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阶段性复习压轴专题满分攻略
专题 02 勾股定理综合各市好题必刷
一．选择题
1．（2022春•临沭县期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中
能构成直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．1， ， C．6，7，8 D．2，3，4
【答案】B
【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形，故错
误；
B、12+（ ）2＝（ ）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
2．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，一个梯子 AB长2.5米，顶端A靠在墙
AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置
上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（ ）
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
【答案】B
【解答】解：在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2＝2.52﹣1.52＝4，
∴AC＝2，
∵BD＝0.9，∴CD＝2.4．
在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3．
故选：B．
3．（2022春•颍州区期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为
1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ＝ ，
∵S ＝3×3﹣ ＝3.5，
△ABC
∴ ，
∴ ，
∴BD＝ ，
故选：D．
4．（2021秋•宽城县期末）如图，长为 8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端
A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A【解答】解：Rt△ACD中，AC＝ AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝ ＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
5．（2022春•岑溪市期中）如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高4米，两
树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行
（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】B
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC＝ ＝10m，
故选：B．
6．（2021秋•玉门市期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A、B、C、D的边长分别
是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．13 B．26 C．34 D．47
【答案】D
【解答】解：由勾股定理得，正方形 F的面积＝正方形A的面积+正方形B
的面积＝32+52＝34，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，
故选：D．
7．（2022秋•郓城县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直
径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 AC＝4，
BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【答案】A
π π
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝ ×AC×BC+ × ×（ ）2+ × ×（ ）2﹣ × ×（
π π π）2
＝ ×2×4+ × × ×（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
π
故选：A．
8．（2022春•通海县期末）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正
方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角
边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为
64，则正方形⑤的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解答】解：第一个正方形的面积是64；
第二个正方形的面积是32；
第三个正方形的面积是16；
…
第n个正方形的面积是 ，
∴正方形⑤的面积是4．
故选：B．
10．（2021秋•天元区期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：
今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目
大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙 CD
的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的
长是（ ）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【答案】C
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝ CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
11．（2022•包头自主招生）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是 a、
b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
【答案】D【解答】解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝
180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正
确；
C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则
△ABC是直角三角形，说法正确；
D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三
角形，故原来说法错误．
故选：D．
12．（2022秋•莲湖区校级月考）如图，在一个高为 5m，长为13m的楼梯表面
铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）
A．13m B．17m C．18m D．25m
【答案】B
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝ ＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17米．
故选：B．
13．（2022•叙永县模拟）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，
在Rt△ABC 中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为
48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（ ）
A．60 B．79 C．84 D．90【答案】D
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝6，
4× ab＝48﹣6＝42，
∴2ab＝42，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝6+2×42＝90．
故选：D．
14．（2022春•蜀山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），
B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的
横坐标介于（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【答案】B
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝ ，
∴AC＝AB＝ ，
∴OC＝ ，
∴点C的横坐标为（ ），
∵ ，∴ ，
∴点C的横坐标介于1到2之间．
故选：B．
15．（2021秋•汝阳县期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业
题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你
帮助一下小明．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格
点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ＝5，
∵BD⊥AC，
∴△ABC的面积＝ AC×BD＝ ×4×4，
∴BD＝ ，
故选：C．
16．（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 3，
高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长 10cm的直吸管露在罐外部分 a
的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A．5≤a≤6 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
【答案】A
【解答】解：如图，BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中
心，作射线BA、射线DA，
∴AD⊥BC，AD＝4cm，BD＝CD＝3cm，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5（cm），
当吸管底端与点 B 重合时，则露在罐外部分 a 最短，此时 a＝10﹣5＝5
（cm）；
当吸管底端与点 D 重合时，则露在罐外部分 a 最长，此时 a＝10﹣4＝6
（cm），
∴a的取值范围是5≤a≤6，
故选：A．
17．（2022春•交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证
明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．根据图形可知：
＝2ab+b2﹣2ab+a2
＝a2+b2，
∵ ，
∴a2+b2＝c2；故A选项不符合题意；
B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；
C．根据图形可知：S ＝4× ab+c2＝2ab+c2，
大正方形
S ＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，
大正方形
∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2，故C选项不符合题意；
D．根据图形可知：S ＝c2，
大正方形
S ＝ （b+b+a）×b+ （a+b+a）×a﹣2× ab＝a2+b2，
大正方形
∴a2+b2＝c2，故D选项不符合题意，
故选：B．
18．（2022•温州模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．
1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在 Rt△ABC中，∠BAC
＝90°，AC＝a，AB＝b（a＜b）．如图所示作矩形HFPQ，延长CB交HF于
点G．若正方形BCDE的面积等于矩形BEFG面积的3倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：过A作AQ⊥BC，
∴AQ＝ ，
设BC＝c，
∴c2＝a2+b2，
∴S ＝c2，
正方形BEDC
∵MB＝AB＝b，∠MBA＝∠BQA＝∠MGB＝90°，
∴∠MBG+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAQ＝90°，
∴∠ABC＝∠BMG，
∴△MGB≌△BQA（AAS），
∴BG＝AQ＝ ，
∴S ＝c ＝ab，
矩形BGFE
∵正方形BCDE的面积等于矩形BEFG面积的3倍，
∴c2＝3ab，
∵c2＝a2+b2，
∴a2+b2＝3ab，
∴a2+b2﹣3ab＝0，∴a＝ b，
∵a＜b，
∴ ＝ ；
故选：D．
19．（2022 春•同安区期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳
人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一
架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，
秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，
试问绳索有多长？”．绳索长为（ ）
A．12.5尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺
【答案】C
【解答】解：设绳索有x尺长，则
102+（x+1﹣5）2＝x2，
解得：x＝14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C．
20．（2022春•宁津县期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股
定理，将图 1 按图 2 所示“嵌入”长方形 LMJK，则该长方形的面积为（
）
A．60 B．100 C．110 D．121
【答案】C
【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图所示：
则四边形AOLP是矩形，
∴∠BOF＝∠BAC＝90°，
∵四边形BCGF是正方形，
∴BC＝BF，∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC（AAS），
∴PC＝AB，
∴AB+OB＝PC+AC，即OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，
故选：C．
二．填空题
21．（2022春•丰都县期中）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面
积分别为S ，S ，S ，且S ＝4，S ＝8，则S ＝ ．
1 2 3 1 2 3
【答案】12
【解答】解：∵△ABC直角三角形，
∴BC2+AC2＝AB2，
∵S ＝BC2，S ＝AC2，S ＝AB2，S ＝4，S ＝8，
1 2 3 1 2
∴S ＝S +S ＝12．
3 1 2
22.（2022 春•定南县期末）公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算
经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦c＝10，则小正方形
ABCD的面积是 ．【答案】4
【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，
∴股＝ ＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4
故答案是：4
23．（2022春•河北区期末）若一直角三角形两直角边长分别为 6和8，则斜边
长为 ．
【答案】10
【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长＝ ＝10，
故答案为 10．
24．（2022秋•榕城区期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折
断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 m．
【答案】8
【解答】解：由勾股定理得，断下的部分为 ＝5米，折断前为5+3＝
8米．
25．（2022•黔东南州模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问
题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代
汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池
正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，
它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
【答案】12
【解答】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故答案为：12．
26．（2022•沈北新区二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分
别以点A、点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，
作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为 ．
【答案】【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
由作图可知：MN是AB的垂直平分线，
∴O是AB的中点，
∴CO＝ AB＝ ，
故答案为： ．
27．（2022春•合阳县期末）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC
＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】19
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
则AB＝ ＝ ＝5，
∴S ＝AB2﹣ AC•BC＝52﹣ ×3×4＝19，
阴影部分
故答案为：19．
28．（2022春•滨州期中）如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝
3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于 ．
【答案】36
【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝ ＝5，
在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S ＝ AB•BC+ AC•CD＝ ×3×4+ ×5×12＝36．
四边形ABCD
故答案为：36．
29．（2022春•上杭县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，
点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝
．
【答案】4.8
【解答】解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5，
∴BF＝CF＝ BC＝3，
由勾股定理得：AF＝ ＝4，
由图可得，S ＝S +S ，
△ABC △ABP △ACP
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴ + ，＝ ×5PE，
24＝5（PD+PE），
∴PD+PE＝4.8，
故答案为：4.8．
30．（2022春•济阳区月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝
4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，
则EB′＝ ．
【答案】1.5
【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得， ，
∴B′C＝5﹣3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：1.5．
31．（2022秋•芗城区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，
D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角
三角形时，则AD的长为 ．【答案】 7 或 17
【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，
∴AF＝12，
∴CF＝ ＝5，
①如图1，当点D在AF上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝∠EDC＝（360°﹣90°）÷2＝135°．
∴∠CDF＝45°．
∴CF＝DF．
∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣CF＝12﹣5＝7．
②如图2，当点D在BF上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠CDF＝45°．
∴CF＝DF．
∴AD＝AF+DF＝AF+CF＝12+5＝17．32．（2022春•咸宁校级期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．
【答案】 16 ， 63 ， 65
【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：
n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．
所以第⑦组勾股数：16，63，65．
故答案为：16，63，65．
32．（2022秋•迎泽区校级月考）一长方体容器（如图 1），长、宽均为2，高
为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方
体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 CD＝
．
【答案】2
【解答】解：如图所示：
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得： （8﹣x+8）×2×2＝2×2×5，
解得：x＝6，∴DE＝6，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
33．（2022 春•沾化区期中）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为
2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周
长最小为 ．
【答案】4 dm
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最
小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，
∴AC2＝22+22＝8，
∴AC＝2 dm．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4 dm．
故答案为：4 dm34．（2022春•兖州区期末）如图，某自动感应门的正上方 A处装着一个感应
器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，
此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5
米，则这名学生身高CD为 米．
【答案】1.6
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝ 米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝ 米，
由勾股定理得：AE＝ ＝ ＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
35．（2022•东城区校级模拟）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形
围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF的长为 ．【答案】7
【解答】解：如图，
∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，
∴AH＝BE＝CG＝DF，AE＝BG＝CF＝DH，
∴EG＝GF＝GH＝HE，
∴四边形EGFH为菱形，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH为正方形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB＝13，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CF＝5，
根据勾股定理得，DF＝12，
∴GF＝DF﹣DH＝GC﹣FC＝7，
在△GEF中，GE＝GF＝7，∠EGF＝90°，
根据勾股定理得，EF＝ ＝7 ．
故答案为：7 ．
36．（2022秋•铁岭月考）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝
3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝ 时，△ABP为直角三角形．
【答案】 2 s 或 s
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
∴BC＝4 cm．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4÷2＝2s．
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，
解得t＝ s．
综上，当t＝2s或 s时，△ABP为直角三角形．
故答案为：2s或 s．
37．（2021秋•峨边县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC
的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图
中阴影部分的面积S ＝6.5，S ＝3.5，S ＝5.5，则S ＝ ．
1 2 3 4
【答案】2.5
【解答】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S ＝m，S ＝n，
△ABG △ACH
∵a2+b2＝c2，
∴S +S ＝S ，
△ABD △ACE △BCF
∴S +m+n+S ＝S +S +m+n，
1 4 2 3
∴S ＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5
4
故答案为：2.5．
三．解答题（共16小题）
38．（2021秋•锡山区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠DBC＝70°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°；
（2）Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝9，
设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣9，
∵Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣9）2+122＝x2，
解得x＝ ＝12.5，
∴AC＝12.5．
39．（2022 春•启东市期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A
（2，1），B（﹣2，4），直线AB与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：△OAB是直角三角形．
【解答】（1）解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
点A（2，1），B（﹣2，4），
则 ，
解得， ，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣ x+ ，
∴点C的坐标为（0， ）；
（2）证明：∵点A（2，1），B（﹣2，4），
∴OA2＝22+12＝5，OB2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25，
则OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB是直角三角形．
40．（2022春•黄州区校级期中）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行
10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414，
≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
【解答】解：（1）由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，
∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，
∴∠ABQ＝30°，
∴∠ABC＝90°．
∵AB＝BC＝10，
∴AC＝ ＝10 ≈14.1（km）．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠CAM＝60°﹣45°＝15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
41．（2022春•荣县校级月考）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，
小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，
观测点设在到公路 l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东
匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝
60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时 80千米的限制速度？（参
考数据： ＝1.41， ＝1.73）【解答】解：由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，
在直角三角形BPO中，
∵∠BPO＝45°，
∴BO＝PO＝100m
在直角三角形APO中，
∵∠APO＝60°，
∴AO＝PO•tan60°＝100
∴AB＝AO﹣BO＝（100 ﹣100）≈73米，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/时＞80千米/时，
∴此车超过每小时80千米的限制速度．
42．（2021秋•昆明期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围
上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿
东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点
A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心
为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受
到影响，当台风运动到点 F 时，海港 C 刚好不受影响，即 CE＝CF＝
250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝ ＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
43．（2022秋•诏安县期中）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D
为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，
现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站 E，使得C、D两村到收购站
E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km．
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
44．（2021 秋•玉门市期末）如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝
90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝
12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝ ＝ ＝5（米），
∵CD＝3米，AD＝4米，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：图中阴影部分土地的面积＝ AC×BC﹣ AD×CD＝ ×5×12﹣
×4×3＝24（平方米）．
45．（2022秋•滕州市校级月考）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的
数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公
式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以
Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为 S ，S ，S ，试猜想S ，S ，S
1 2 3 1 2 3
之间存在的等量关系，直接写出结论．
（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第
（2）问的结论是否成立？请说明理由．
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以
它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）S +S ＝S ；
1 2 3
（3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c．
∴S ＝ 2＝ ，S ＝ （ ）2＝ ，S ＝ （ ）2＝ ，
2 3 1
π π π
∵ + ＝ ，
∴S +S ＝S ；
1 2 3
（4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的
半圆面积．
∴阴影部分的面积＝直角三角形面积∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30．
46．（2022秋•东台市月考）如图，已知 BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD
＝90°．
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．
【解答】解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，
∴∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB＝∠BAC，
∴AB平分∠EAC；
（2）∵AD＝1，CD＝3，
∴AC＝4．
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝ ＝2 ，∠C＝45°，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：则△BCF为等腰直角三角形，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD＝
＝
＝ ．
∴BD的长等于 ．
47．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点
D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝ ＝ ＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
∵ ，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
48．（2022春•张湾区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向
运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为
每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【解答】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm
），∠B＝90°，
∴PQ＝ ＝ ＝ （cm）；
（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，
根据题意得：2t＝16﹣t，
解得：t＝ ，
即出发 秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝ ＝ ，
∴CE＝ ，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
49．（2022春•龙湖区期末）在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为
5m 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13m，此人以
0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少 m？
（假设绳子是直的，结果保留根号）【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴ （m），
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），
∴ （m），
∴ ）（m）．
答：船向岸边移动了 ）m．
50．（2022春•宁江区校级期末）一架方梯长 25米，如图，斜靠在一面墙上，
梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为： ＝24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25＝ ，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
51．（2022 春•内黄县校级月考）问题情境：在综合与实践课上，同学们以
“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到
借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方
形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造
正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF分别经过点C，
A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图 1 中，小颖所画的△ABC 的三边长分别是 AB＝ 5 ，BC＝
，AC＝ ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB＝ ，BC＝2 ，AC＝5 ，请你根据小颖的思
路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
【解答】解：（1）AB＝ ＝5，BC＝ ＝ ，AC＝
＝ ，
△ABC的面积为：4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×4﹣ ×3×1＝ ，
故答案为：5； ； ； ；（2）△ABC的面积：7×2﹣ ×3×1﹣ ×4×2﹣ ×7×1＝5．
52．（2022 春•思明区校级期中）定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成
AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称
点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，
BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，
AM＝6，求BN的长．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（18﹣x）2＝x2+36，
解得x＝8；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝36+（18﹣x）2，
解得x＝10，
综上所述，BN＝8或10．53．（2022春•利州区校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝
AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P
从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设
点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE＝ ＝5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t＝ ，
∴当t＝7或 时，△BPE为直角三角形．
