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专题26.2 反比例函数的图象与性质
一、知识点梳理
反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反
比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比
例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所以两个分支都无
限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺
序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不
与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，
当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而增大；
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函
数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推
断出 的符号.
要点四：反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义过双曲线 ( ) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
过双曲线 ( ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
二、题型总结
【题型1判断（画）反比例函数图象】
【例1】．反比例函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 中，当k＞0时，函数的图象在一、三象限，当k＜0时，反比例函数的图象在二、
四象限，即可求解．．
【详解】解：由 ， ，
∴函数图象在二、四象限，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象的性质是解题的关键．【变式1-1】．反比例函数 的图像大致是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的比例系数 ，得出函数图像是位于二四象限的双曲线，据此判断即可．
【详解】对于反比例函数 ，比例系数 ，
∴函数图像是位于二四象限的双曲线．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键．
【变式1-2】．已知函数 经过点 ．
(1)求 的值；
(2)完成下列表格，并在平面直角坐标系中画出该函数图像；
… ① －2 －1 1 2 4 …
… －1 －2 －4 4 ② 1 …
(3)利用图像直接求出当 时， 的取值范围是______．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)0＜y＜4【分析】（1）将点（1，4）代入函数解析式，即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式；
（2）先完成表格，再在直角坐标系中描点，最后用平滑的曲线连接；
（3）根据图像直接回答即可
（1）
将点（1，4）代入函数 得，
k=1×4=4，
函数解析式为： ；
（2）
将y=-1代入函数 中，得x=-4，将x=2代入函数 中，得y=2，
故完成表格如下：
… -4 －2 －1 1 2 4 …
… －1 －2 －4 4 2 1 …
在平面直角坐标系中画出该函数图像如下：
（3）
由图像可得，当 时， 的取值范围是0＜y＜4，
故答案为：0＜y＜4，
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式以及函数与不等式的关系等知
识，注意掌握函数思想与数形结合思想的应用．
【变式1-3】．经过实验获得两个变量 的一组对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 6 2.9 2 1.5 1.2 1(1)在如图的直角坐标系中，画出相应函数的图象．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)当 时，求y的取值范围．
【答案】(1)画图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用描点法即可解决问题；
（2）由图象可知，y近似的看作是x的反比例函数，设 ，利用待定系数法即可解决问题；
（3）把 代入解析式中，求出y即可，再结合函数图象可得此时图象在x轴的上方，在直线 的
下方，从而可得答案．
(1)
解：利用描点法画出图形即可．
(2)
由图象可知，y可近似看作是x的反比例函数，设 (k≠0)， 把（1，6）代入得到，k=6，
∴y关于x的函数解析式为 ．
(3)
把 代入 ，得 ，
∴结合函数图象可得：当 时，y的取值范围为： ．
【点睛】本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作
图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
【题型2判断反比例函数所在象限】
【例2】．反比例函数 的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质作答．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数y＝ 的图像分布在第一、三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像的性质．
【变式2-1】．反比例函数 的图象经过点（-2，3），则它的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】B
【分析】利用待定系数法求得k的值；最后根据k的符号判断该函数所在的象限．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点（-2，3），
∴ ，
∴该函数图象经过第二、四象限，
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质．解题的关键是求出反比例函数解析式，熟记反比例函数图
象的性质．
【变式2-2】．反比例函数 的图象经过点 (−3，5)，则该反比例函数图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限【答案】B
【分析】先把点(−3，5)代入反比例函数y＝ (k≠0)得到k＝−15＜0，根据反比例函数的性质即可得到反比
例函数y＝ (k≠0)的图象在第二、四象限．
【详解】解：∵反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过点(−3，5)，
∴k＝−3×5＝−15，
∴k＜0，
∴反比例函数y＝ (k≠0)的图象在第二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数y＝ (k≠0)的图象上点的横纵坐
标之积为常数k；当k＞0时，图象分布在第一、第三象限；当k＜0时，图象分布在第二、第四象限．
【变式2-3】．下列关于反比例函数y＝ 的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质进行分析即可．
【详解】解：在反比例函数 中，k2+2＞0．
A、该反比例函数图象经过第一、三象限，则当x＞0时，y＞0，结论不正确，不符合题意；
B、该反比例函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，结论不正确，不符合题意；
C、该反比例函数图象经过第一、三象限，结论不正确，不符合题意；
D、图象关于直线y=-x对称，结论正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质判断．
【题型3反比例函数图象与一次、二次函数图象结合】
【例3】．在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和反比例函数的图像与系数的关系，即可判断各选项是否正确．
【详解】解：∵ 与y轴的交点为（0，1）
∴可排除B、D选项；
当 时， 的图像y随x的增大而增大，不经过第四象限， 在第一、三象限；
C符合；
当 时， 的图像y随x的增大而减小，不经过第三象限， 的图像在第二、四
象限，无选项符合；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，分类讨论是本
题的解题关键．
【变式3-1】．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数
的图象大致可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a，b的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出
a，b的符号，至此找出一次函数和反比例函数a，b的符号一致的选项即可．
【详解】解：A.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题
意；
B.由一次函数图象知a，b同号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项错误，不符合题意；C.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b异号，故该选项正确，符合题意；
D.由一次函数图象知a，b异号，由反比例函数图象知a，b同号，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a，b的符号，明确
系数与函数图象的关系．
【变式3-2】．已知二次函数 的图像如图所示，则一次函数 和反比例函数
的图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数 所经过的象限和反比例函
数 所在的象限．
【详解】解：∵二次函数 的图像开口向下，对称轴在y轴右边，与y轴的交点在y轴
负半轴，
∴a<0， ，c<0，
∴b＞0，
∴一次函数 的图像经过第一、二、四象限，反比例函数 的图像在第二、四象限，选项C符
合题意．
故选：C【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关
系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
【变式3-3】．二次函数 的图象如图，则一次函数 与反比例函数 ．在同一
坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线图象，得到 ， ， ，即可判断出答案．
【详解】解：根据抛物线图象，开口向上，即 ；与 轴交于负半轴，故 ；对称轴在 轴正半轴，
即 ，所以 ；
∵ 中， ， ，∴排除A、B选项；
∵ ， ， ，∴ ，故排除C选项；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象及一次函数图象，熟练掌握函数图象和性质是本
题的关键．
【题型4根据反比例函数判断其性质】
【例4】．关于函数 的图像，下列说法错误的是（ ）
A．该函数图像是双曲线 B．经过点
C．在第二象限内，y随x的增大而增大 D．是中心对称图，且对称中心是坐标原点【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质并结合其对称性对各项分析判断即可．
【详解】A．反比例函数的图象是双曲线．正确，不符合题意；
B．把点 代入函数 ，等式不成立，错误，符合题意；
C．∵ ，∴在第二象限内，y随x的增大而增大，正确，不符合题意；
D．是中心对称图，且对称中心是坐标原点，正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及其性质，熟记知识点是解题的关键．
【变式4-1】．对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．它的图象在第二、四象限 B．点 在它的图象上
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：在反比例函数 中， ，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，故A选项不符合题意；
当 时， ，
∴点 在函数图象上，故B选项不符合题意；
在每一象限内， 随着 增大而增大，
故C选项符合题意，D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【变式4-2】．对于函数 ，下列结论中，错误的是（ ）．
A．当 时，y随x的增大而增大
B．当 时，y随x的增大而减小
C． 时的函数值小于 时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵
∴双曲线过二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大
当 时：
当 时：
故：A、C、D选项正确，不符合题意；B选项说法不正确，符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式4-3】．关于函数 有如下结论：①函数图象一定经过点 和 ；②函数图象在第一、
三象限；③函数值 随 的增大而减小；④当 时， 的取值范围为 ；⑤函数 的图象与直
线 的两个交点关于原点对称，其中正确的有个( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点、函数的增减性及对称性进行逐一分析解答．
【详解】解：①根据反比例函数中 可知 ，即函数图象一定经过点
和 ，故正确；
②因为此函数中 ，所以函数图象在第一、三象限，故正确；
③因为反比例函数的增减性必须强调在每个象限内或在双曲线的每一支上，故错误；
④当 时， 的取值范围为 或 ，故错误；
⑤因为函数 的图象关于原点对称，而直线 的图象不是关于原点对称的，所以函数 的图
象与直线 的两个交点不是关于原点对称的，故错误；
①②两个正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例
函数的性质是解题的关键．
【题型5根据反比例函数图象性质求参数】【例5】．已知函数 ，当 时， 随 增大而减小，则关于 的方程 的根的情况是
( )
A．有两个正根 B．有一个正根一个负根
C．有两个负根 D．没有实根
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的性质求出ab>0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可．
【详解】解：∵当 时， 随 增大而减小，
∴ab>0．
∵ ，
∴方程有两个不相等的根．
∵ ，
∴方程有一个正根一个负根．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出
ab>0．
【变式5-1】．在反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，则k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质可知k+1＞0．从而得出k的范围．
【详解】解：∵反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，
∴k+1＞0，
∴k＞-1，
故选：C．
【点睛】题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
【变式5-2】．已知 ， 两点在双曲线 上，且 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把 ， 代入双曲线 可进行求解．【详解】解：由题意得：
， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式5-3】．已知反比例函数 （m为常数）若在其图像的每个分支上，y随x的增大而减小，则
m的取值范围为_______．
【答案】m>3
【分析】直接根据反比例函数的性质作答即可．
【详解】解：由题意得：
m-3>0，
m>3，
故答案为m>3．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞
0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函
数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
【题型6 k的几何意义】
【例6】．如图，点 在反比例函数 的图像上， 轴于点 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到 的值．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
∵ 的面积是 ，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数 的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是找
出 与三角形面积的关系．
【变式6-1】．如图，已知点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ，点 在 轴的负半
轴上，若 ，则 的值为__________．
【答案】-2【分析】连接OA，根据AC⊥y轴，可得 ，再根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值．
【详解】解：如图，连接OA，
∵AC⊥y轴， ，
∴ ，
∴|k|＝2×1＝2，
∵k＜0，
∴k＝−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
【变式6-1】．如图，点 、 是双曲线 上的点，分别过点 、 是作 轴和 轴的垂线段，若图中
阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______________．
【答案】8
【分析】根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可．
【详解】解：∵点A、B是双曲线y＝ 上的点，
∴S ACOG＝S BEOF＝6，
矩形 矩形
∵S DGOF＝2，
阴影
∴S ACDF+S BDGE＝6+6﹣2﹣2＝8．
矩形 矩形
故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数k值的几何意义，将k转换成矩形的面积是解答本题的关键．
【变式6-3】．如图，点A，D分别在函数 和 的图象上，点B，C在x轴上，若四边形
为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是__________．
【答案】( ，4)
【分析】设AD与y轴交于点P，由反比例函数中k的几何意义可知
，从而可求出 ．再将 代入 ，可求得 ，
即D( ，4)．
【详解】如图，设AD与y轴交于点P，根据反比例函数k的几何意义可知: ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
将 代入 ，得 ，
解得： ，
∴D( ，4)．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数 图象上任意一点作x
轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为 是解题关键．
三、课后练习
1．已知反比例函数y＝ 的图象经过点P（﹣2021，2022），则这个函数的图象位于（ ）
A．一三象限 B．二三象限 C．三四象限 D．二四象限
【答案】D
【分析】由P点的坐标判断P点在第二象限，根据反比例函数的性质即可判断这个函数的图象位于二四象
限．
【详解】解：∵点P（-2021，2022），
∴点P在第二象限，
∵反比例函数y= 的图象经过点P（-2021，2022），
∴这个函数的图象位于二四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质
解答．2．已知反比例函数 的图象在第二、四象限内，则 的值不可能是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据此图象位于二、四象限，则根据k-2＜0求解．
【详解】解：反比例函数 的图象在第二、四象限，根据反比例函数的图象和性质，k-2＜0，
则k＜2，
所以k的值不可能为3．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象
分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象
限，y随x的增大而增大．
3．关于函数 ，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的图象在第二、四象限 B．函数的图象与坐标轴没有交点
C．y的值随x值的增大而减小 D．函数的图象关于原点对称
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质解答．
【详解】解：关于函数 ，
∵k=-2<0，∴函数图象的两个分支在第二、四象限，函数的图象与坐标轴没有交点，y的值随x值的增大而
增大，函数的图象关于原点对称，
故选项A、B、D正确，选项C错误，
故选：C．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限
内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大
而增大．
4．点A ，B ，C 都在反比例函数 的图象上，且 ，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x＜x＜0＜x 即可得出结论．
1 2 3【详解】解：∵反比例函数 中k=-3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵ ，
∴A、B两点在第二象限，C点在第四象限，
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点以及反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上各
点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．如图，过反比例函数y＝ （x＞0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连
接OA、OB，设AC与OB的交点为E， AOE与梯形ECDB的面积分别为 、 ，比较它们的大小，可得
△
（ ）
A． ＞ B． ＝ C． ＜ D．大小关系不能确定
【答案】B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得： ，再由 ，
，利用等式的性质得到答案．
【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义可得： ；
∵ ， ，
∴ ，
即 ＝ ．
故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、
向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S |k|．
6．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的
大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＜
0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，即－a＜0，
又∵对称轴为直线x＝－ ＜0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝－ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 图象在第二、四象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性
质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
7．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝ 在同一坐标系内的图像大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将一次函数化简为 ，得出x轴的交点为 ，据此排除选项A、C，考虑 时及
时，判断两个函数经过的象限即可得出结果．
【详解】解：AC. ，
函数 与x轴的交点为 ，故A、C不合题意；
B.函数 ，且 为常数 中 时，反比例函数图像在一、三象限，此时 的图像在第一、
二、三象限，故B符合题意；
当函数 ，且 为常数 中 时，反比例函数图像在二、四象限，此时 的图像在第二、
三、四象限，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像是解题关键．
8．已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则 的值是______．
【答案】-3
【分析】直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出 ，且 ，进而得出答
案．
【详解】解： 函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，
，且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
9．已知反比例函数 的图象在第二、第四象限，则 的取值范围是______．
【答案】【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限， ，解不等式即可得结果．
【详解】解： 反比例函数 的图象在第二、第四象限，
，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查反比例函数 的图象的性质： 时，图象是位于一、三象限． 时，
图象是位于二、四象限．
10．如图，点A是反比例函数 图像上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形
ABOC的面积为______．
【答案】3
【分析】根据反比例函数解析式中比例系数k的几何意义即可解决．
【详解】由反比例函数解析式中比例系数k的几何意义知，四边形ABOC的面积为 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握它是解决问题的关键．
11．如图，O是坐标原点，点A在函数 的图象上， 轴于B点， 的面积为4，则k
的值为____________．
【答案】﹣8
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到 |k|＝4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：∵AB⊥x轴，∴ ＝ |k|，即 |k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为﹣8．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，准确计算是解题的关键．
12．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝ 的图象与性
质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：下表是x与y的几组对应值，请填出表格中的空余部分即 ：
x … －1 0 1 3 4 5 …
－
y … －1 2 ▲ …
2
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：① ；② ．
(3)函数y＝ 的图象经过 的变化或得到y＝ 的图，这是因为 ．【答案】(1)1，见解析
(2)①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象y随x的
增大而减小；
(3)向右平移2个单位；在函数 中，把x－2视作一个整体x
【分析】（1）先求出空余部分的值，再画图像：①在坐标系中描出各点；②把描出的点用平滑的曲线顺
次连接即可；
（2）根据图象，数形结合即可写出两条性质；
（3）观察图象即可求得．
（1）
解：将x=3代入y＝ 得：y=1，表中空余部分的值为1；
连线正确画出图形（如图所示）
（2）
其性质有：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象
y随x的增大而减小；
故答案为：①（图象无限的接近于直线x=2、x轴），但与它们永远没有交点；②当x＞2和x＜2时，图象
y随x的增大而减小；
（3）函数y= 的图象向右平移2个单位即得函数 图象；
这是因为在函数 ，把“x－2”视作一个整体“x”就可以了.
故答案为：向右平移2个单位；在函数 中，把x－2视作一个整体x．
【点睛】本题考查函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出
图象，再数形结合研究函数性质．
13．已知反比例函数y＝ （m为常数，且m≠8）．
(1)若函数图象经过点A（－1，6），求m的值；
(2)若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围；
(3)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
【分析】（1）把A（-1，6）代入反比例函数解析式即可；
（2）根据函数图像在第二、四象限，即可得到 ，求解即可；
（3）根据 时，y随x的增大而减小， ，求解即可．
（1）
解：∵反比例函数 的图像经过点 ，
∴ ，
解得 ；
（2）
解：∵反比例函数y＝ 图像在第二、四象限，
∴ ，
解得 ；
（3）
解：∵反比例函数y＝ 的图像，当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．14．如图，点 是函数 图像上的任意一点，过点 作AB x轴，交另一个函数
的图像于点 ．
(1)若 ，则 ________．
(2)当 时，若点 的横坐标是1，则线段 ________．
(3)若无论点 在何处，函数 图像上总存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，
求 的值．
【答案】(1)－6
(2)
(3)存在，
【分析】（1）如图：AB交y轴于M，根据反比例函数的比例系数的几何意义得 ，
，由于 ，则 ，即可得出k的值；
（2）由 可得出 ，再由 可得出 ，即可得出 的长度；
（3）如图，作 轴于点 ， 于点 ，证 ，得出D点的坐标即可得出 的
值．
（1）
解：如图：AB交y轴于M，
∵点 是函数 ，点 是函数 ，
∴由反比例函数的比例系数的几何意义得： ， ,
∵ ,∴ ,
∴ ；
故答案为： ；
（2）
由题意得：
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）
存在，点 在点 上方，
如图，作 轴于点 ， 于点 ，
设 ，则 ，则 ， ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的比例系数
的几何意义和平行四边形的性质是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标 中，直线 轴，垂足为 ，反比例函数 的图象与直线 交
于点 ， 的面积为 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在 轴正半轴上取一点 ，使 ，求直线 的函数表达式．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得 ，从而得到 ，即可求解；
（2）先求出 ，可得B的坐标为（5，0），再利用待定系数法，即可求解．
（1）
解：由题意可得： =6，
又∵A点的坐标为（m，3），
∴ ，解得： ，
∴ A点的坐标为（4，3）
∴ ，解得： ，
反比例函数的解析式为 ；
（2）
解： 轴
即B的坐标为（5，0），
设直线AB的解析式为
，解得 ，
∴直线AB的解析式为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求一次函数解析式，熟练掌握反比例函数和一
次函数的图象和性质是解题的关键．
