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专题 29.1 投影
一、知识点梳理
要点一、平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光
线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此
我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向
也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即： .
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时
刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
要点二、中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，
相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映
机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的
影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越
短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线
上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
要点诠释：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，
但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平
行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光
线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，
改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投
影的方向和位置也要发生变化.
2.区别：
（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高
度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
要点诠释：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.
要点四、正投影
正投影的定义：
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，
投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于
投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AB ，与线段AB的长相等；
1 1
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段AB ，长小于线段AB的长；
2 2
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图
形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类
似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.
(3)立体图形的正投影.
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的
最大截面全等.
要点诠释：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.
(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有
联系的.
二、题型总结
【题型1 平行投影】
【例1】．下列关于投影的描述，不正确的描述有（ ）
A．在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值
B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形
C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关
D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图
【变式1-1】．如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
A． B． C． D．
【变式1-2】．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）
（3）
【变式1-3】．如图，一棵树 的高度为 米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长 为 米，现在
小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为 米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？【题型2 中心投影】
【例2】．在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路．某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下
的影子如图所示，则路灯的位置为（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
【变式2-1】．如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从 处背着灯柱方向走到 处，在这一过程中他在该
路灯灯光下的影子（ ）
A．由长逐渐变短 B．由短逐渐变长
C．先变长后变短 D．先变短后变长
【变式2-2】．小华和小明在同一盏路灯下的影长如图所示，请找出路灯灯泡的位置．
【变式2-3】．垂直于地面的电线杆顶端是路灯灯泡，如图所示，木杆 ， 垂直于地面．它们在路灯下的影子分
别是 ， ．(1)请画出电线杆 （路灯灯泡用点P表示，电线杆底部用点Q表示）；
(2)若木杆 的高度为4米，影长 为6米，木杆底部B与电线杆底部Q的距离为3米，求电线杆 的高度．
【题型3 正投影】
【例3】．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正
投影是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．如图， 是线段AB在投影面P上的正投影， ， ，则投影 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】．如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？（1）铁丝平行于投影面；
（2）铁丝倾斜于投影面；
（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．
通过观察，我们可以发现：
（1）当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为AB_____AB；
1 1 1 1
（2）当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段AB，线段与它的投影的大小关系为AB______AB；
2 2 2 2
（3）当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________．
【题型4 视点、视角和盲区】
【例4】．下列事例中，属于减少盲区的有（ ）
①站在阳台上看地面，向前走几步；②将眼前的纸片靠近眼睛；③将胡同的出口修成梯形状；④前方有看不见的地方，
用望远镜看．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-1】．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两
个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
【变式4-2】．电影院座位号呈阶梯状或下坡状的原因是（ ）
A．减小盲区B．增大盲区 C．盲区不变 D．为了美观
【变式4-3】．小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
三．课后练习
1．下列说法正确的是( )
A．正投影是中心投影的一种特例 B．正投影是平行投影的一种特例
C．正投影既不是平行投影又不是中心投影 D．平行投影就是正投影
2．两个物体的正投影都是圆，则这两个物体可能是( )
A．圆柱体、圆锥体 B．圆柱体、正方体 C．圆柱体、球 D．圆锥体、球
3．几何体在平面P的正投影，取决于( )
①几何体形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的
路段是( )
A．AB B．BC C．CD D．DE
5．一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，如图所示，木棒AB在投影面P上的正投影为AB ，且AB＝20cm，∠BAA ＝120°，则投影长AB ＝
1 1 1 1 1
________cm.7．一个2米高的旗杆的影长是6米，同一时刻它临近的一个建筑物的影长是18米．则这个建筑的高度是______米．
8．画出如图所示的正六棱柱物体的正投影．
(1)投影线由物体前方射向后方；
(2)投影线由物体上方射向下方；
(3)投影线由物体左方射向右方．
9．旗杆、树和竹竿都垂直于地面且一字排列，在路灯下树和竹竿的影子的方位和长短如图所示．请根据图上的信息
标出灯泡的位置(用点P表示)，再作出旗杆的影子(用字母表示)．(不写作法，保留作图痕迹)
10．如图，屋顶上有一只小猫，院子里有一只小老鼠，为了不让小猫看见，小老鼠应在什么范围内活动？
11．如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
（1）纸板平行于投影面；
（2）纸板倾斜于投影面；
（3）纸板垂直于投影面．
通过观察、测量可知：
（1）当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的_________________；
（2）当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的___________________；
（3）当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为_______________．
12．如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做
法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的
影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．(1)根据题意画图，找出路灯的位置．
(2)求路灯的高和影长 ．
13．某校墙边有两根木杆．
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出乙木杆的影子吗？(用线段表示影子)
(2)当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
(3)在你所画的图中有相似三角形吗？
14．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？
(2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面
的N楼，此时你的视角α是多少度？
15．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测量教学楼的高度．在阳光下，测得身高1.65m的黄丽同学BC的影子
BA长1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影子DF长12.1m.(1)请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的影子DF；
(2)请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度(精确到0.1m)．
