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专题 02 反比例函数与一次函数和几何综合
【思维导图】
◎考点题型1 一次函数与反比例函数图像综合判断
例．（2022·重庆一中八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与
反比例函数 的图象大致可以是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东青岛·八年级期末）反比例函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图
象可能是（ ）
A． B． C． D．变式2．（2022·河南南阳·八年级期中）已知m≠0，b＜0，则下列图中能正确表示一次函数y=mx+b和反比
例函数 的图象的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·湖南·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大
致是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型2 一次函数与反比例函数的交点问题
例．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝ （k为
常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞ 的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
变式1．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交
于点A、与y轴交于点B，过点A作 轴，交反比例函数 的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线 交于点E，若 ，则k与a的关系正确的是( )
A． B． C． D．
变式2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，反比例函数 和一次函数 图像交于A，B两点，
A点坐标为 ，当 时，x的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
变式3．（2022·河南南阳·八年级期中）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 上在同一直角坐标系
1 1 2
中的图象如图所示，则当kx十b＜ 时，x的取值范围是（ ）
1
A．x＜1成0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3
◎考点题型3 一次函数与反比例函数的实际应用
例．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与 的图象交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交函数 的图象于点C，连接AC，则△ABC的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
变式1．（2021·山东·禹城市龙泽实验学校九年级阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物
实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 （微克/毫升）与服药时间 小时之间函
数关系如图所示（当 时， 与 成反比例）．血液中药物浓度不低于 微克毫升的持续时间为
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式 >x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y= 与
一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（ ）
A． B． C． D． 或变式3．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，反比例函数 （k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像
交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D， ，则k＝__．
◎考点题型4 一次函数与反比例函数的其它综合应用
例．（2022·重庆市第七中学校一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比
例函数 图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点 ，点B的横坐标为 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，
(2)若点D是x轴上一点，且 ，求点D坐标；
(3)当 时，直接写出自变量x的取值范围．
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，已知反比例函数 （ ，k为常数）的图象与一次函
数 的图象交于 、 两点．(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)已知点 ，过点P作平行于y轴的直线，交一次函数图象于点M，且点M第一象限内，交反比例函
数图象于点N．若点P到点M的距离小于线段 的长度，结合函数图象直接写出n的取值范围．
变式2．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，直线y＝2x﹣1与双曲线y＝ 相交于点A（ ，2），B
1 2
（﹣1，﹣3）．
(1)根据图象直接写出 的解集为_____；
(2)过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，求△ABC的面积；
(3)过点C的直线交AB与点D，若直线CD将△ABC分成了面积相等的两个三角形，求出直线CD的解析式．
变式3．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，在直角坐标系中，点A(3,a)和点B是一次函数y＝x﹣2和
反比例函数y 图像的交点．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；(2)利用图像，直接写出当x﹣2 时x的取值范围；
(3)C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反比例函数图像交于点D，与x轴交于点E，当 3时，直接写出
点C的坐标．
◎考点题型5 反比例函数与几何综合
例．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知点 在正比例函数 图像上，过点 作 轴于
点B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数 图像上．
(1)若点 的横坐标为－2，求 的值；
(2)若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
变式1．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，矩形 的边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点
在反比例函数 的图象上，且 ．将矩形 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得
到矩形 ，函数 的图象刚好经过 的中点 ，交 于点 ．
(1)求该反比例函数关系式；
(2)求 的面积．
变式2．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第一象限， 轴，反比例函数 的图象经过顶点D．
(1)若 ，
①求反比例函数的解析式；
②证明：点C落在反比例函数 的图象上；
(2)若 ， ，求菱形ABCD的边长．
变式3．（2022·江苏泰州·八年级期末）对于平面直角坐标系 中的图形 和点 ，给出如下定义：将
图形 绕点 顺时针旋转 得到图形 ，图形 称为图形 关于点 的“直 图形”．例如，图中点
为点 关于点 的“直V图形”．
(1) 的图像关于原点 的“直 图形”的表达式为__________；
(2) 为 的图像上一点，其横坐标为 ，点 的坐标为 ．点 关于点 的“直 图形”
为点 ．
①若 ，试说明：不论 为何值，点 始终在直线 上；
②若 ，试判断点 能否在直线 上？若能，请求出 的值；若不能，请说明理由．
