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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 3 讲 函数与方程、不等式
高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几
年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.
题型一、零点个数问题
1．已知函数 f（x） { 2x−x2，x≥0 ，则函数 f（x）在（﹣6，+∞）上的零点个数为
=
1−ln(x+6)，−6＜x＜0
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{log x，x＞0
2．已知偶函数y＝f（x），x R满足：f（x）＝x2﹣3x（x≥0），若函数g（x） 2 ，则y＝f
= 1
− ，x＜0
∈ x
（x）﹣g（x）的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
3．定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2）＝f（x），当 x （﹣1，1]时，f（x）＝x2，g（x）
∈
=
{log
3
(x−1)，x＞1
，那么函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上零点的个数为（ ）
2x，x≤1
A．9 B．8 C．7 D．6
4．已知函数f（x）＝|lnx|，g（x） { 0，0＜x≤1 ，则方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为（
=
|x2−4|−2，x＞1
）A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知函数y＝f（x）（x R）满足f（x+1）＝﹣f（x），且当x [﹣1，1]时，f（x）＝|x|，函数g（x）
∈ ∈
{sin(πx)，x≥0
，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上的零点的个数为（ ）
= 1
− ，x＜0
x
A．8 B．9 C．10 D．11
题型二、已知零点个数求参
1 1
1．已知关于x的方程2•（ ）﹣x﹣（ ）﹣x+a＝0在区间[﹣1，0]上有实数根，则实数a的取值范围是（
4 2
）
1 1 1
A．[0， ] B．[﹣1，0]∪（0， ]C．[﹣1，0] D．[﹣1， ]
8 8 8
2．已知函数f（x）＝2x+x3﹣8的零点x （m﹣1，m），则整数m的值为（ ）
0
A．﹣1 B．0 ∈ C．1 D．2
3．设f（x）＝|lnx|，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
1 1 1 2 2 2 1
A．(0， ) B．( ， ) C．( ， ) D．( ， )
e e2 e e2 e e2 e
4．已知函数f（x） { x2−2，x＞0 的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围
=
−3|x+a|+a，x＜0
是（ ）
17 17 17 17
A．（− ，﹣2） B．（− ，﹣2] C．[1， ） D．（1， ）
8 8 16 16
1
5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x [0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+ |．若函数y＝f（x）
2
∈
﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．[0， ） B．（0，1） C．（0， ） D．（0，1]
2 2
6．已知定义在R上的函数f（x）
=
{ x2+2，x∈[0，1) ，且f（x+2）＝f（x），若方程f（x）﹣kx﹣2
2−x2，x∈[−1，0)＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值集合是（ ）
1 1 1 1
A．{ ，1} B．{ ，− } C．{﹣1，1} D．{﹣1，− }
3 3 3 3
7．设a R，函数f { f(x+3)，x＜a ，若f（x）在区间（0，+∞）内恰有4个零点，则
(x)=
x2−(2a+1)x+a2+3，x≥a
∈
a的取值范围是（ ）
11 11
A．（ ，3）
⋃
（9−√6，9） B．（ ，3）∪（6，9−√6）
4 4
13 13
C．（3， ）
⋃
（9−√6，9） D．（3， ）
⋃
（6，9−√6）
4 4
题型三、等高线问题
1．设函数f（x）＝|2x+1﹣1|，若互不相等的实数a，b满足f（a）＝f（b），则a+b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣2，+∞）
{
|log x|，0＜x＜2
2．已知函数f（x） 2 ，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f
= 1 8
x2− x+5，x≥2
3 3
（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围是（ ）
A．（8，24） B．（10，18） C．（12，18） D．（12，15）
3．已知函数f（x） { xex，x≤0 若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点x ，x ，则x +x ＝（
= 1 2 1 2
2−|x−1|，x＞0
）
1 1
A．2 B．2或2+ C．2或3 D．2或3或2+
e e
4．在R上的函数f（x）满足f（x） {x2，x∈[0，1) ，且f（x+2）＝f（x），g（x） 1 ，则方程
= =
x，x∈[−1，0) x−2
f（x）＝g（x）在区间[﹣1，5]上的所有根之和约为下列哪个数（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
题型四、唯一零点问题1．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（ ）
1 1
A．− B．− C．﹣3 D．﹣2
3 2
2．已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e ﹣x+1）+cos（x﹣1）﹣1有唯一零点，则a＝（ ）
1 1 1
A．1 B．− C． D．
3 3 2
3．已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）＝ex+x，若函数f
（x）＝2|x﹣1|+ g（x﹣1）﹣6 2有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
1 λ 1 λ λ
A． B． C．2 D．3
2 3
题型五、复合函数零点问题
1．设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x） {|lgx|，x＞0 ，若关于x的函数y＝2f2（x）+2bf
=
−x2−2x，x≤0
（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 ．
{ 1
|x+ |，x≠0
2．已知函数f（x）= x 则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有5个不同实数解的充要条件
0，x=0
是（ ）
A．b＜﹣2 且 c＞0 B．b＞﹣2 且 c＜0
C．b＜﹣2 且 c＝0 D．b≥﹣2 且 c＝0
3．已知函数f（x） {a⋅ex，x≤0，（a＞0，其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f（f（x））
=
−lnx，x＞0
＝0，有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（1，2）
C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）
4．已知函数f（x）
{ex−2(x≤0)，则下列关于函数y＝f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的
=
lnx(x＞0)
是（ ）
A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点
B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点
D．无论k为何值，均有4个零点
题型六、函数与不等式问题
1
1．已知不等式9x2﹣log x＜0，当x∈(0， )时恒成立，则实数a的取值范围是 ．
a
3
2．设函数 {2x+1，x≤0，则满足f（x）+f（x﹣1）≥2的x的取值范围是 ．
f(x)=
4x，x＞0
3．已知函数f（x） { 2x−1，x≤0 ，若不等式|f（x）|≥mx﹣2恒成立，则实数m的取值范围为（
=
−x2−3x，x＞0
）
A．[3﹣2√2，3+2√2] B．[0，3﹣2√2]
C．（3﹣2√2，3+2√2） D．[0，3+2√2]
4．已知函数f（x） { x2−x，x≤0 ，若存在x R使得f（x ）≤ax ﹣1，则实数a的取值范围是（
= 0 0 0
ln(x+1)，x＞0
∈
）
A．（0，+∞） B．[﹣3，0]
C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）
1
5．已知函数f（x）＝|（ ）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x ，x （x ＜x ），则下列结论正确的是（ ）
1 2 1 2
2
A．﹣1＜x ＜0 B．0＜x ＜2
1 2
1 1
C．（ ）
❑
x 1+（ ）
❑
x 2=2 D．0＜b＜1
2 2
一、单选题
x2−4x
1．函数f(x)= 的图象大致是（ ）
exA． B．
C． D．
(1) x
2．已知定义在R上的函数f (x)= ，记a=f (0.30.3)，b=f (ln(log 3))，c=f (30.2)，则a，b，c的大
3 4
小关系是（ ）
A．b<a<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
3．已知定义在R上的奇函数f (x)，对任意的x∈R，都有f (x−1)=−f (x+1)，当x∈(2,4)时，
f (x)=log (2x+3)，则f (−2019)+f (2020)=（ ）
3
A．−2 B．−1 C．1 D．2
4．已知函数
y=f (x)
是定义在
R
上的偶函数，对任意
x ,x ∈[0,+∞)
，且
x ≠x
，都有f (x
1
)−f (x
2
)
>0
成
1 2 1 2 x −x
1 2
( 11π)
立，若a=f (log 3⋅log 5)，b=f cos ，c=f (50.1)，则（ ）
15 15 4
A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b
5．已知函数f (x)=x2023|x|，若方程(x+sinx)f (x)−ax2=0只有三个根x ，x ，x ，且满足x <x <x ，
1 2 3 1 2 3
则sinx −2023x x 的取值范围是（ ）
2 1 3
A．(0,+∞) B．(2023,+∞) C．(−∞,−2023) D．(−∞,0)
6．定义在 上的偶函数 满足：对任意 ， ，有 ，且 ，
R f (x) x x ∈[0,+∞) (x −x )[f (x )−f (x )]>0 f (4)=0
1 2 2 1 2 1
则不等式(3x−1)f (x)<0的解集是（ ）
( 1) (1 )
A． −4, B． ,4
3 3
( 1) (1 )
C． −4, ∪(4,+∞) D．(−∞,−4)∪ ,4
3 31
7．已知a= ，b=log 2，c=sin(cos1.1)，则（ ）
√
3e 3
A．b<c<a B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
8．已知函数 ，若方程 有4个不同实根 ， ， ， （ ），则 x +x 的
f (x)=¿ f (x)=a x x x x x <x <x <x 1 2
1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x
1 2 3 4
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(2,√6) (−∞,−√6) (0,2) (−√6,−2)
9．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造
成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1
万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 与时间 （年）近似满足关系式
c(Bq/L) t c=k⋅at (k,a
1 1
为大于0的常数且a≠1).若c= 时，t=10；若c= 时，t=20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性
6 12
1
元素浓度c为 时，大约需要（ ）（参考数据:log 3≈1.58,log 5≈2.32）
120 2 2
A．43年 B．53年 C．73年 D．120年
10．已知定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x有f (x+2)=f (x+1)−f (x)，若y=f (2x)的图象关于直线
1对称， ，则 23 （ ）
x= f (1)=2 ∑❑f(k)=
2
k=1
A．2 B．1 C．−1 D．−2
11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x−1)为奇函数，f(x−2)为偶函数．若f(2)=2，则f(2024)=
（ ）
A．−2 B．0 C．2 D．2024
12．已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递增，则
f (x)=ln(√x2+1+x)+2x3,g(x) R g(x) (−∞,0]
下列判断正确的是（ ）
A． 是偶函数
f (x)⋅|g(x)|B． 是奇函数
|f (x)|⋅g(x)
C．
f (g(2023))<f (g(2024))
D．
g(f (2023))>g(f (2024))
13．已知函数f(x)=2x+log x,g(x)=
(1) x
−log x,ℎ(x)=x3+log x的零点分别为a,b,c，则（ ）
2 2 2 2
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
a(x−1)
14．已知函数g(x)= −ln(2x−1)在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
2x+1
( 16] ( 16]
A．(−∞,4] B． −∞, C． 4, D．(−∞,6]
3 3
15．已知定义在R上的函数f (x)满足∀x,y∈R，f (2xy−1)=f (x)⋅f (y)+f (y)+2x−3，f (0)=−1，
则不等式f (x)>3−2x的解集为（ ）
A．(1,+∞) B．(−1,+∞) C．(−∞,1) D．(−∞,−1)
二、多选题
1
16．已知函数f (x)=log (4x+2x+1+1)− −x，则下列各选项正确的是（ ）
2 x2+1
A．f (x)在区间(−∞,0)上单调递增 B．f (x)是偶函数
C．f (x)的最小值为1 D．方程f (x)=2x无解
17．设函数y=f (x)的定义域为R，其图象关于直线x=−2对称，且f (x+2)=f (x−2).当x∈[0,2]时，
(1) x
f (x)= −x，则下列结论正确的是（ ）
3
A．f (x)为偶函数 B．f (2023)=4
C．f (x)的图象关于直线x=2对称 D．f (x)在区间[−2,0]上单调递减
ax2−2x+1
18．已知函数f(x)= ，则下列结论正确的是（ ）
ex
A．对于任意的 ，存在偶函数 ，使得 为奇函数
a∈R g(x) y=exf(x)+g(x)
B．若f(x)只有一个零点，则a=14
C．当a=1时，关于x的方程f(x)=m有3个不同的实数根的充要条件为0<m<
e3
D．对于任意的a∈R，f(x)一定存在极值
19．已知函数f (x)和g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，满足f (x)+g(x)=2ex，f'(x)，g'(x)分别为函数
f (x)和g(x)的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f (x)=ex−e−x
B．当x>0时，g(x)的值域为[2,+∞)
C．当x≥0时，若f (x)≥ax恒成立，则a的取值范围为(−∞,2]
n
D．当 n∈N*时，满足
g(1)g(2)⋅⋅⋅g(n)>(en+1+2)2
20．已知函数 ，且函数 有三个零点 ，则下列
f(x)=x2−8x+6lnx g(x)=f(x)−m x ,x ,x (x <x <x )
1 2 3 1 2 3
判断正确的是（ ）
A．f(x)的单调递减区间为(1,3)
B．实数m的取值范围为(6ln3−15,−7)
C．曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=−x+14−6ln2
D．x +x >2
1 2
21．已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x+1)+g(x−2)=3，f(x−1)−g(−x)=1，且g(−1)=2，
g(x−1)为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的周期为4 B．g(3)=1
C．2024 D．2024
∑❑f(k)=4048 ∑❑g(k)=2024
k=1 k=1
22．已知函数f (x)=¿（其中a∈R），下列说法正确的是（ ）
A．存在a使ℎ(x)有3个零点
B．存在a使 ℎ(x)有4个零点
C．不存在a使ℎ(x)有5个零点
(1 e 1)
D．若ℎ(x)有6个零点，则a的取值范围为 , +
2 16 e
三、填空题23．已知把函数 ax+1+a−x（ 且 ）的图象向下平移2个单位长度得到 的图象，且
f (x)= a>0 a≠1 g(x)
ax+a−x
ℎ(x)=xg(x)，若ℎ(x)为偶函数，则a= ．
24．已知函数 ，求使 成立的实数t的取值范围是 ．
f (x)=x(2|x|+3) f (2t+1)+f (t2−1)<0
πx
25．已知定义域为R的奇函数f (x)满足f (1−x)=f (3+x)，当x∈(0,2]时，f (x)=4cos ，则当函数
4
y=f (x)−a(a∈R)在区间[−4,8]上有4个零点时，a的取值范围为 .
26．已知函数f (x)=¿，若关于x的方程f (x)=m有4个不相等的实数根x 、x 、x 、x ，则x +x +x +x
1 2 3 4 1 2 3 4
的取值范围是 .
27．已知函数 2x+2，若对任意的 ，总存在 ，使得
f (x)=ax−2,g(x)=log x ∈[−2,1] x ∈[2,3]
2 2x−1 1 2
成立，则实数 的范围为 .
f (x )<g(x ) a
1 2
28．已知定义在 上的函数 具备下列性质，① 是偶函数，② 在 上单调递
{x∈R|x≠0} f (x) f (x) f (x) (0,+∞)
增，③对任意非零实数x、y都有f (xy)=f (x)+f (y)，写出符合条件的函数f (x)的一个解析式 （写
一个即可）.
29．已知函数 2×2023x，若不等式 恒成立，则a的最小值为 .
f (x)= f (aex)≥2−f (lna−lnx)
2023x+1
30．已知函数 若函数 有4个零点．则实数 的取值范围是 ．
f (x)=¿ g(x)=f2 (x)−mf(x)−e4 m
