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专题 27.3 位似
1.了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小;
2.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上)分别
扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的
一、位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心．
二、位似图形的性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
三、平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的
四、作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画
法.
C
C
D
D
C B
D C D C
O A
D
A A
B A O
A O D
A C
B B B
考点01位似图形概念的辨析
例1．下列说法中正确的有（ ）
①位似图形都相似；②所有的菱形都相似；③两个相似多边形的面积比为 ，则周长的比为 ；④
边数相同的正多边形一定相似；⑤矩形都相似；⑥所有的圆都相似．
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
变式1-1．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图
形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两
个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平
行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
变式1-2．下列说法正确的是（ ）
A．两个大小不同的正三角形一定是位似图形
B．相似的两个五边形一定是位似图形
C．所有的正方形都是位似图形
D．两个位似图形一定是相似图形变式1-3．下列说法中正确的是（ ）
A．位似图形可以通过平移而相互得到
B．位似图形的对应边平行且相等
C．位似图形的位似中心不只有一个
D．位似中心到对应点的距离之比都相等
考点02位似图形的识别
例2．如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（ ）
A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称
变式2-1．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中
不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
变式2-2．如图，下面三组图形中，位似图形有（ ）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
变式2-3．下图所示的四种画法中，能使得 是 位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
考点03画已知图象放大（缩小）后的位似图形
例3．如图，在正方形网格中， 的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要
求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，以点C为位似中心作 ，使得 与 位似，且相似比为 ，点D，E分别在边
上．
(2)如图2，在边 上找一点F，使得 ．
变式3-1．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 的顶点均为格点．请按要
求在网格中画图，所化图形的顶点均需在格点上．(1)将 绕点 顺时针旋转 得到 ，请画出 ；
(2)以点 为位似中心，将 在点 异侧按位似比 进行放大得到 ，请画出 ．
变式3-2．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别是 ， ， ，
与 关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点 ， ， ，其中点 的坐标是 ．
(1) 与 的相似比是______；
(2)请在图中画出 ；
(3)若边 上有一点 ，则在边 上与点M对应的点的坐标是______．
变式3-3．连线（画图）题
(1)画出图①对应图形的另一半，使它成为一个轴对称图形．
(2)面出将图②对应图形绕 点顺时针旋转 后的图形．(3)面出将下图中的圆先向右平移7格再向上平移3格后的图形．
(4)画出图形：将第（3）小题平移后的图形按 的比放大后的图形．
考点04判断位似中心
例4．如图，点 是等边三角形 的中心， 、 、 分别是 、 、 的中点，则 与
是位似三角形，此时 与 的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B． 、点 C．2、点 D． 、点
变式4-1．如图， 与 是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
变式4-2．图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（ ）A．点A B．点 C．点 D．点
变式4-3．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）
A． B． C． D．
考点05画相似中心
例5．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若
与 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
变式5-1．如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若
与 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ； 的外心在这个三角形
（内、外、三角形边上），外心坐标是变式5-2．已知图中的每个小方格都是边长为 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若 与
是位似图形，且顶点都在格点上．
(1)画出位似中心 ，并写出它的坐标________
(2) 与 的面积之比是________．
变式5-3．如图，已知 ， ， ．(1)求线段 的长；
(2)把A、 、 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到 ， ， 的坐标，画出 ，并求 的长；
(3) 与 是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
考点06求位似图形的相似比、周长比或面积比
例6．如图， 与 位似，点O为位似中心，若 ， 的周长为4，则 的周长为
．
变式6-1．如图，以点A为位似中心，把 按相似比 放大得到 ，若 的面积为6，则
的面积为 ．变式6-2．已知正方形 的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形
正方形ABCD，相似比为 ，则点 与点B的最大距离为 ；连接 ，若 的
周长为 ，则 的面积为 ．
变式6-3．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ．
(1)以原点 为位似中心，在第四象限画一个 ，使 与 的相似比为 ；点 的坐标为
_______；
(2)若 的周长是 ，则 的周长为______ ．
考点07求位似图形的对应坐标
例7．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点O为位似中心，相似比为 ，把
缩小，则点A的对应点 的坐标是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
变式7-1．如图，在 中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 ．以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长扩大到原来的2倍，设点B的对应点 的横
坐标是b，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式7-2．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角 是等腰直角 以原点 为位似中心的位似图
形，且位似比为 ： ，点 ， ， 在 ，则 点坐标为 ．
变式7-3．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)画出与 关于 轴对称的 ；
(2)以原点 为位似中心，在第三象限内画一个 ，使它与 的相似比为 ，并写出点 的坐
标．
基础过关练
1．如图所示，在 中， 、 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是 ．以点 为位似中心，在
轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的 倍，设点 的对应点 的横坐
标是 ，则点 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．2．如图，以点O为位似中心，将 缩小后得到 ，若 ，则 与 面积的比
为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 和 是以 为位似中心的位似图形，若 ，则 的长度为
（ ）
A． B． C． D．
4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮
品．图1所示的为摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票
和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地
使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形 与四边形 是位似图形，点O是位似中心，
点 是线段 的中点，那么以下结论正确的是）
图1 图2
A．四边形 与四边形 的相似比为B．四边形 与四边形 的相似比为
C．四边形 与四边形 的周长比为
D．四边形 与四边形 的面积比为
5．线段 两个端点坐标分别为 ， ，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 缩小为
原来的 后得线段 （A与C对应），则点D的坐标为 ．
6．如图，四边形 与四边形 位似，位似中心点是点 ， ，则 ．
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则
△DEF的面积为 ．
9．如图，图中小方格都是边长为1的正方形， 与 是关于点O为位似中心的位似图形，它们
的顶点都在小正方形顶点上．(1)画出位似中心点O；
(2) 与 的位似比为______；
(3)以点O为位似中心，再画一个 使它与 的位似比等于 ．
10．在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点 均在格点上．请按要求在网格中画
图，所画图形的顶点均需在格点上．
(1)在下图中画出 ．使得 与 关于点 位似，相似比为2；
(2)在下图中画出 ，使得 ，且 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形 的五个顶点坐标分别为 ，
， ， ， ．(1)以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形 的位似图形 ，使它与五边形
的相似比为 ．
(2)写出 的坐标______．
(3)已知五边形 的面积为 ，则五边形 的面积为______．
12．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和 的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作 ，使 和 位似，且位似比为1：3．
(2)证明 和 相似．
能力提升练
1．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， 与 位似，原点O是位似中心，且 ，则
点E的坐标是（ ）A． B． C． D．
2．如图，正方形 和正方形 是位似图形（其中点 ， ， ， 的对应点分别是点 ， ，
， ），点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、O、D都在网格的格点上，点O是 和
的位似中心， 平分 交 于点E， 平分 交 于点F，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 ，以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 位似比为 ，设点B的坐标是 ，则点B的对应点 的坐标是 ．
5．如图是标示了 、 、 顶点坐标的某三角形广场，现要将该广场进行扩建，以点 为位似中心，使得
扩建前的 与扩建后的 位似．若已知点 的对应点 的坐标为 ，则
（1） 与 的相似比为 ；
（2）点 的对应点 的坐标为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点O为位似中心的位似图形，且位似
比为 ，点A，B，E在x轴上，若A，B的横坐标分别为1， ，则 的长为 ．
7．如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 、 、 ．(1)点A关于x轴对称的点 的坐标为______；
(2)以C为位似中心，在x轴下方作 的位似图形 ，使它与 的相似比为2：1，请画出图形，
并直接写出 的面积为______；
(3)在y轴上找一点M，使 的值最小，此时点M的坐标为______．
8．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个 ，使它与 位似，且相似比为 ；
(2)请写出点A的对应点 的坐标__________；
(3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
