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专题 27.39 相似三角形与动点问题（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是
边AB上的动点，当 ADE、 BCE、 CDE两两相似时，则AE＝（ ）
A． B． C． 或 D． 或1
2．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以
1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以
A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（ ）
A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s
3．如图，在 中， ，点D与点A在直线 的同侧，且
， ，点E是线段 延长线上的动点，当 和 相似时线段
的长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．4或
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，
C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时， ；④0＜CE≤2．其中正确的结论有
几个？（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，在 的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正
方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB
边上一动点，连接ED，EC，若格点 与 相似，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．如图，Rt 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若
动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts
（0≤t＜6），连接DE，当 与 相似时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
7．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且
点P的纵坐标为 ，若 POA和 PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
△ △A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个
动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两
三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？( )
A．12 B．11.52 C．13 D．8
9．在 的直角边 边上有一动点 （点P与点A、C不重合），过点 作直
线截 ，使截得的三角形与 相似，满足条件的直线最多有 （ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7
㎝，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1㎝/s，连结PC、PD．若
△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
11．如图，在 中， ， ，点P是 边的中点，点Q是 边上一
动点，若 与 相似，则 的长为________．12．如图，在矩形 中，点 在 上，且 ， ， ，点 是边
上的一个动点，连接 和 ，当 __________时， 和 是相似三角形．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、
D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足 ， ，连接CD、CE，当
点E坐标为______时，△CDB与△ACE相似．
14．如图， 中， ， ， ，动点P从点A出发在
线段 上以每秒 的速度向O运动，动直线 从 开始以每秒 的速度向上平行
移动，分别与 交于点E，F，连接 ，设动点P与动直线 同时出发，运动时间
为t秒．当t为__________时， 与 相似．
15．在 中， ，过点B作射线 ．动点D从
点A出发沿射线 方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线 方向以
每秒2个单位的速度运动．过点E作 交射线 于F，G是 中点，连接 ．设点D运动的时间为t，当 与 相似且点D位于点E左侧时，t的值为
_____________．
16．图， 中， ，在BC的延长线上截取 ，连接AD，过点
B作 于点E，交AC于点F，连接DF，点P为射线BE上一个动点，若 ，
，当 与 相似时，BP的长为__________．
17．如图，有一正方形 ，边长为 ， 是边 上的中点，对角线 上有一
动点 ，当 与 相似时， 的值为__________．
18．如图，已知直线 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB
上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P，O，Q为顶点的三角
形与 AOB相似，则点P的坐标为______．
△
三、解答题
19．如图，在直角三角形ABC中，直角边 ， ．设P，Q分别为
AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方
向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移
动．设P，Q移动的时间t秒．（1）当t为何值时， 是以 为顶角的等腰三角形？
（2） 能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由．
20．已知：如图， 直线MN，垂足为 ， ，点 是射线DM上的一个动点，
，边AC交射线DN于点 ， 的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证： ；
（2）如果 ， ，求 关于 的函数关系式；
（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与 相似，求AE的长．
21．阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发
沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s
的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？
若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在矩形ABCD中， ， ，E为AD边的一动点（不与端点重
合），连接CE并延长，交BA的延长线于点F，延长EA至点G，使 ，分别连接
BE，BG，FG．
(1) 在点E的运动过程中，四边形BEFG能否成为菱形？请判断并说明理由．
(2) 若 与 相似，求AE的长．23．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．
(1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．
(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、
B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．
(3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分
别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．24．如图，在矩形 中， ，点 是 边上一动点（点 不与 ，
重合），连接 ，以 为边在直线 的右侧作矩形 ，使得矩形 矩形
， 交直线 于点 ．
(1)【尝试初探】在点 的运动过程中， 与 始终保持相似关系，请说明
理由．
(2)【深入探究】若 ，随着 点位置的变化， 点的位置随之发生变化，当 是
线段 中点时，求 的值．
(3)【拓展延伸】连接 ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求
的值（用含 的代数式表示）．参考答案
1．D
【分析】分两种情况：①当∠CED＝90°时，和②当∠CDE＝90°时，，利用角平分线
的性质和直角三角形30°角的性质分别可得AE的长，即可解题．
解：分两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵AD//BC，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，
∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE＝ AB＝ ；②当∠CDE＝90°时，如图2，
∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，
∴∠BCE＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝ED＝2AE，
∵AB＝3，
∴AE＝1，
综上，AE的值为 或1；
故选：D．
【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形、相似三角形的性质和判定，是重要考点，
难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．A
【分析】分当△ADE∽△ABC时和当△ADE∽△ACB时两种情况，利用相似三角形的性
质进行求解即可．
解：由题意得： ， ，
∴
当△ADE∽△ABC时，
即 ，
解得 ；
当△ADE∽△ACB时，
即 ，
解得 ；综上所述，当运动时间是3s或4.8s时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
故选A．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思
想进行求解．
3．C
【分析】根据 ，可得 ，然后分两种情况讨论，即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ；
当 时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得：
∴线段 的长为3或 ．
故选：C
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题
的关键．
4．A
【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定①②正确；根据相似三角
形对应边成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的长，进而得出③正确；利用判
定③正确的结论，通过分析AD的取值范围即可得出④正确．解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝ ＝4 ．
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠C＝45°．
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
∴①正确；
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣45°＝135°．
∵∠B＝45°，
∴∠ADB+∠BAD＝180°45°＝135°．
∴∠BAD＝∠EDC．
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
∴②正确；
由①知：△ADE∽△ACD，
∴ ．
∴AD2＝AE•AC．
∴ ．
∴ ．
∴③正确；
∵点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∴0＜AD＜4．
∵垂线段最短，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值＝ BC＝2 ．
∴2 ≤AD＜4．
∵AD2＝AE•AC，∴AE＝ ＝ ．
∴2≤AE＜4．
∵EC＝AC﹣AE＝4﹣ ，
∴0＜CE≤2．
∴④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形
的内角和定理，利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行相似三角形的判定是解题的
关键．
5．C
【分析】分 ∽ 和 ∽ 两种情况讨论，求得AE和BE的长度，
根据勾股定理可求得DE和EC的长度，由此可得 的长．
解：由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，
若 ∽ ，
则 ，即 ,
解得 或 ，
当 时， ， ，
，
当 时， ， ，
，
若 ∽ ，
则 ，即 ，解得 （不符合题意，舍去），
故 或 ，故选：C．
【点拨】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，能结合图形，分类讨论是解
题关键．注意不要忽略了题干中格点三角形的定义．
6．D
【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由
D为BC的中点，可求得BD的长，当 与 相似时， 为直角三角形，然后
分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD= BC=1（cm），BE=AB-AE=4-t（cm），
当 与 相似时， 为直角三角形，
若∠BED=90°，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE= BD= （cm），
∴t=3.5，
当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠BDE=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（cm），
∴t=4-2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选：D．
【点拨】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，注意掌握分类讨论思想与数形结
合思想的应用，将相似问题转化为直角三角形问题是解题的关键．
7．D
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
解：∵点P的纵坐标为 ，
∴点P在直线y＝ 上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1， )；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴ ＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4 ，
∴P(1，2+ )或(1，2﹣ )，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
8．A
【分析】先判断面积最大时点D的位置，由 BGD∽△BAC，找出AH=8- GA，得到
△
S =- AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，于是得到结论．
矩形AGDH
解：∵AB2+AC2=100=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠EDF=∠BAC=90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B=∠E，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠EMC，
∴∠B=∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵∠EDF=90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∵GA⊥AC，
∴四边形AGDH为正方形，
当点D在 ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
如图2， △
点D在内部时（N在 ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于
M， △
∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在 ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D△在BC边上时，面积才有可能最大，
如图3，点D在BC上，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠F=∠C，
∵EF∥BC．
∴∠F=∠BDG，
∴∠BDG=∠C，
∴DG∥AC，
∴△BGD∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AH=8- GA，
S =AG×AH=AG×（8- AG）=- AG2+8AG，
矩形AGDH
当AG=- =3时，S 最大，S 最大=12．
矩形AGDH 矩形AGDH
故选A．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，极值的确定，
勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线，
9．D
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，
只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．解：
①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；
②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC=∠A，则△GCP∽△ACB．
故选D．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直
线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相
似．
10．A
解：因为AD∥BC，∠ABC=90°，
所以∠A=∠ABC=90°，设点P运动t秒钟时，△PAD与△PBC是相似三角形，
当点P在线段BA上时，
因为AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，
所以PB=t，PA=7-t，
（1）当△PAD∽△PBC时，有 ，所以 ，解得t= ；
（2）（2）当△PAD∽△CBP时，有 ，
所以 ，
解得t=3，t=4；当点P在线段BA的延长线上时，PB=t，PA=t-7，
同理：当△PAD∽△PBC时，解得t= ；
当△PAD∽△CBP时，解得t= ，因为t＞0，
所以t= ，
综上所述，t= 或t=3或t=4或t= 或t= ，所以满足条件的点P共有5个，
故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
11．5或
【分析】根据题意分两类进行讨论： 或 ，分别求得结果
即可．
解：∵ ， ，点P是 边的中点
∴
当 时
∴
即
解得：
∴
当 时
∴
即
解得：
∴
∴ 或故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，正确进行分类讨论是解题的关键．
12． 或 或
【分析】分 和 两种情况讨论，利用相似三角形对应边成
比例列方程即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，且 ， ， ，
∴AD=BC=4，AE=AD-DE=3，
设 ，则 ，
①当 时，
，即 ，
解得： ；
②当 时，
，即 ，
解得： ．
∴当 或 或 时， 和 是相似三角形．
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
13．
【分析】根据 ，可得OD=OE=DE，然后设点E（a，0），则OE=OD=a，从
而得到BD=AE=4-a， 然后分四种情况讨论，即可求解．
解：∵ ，
∴∠DEC=∠ACE，△ODE∽△OBA，
∵△OAB是等边三角形，
∴△ODE也是等边三角形，∠A=∠B=60°，
∴OD=OE=DE，设点E（a，0），则OE=OD=DE=a，
∴BD=AE=4-a，
若∠BCD=∠A=60°时，则CD∥OA，
∴∠CDB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC，
∵ ，
∴BC=2AC，
∵AB=4，
∴AC= ， ，
∴AE≠AC，此时△CDB与△ACE不相似；
同理若∠BDC=∠A=60时，△CDB与△ACE不相似；
∴∠A与∠B是对应角，
若△BCD∽△ACE，此时 ，
∴BC=AC=2，
∵ ，
∴BD=4，不合题意；
若△BCD∽△AEC，此时 ，
∴BC=2AE=2（4-a）=8-2a，
∵BD=2AC，
∴ ，
∵AB=4，
∴ ，
解得： ，
∴点 ．
故答案为：【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等
边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
14．6或
【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据 与 都是直角，当 与
相似时，O与O是对应点，因此分 ∽ 与 ∽ 两种情况讨
论,根据相似列方程解之即可．
解：∵动点P从点A出发在线段 上以每秒 的速度向O运动， ，
∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，
又∵动直线 从 开始以每秒 的速度向上平行移动，
∴OE=tcm，
根据 与 都是直角，O与O是对应点，因此分 ∽ 与 ∽
两种情况讨论，
当 ∽ ，即 时， ，
解得： ，
当 ∽ ，即 时， ，
解得： ，
综上所述：当t=6或 时， 与 相似，
故答案时：6或 ．
【点拨】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．
15．3或 ## 或3
【分析】若 与 相似，分情况讨论，则 或 ，由相似三角形
的性质可求解．
解：如下图：， 是 的中点，
．
点D位于点E左侧时，即 ，
，
解得： ，
，
若 与 相似，则 或 ，
或 ，
或
故答案为：3或 ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
16． 或9
【分析】先通过等腰三角形三线合一的性质得出BE垂直平分AD，可得 ，设
，则 ，分别讨论当 时， ，当 时，
，根据相似三角形的性质求解即可．
解： ，
，
BE垂直平分AD，
，
与 相似，
或 ，
在 中， ， ，
，，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
，解得 ，
，
在 中，
，
当 时， ，
，即 ，
；
当 时， ，
，即 ，
；
综上，BP的长为 或9 ，
故答案为： 或9 ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形
的判定和性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
17．6或8．
【分析】根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例式解答即可．
解：∵四边形ABCD是正方形
∴ BC＝CD＝ ，∠C＝90°
∵ 是边 上的中点∴DE＝CE＝ CD＝
在R t BCD中，由勾股定理得
△
BD＝
设BF＝x，则有DF＝12﹣x，
①当 ABF∽△FDE时，
△
由 ，即 ，
解得x＝6．
②当 ABF∽△EDF时，
△
由 ，即 ，
解得，x＝8，
综上所述，BF的值为6或8．
故答案为：6或8．
【点拨】此题考查相似三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，关键是根据
相似三角形的性质列出方程进行解答．
18．（2，1）或（ ， ）或（﹣ ， ）
【分析】设 ，则 ， ，分 或
两种情形讨论，根据相似三角形的性质列出方程，解方程求解即可．
解： 点P为直线AB 上一动点
设 ，则 ，
，
若以点P，O，Q为顶点的三角形与 AOB相似，
△或
或
，
令 ，则 ，令 ，则
或
解 或 或
P（2，1）或（ ， ）或（- ， ）
故答案为：（2，1）或（ ， ）或（﹣ ， ）
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，分类讨论是解
题的关键．
19．（1） 秒；（2） 或 秒．
【分析】（1）根据 是以 为顶角的等腰三角形，可得BP=BQ，分别表示出
BP和BQ，列出方程即可求出t的值；
（2）分△PBQ∽△ABC与△PBQ∽△CBA两种情况进行讨论，分别根据相似三角形对应
比成比例列出方程求解即可．
解：（1）∵直角边 ， ，
∴由勾股定理可得， ，
∴ ， ， ，
∵ 是以 为顶角的等腰三角形，
∴BP=BQ，即5-t=t，解得 秒，
∴当 秒， 是以 为顶角的等腰三角形；（2）能．
理由：当△PBQ∽△ABC时，
，即 ，解得： 秒；
当△PBQ∽△CBA时， ，即 ，解得： 秒，
∴当 或 秒时， 与直角三角形ABC相似．
【点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关
键是熟练掌握相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．
20．（1）见分析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据 直线MN， ，可得 ，再由BF平
分 ，可得 ，即可求证；
（2）作 垂足为点H，根据 ，可得 ，从而得到
，进而得到 ，再由角平分线的性质定理，可得 ．
再证得 ，可得 ，即可求解；
（3）根据题意可得：点D、E、F为顶点的三角形与 相似，即以点D、E、F为
顶点的三角形与 相似．然后分两种情况讨论即可求解．
解：（1）∵ 直线MN， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵BF平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）作 垂足为点H，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵BF平分 ， ， ，
∴ ．
∵ ， 直线MN，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
（3）如图，连接DF，
设 ，由 ，如果以点D、E、F为顶点的三角形与 相似，
即以点D、E、F为顶点的三角形与 相似．
∵ ，
若 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，由（2）得： ，
∴ ，
解得： （舍去负值），∴ ．
若 ，则 ，
∴ ，即 ，
∵∠BED=∠AEF，
∴△AEF∽△BED，
∴∠AFE=∠BDE，
由（2）得： ，
∴ 是锐角，而 是直角，所以这种情况不成立．
综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与 相似，AE的长为 ．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握
相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
21．(1) ＝ ，解答见分析(2)没有进行分类讨论，见分析(3)存在，t＝ 或t＝
【分析】（1）根据三角形相似的性质可得 ＝ ，再进行计算即可；
（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；
（3）根据题意可知有两种情况分别是 和 ，然后列出方
程进行计算即可．
解：（1）由题意得∵
∴正确比例式是： ＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ＝ ；
（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴ ＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
综合以上可得：DE为 或 ．
（3）由题意可知，有两种情况，
第一种：当 时，
设AM=t，则AN=6-2t，
则由 得，
解得：t= ；
第二种：当 时，
则由 ，
，
解得：t= ，
综上所述，当t＝ 或t＝ 时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论．
22．(1)能，理由见分析(2) 或
【分析】（1）当点E为AD的中点时，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行
判断即可；
（2）直接利用相似三角形的性质得到对应边成比例，求解即可，注意分类讨论对应边．解：(1)当点E为AD的中点时，
则AE是△FBC的中位线，
∴点A是BF的中点，
∴AF=AB，
∵矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴BF⊥GE，
∵ ，
∴GE与BF互相垂直平分，
∴四边形BEFG为菱形．
(2)∵矩形ABCD中，AB=CD，
若
则 ，
∴ ；
若 ,
∴ ，
∴ ,
∴ ，
解得： ；
∴AE的长为 或 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、三角形中位线的判定与性质、
菱形的判定、一元二次方程等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与性质，并能
灵活运用，本题蕴含了分类讨论和转化的思想方法．
23．(1)证明见分析；(2)PB＝1，或PB＝6，或PB＝ ；(3)①当P 线段BD上时
①△ABP∽△PDC时， ；②△ABP∽△CDP， ；③当点P在在BD的延长线上时， 或 和
【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC＝90°，则
∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC．
（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；
②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值．
（3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．
据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，
当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可；
（1）解：证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°①，
∴∠A+∠APB＝90°，
又∵∠APB+∠CPD＝90°，
∴∠A＝∠CPD②，
∴由①②，△ABP∽△PDC．
（2）
设PB＝x，则PD为（7﹣x），
①△ABP∽△PDC时， ，
即 ，
解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0，
x＝1或x＝6，
②△ABP∽△CDP． ，
即 ，
解得x＝ ．
综上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝ ．
（3）
当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时， ，即 ，
整理得，y＝x+ ；
②△ABP∽△CDP． ，
即
整理得，y＝ x．
当点P在在BD的延长线上时，③△ABP∽△PDC时，
，
∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y，
，
y＝x﹣ ．
当P在DB的延长线时，④△PBA∽△CDP， ＝ ，
∴ ，
∴y＝ ﹣x．
⑤△PAB∽△PCD时， ，
∴ ＝ ，
∴y＝ x．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论思想是解题的关键．24．(1)见分析(2) 或 (3) 或
【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，
AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得 或 ，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，
即可求解．
（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，
∴ ，解得： 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（3）
解：∵矩形 矩形 ， ，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH= ，
∴ ，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴ ，
∵△ABE∽△DEH，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，
勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，
勾股定理等知识是解题的关键．
