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6.3实数
有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形
式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有
根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
题型1：无理数的概念
π 22
1.（2023八上·开江期末）数 ，3.14， ，√3，1.732，−√16，√8，0.203，﹣0.1010010001…
3 7
（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2023八上·达州期末）在﹣1.414，√2，π，2+√3，3.212212221…，3.14这些数中，无理
数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
1
【变式1-2】（2022七上·长兴月考）下列各数： ，√9，π，0.32，√5，0.101101110．．．每两个0之
2
间依次多一个1)，其中是无理数的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
实数：有理数和无理数统称为实数.
按与0的大小关系分：
实数的分类
按定义分：实数
实数
题型2：实数的分类
2.（2022七上·泉州期末）把下列各数分别填入相应的集合里.
1 2
−2，3 ，0.02，π，− ，2022，−3.14，0，−8.
2 3
（1）正数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）分数集合：{ …}；
（4）整数集合：{ …}.
【变式2-1】（2022七上·衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
22
0，− ，−2，√25，－3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
7
整 数： .
负分数： .
无理数： .
【变式2-2】（2022七上·宁波期中）下列实数： 2 ，√3 9，1， √9 ， π ， − 7 ，
0.3
• 分数有（ ）
4 2 3
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实
数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
题型3：实数与数轴
3.（2021八上·房山期中）如果实数a=√11，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（
）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2022·易县模拟）如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是−1、√5，若线段AB=BC，则点C所表示的实数是（ ）
A．1+√5 B．2+√5 C．2√5+1 D．2√5−1
【变式3-2】（1）若3﹣a的相反数是负数，判断a﹣3与0的大小关系．
（2）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则a b，|a| |b|．
【变式3-3】如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，请在答题卡上填写对应的实数：-
1
，π，0， √2 ，2，- √3 ．
2
实数的相关概念：
（1）相反数∶实数a的相反数为-a，若a，b互为相反数，则a+b=0;
1
（2）倒数∶非零实数a的倒数为 若a，b 互为倒数，则ab=1;
a
（3）绝对值∶
题型4：实数的相关概念
4.下列个数中相反数最小的是（ ）
A．−√5 B．√3 C．0 D．π
【变式4-1】写出下列各数的相反数：﹣ ， ﹣3.14， ．
π
【变式4-2】现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理
数只有零；③﹣a一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数；⑤若两个数的绝对值相等，则这两
个数一定相等．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型5：利用数轴化简求值
5.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣ ，设点B所表示的数为
m．（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+（m﹣6）的值．
【变式5-1】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求代数式|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b﹣c|的值．
【变式 5-2】实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，其中 c 为 8 的立方根，求代数式 +|b﹣a|+
﹣|2b|的值．
实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运
算法则及运算性质等同样适用.
题型6：实数的运算
6.计算或化简下列各题：
（1）2√2+(−1) 2021−(−√2) ；
（2）3(√3+√2)−2|√2−√3| .
【变式6-1】化简： |√6−√2|+|√2−1|−|3−√6|
|1−√2|+|√2−√3|+|2√3−3|
【变式6-2】（2022七下·双台子期末）计算：√3 (−4) 3+√3(√3+3)−|1−√3|．
√364−√(−6) 2−|√3−2|+2√3
题型7：利用实数的性质求值
7.已知|2a＋b|与 √3b+12 互为相反数．求2a－3b的平方根
【变式7-1】已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求
a+b+m2+1
的平方根．
√cd
【变式7-2】化简：已知实数 a，b，c 在数轴上的位置如图，求代数式
|c−b|−|−b|+√a2+|a+c| 的值题型8：实数的应用
8.（2021七下·大连期末）如图用两个边长为√18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿
着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面
积为30cm2？请说明理由．
【变式8-1】（2020七下·恩平期中）数学活动课上，张老师说：“ √2 是无理数，无理数就是无限不
循环小数，同学们，你能把 √2 的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它
的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用 (√2−1) 表示它的小数部分”张老师说：“晶晶
同学的说法是正确的，因为 √2 的整数部分是 1 ，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”
请你解答：已知 8+√3=x+ y ，其中 x 是一个整数，且 0
