACB的边长为3，点P为BC上的一点，
点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． △
(1)求证： ABP∽ PCD；
(2)若PC=△2，求C△D的长．
【答案】(1)见解析
(2)CD的长为
【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在 APB中，
∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此 ABP∽ PCD； △
△ △
（2）由（1）的结论 ABP∽ PCD 可得 ，从而可以求出线段CD的长．
△ △
（1）证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在 APB中，
∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD； △
（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得 ABP∽ PCD， ，∴ ，∴CD= ．答：
△ △
CD的长为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是
推出 ABP∽ PCD．
12．△(本题10△分)（2022·山东菏泽·八年级期末）如图在 中，D为AB边上一点，且 ．
(1)求 度数；(2)如果 ，求CD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由相似三角形的性质及邻补角可进行求解；
（2）根据相似三角形的性质可得 ，然后问题可求解．
（1）
解： ，
．
，
；
（2）
解： ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
13．(本题12分)（2021·江苏·九年级专题练习）如图， 中， ，在 上分别截取
的延长线相交于点F，证明： ．
【答案】见解析
【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ， ，进而有
， ，根据 ，可得到 ，即证．
【详解】如图，过点E作 交BC于点M，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质．
14．(本题12分)（2022·全国·九年级）如图是边长为1的正方形网格， ABC 的顶点均为格点，在该网格
1 1 1
中画出 ABC （ ABC 的顶点均在格点上），使 ABC ∽ ABC ．△
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
△ △ △ △
【答案】见解析
【分析】根据题意将 各边缩小2倍，即可求解．
【详解】解：如图，△ABC 即为所求．
2 2 2【点睛】本题考查了在格点图中，画相似三角形，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15．(本题12分)（2022·黑龙江大庆·八年级期中）如图，有一块三角形土地，它的底边 m，高
m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当
这座大楼的地基面积为1875 时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．
【答案】当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米
【分析】设DE的长为x，先证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得 ，
得 ，再根据面积列出 ，求出x即可．
【详解】解：设DE的长为x，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DG
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴矩形DEFG面积为： ，
解得：x＝30或50，
EF＝DG＝62.5或37.5．
∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是理清题意正确地找到相似三角形．
