文档内容
专题 28.2 解直角三角形及其应用
一、知识点梳理
要点一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
△
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ， ，
， ， .
④ ，h为斜边上的高.
要点诠释：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
要点二、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
由 求∠A，
两直角边(a，b)
∠B=90°－∠A，
两
边
由 求∠A，
Rt ABC
斜边，一直角边(如c，a) ∠B=90°－∠A，
△
∠B=90°－∠A，
锐角、邻边
(如∠A，b) ，
一直角边
一
边 和一锐角 ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
一
(如∠A，a)
角
，
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
，
要点诠释：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为
直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立
数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，如图，坡度通常写
成 = ∶ 的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC
的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线
OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南
偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示
意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条
件选择合适的方法求解.
二、题型总结
【题型1 解直角三角形】
【例1】．在 ABC中,AC∶BC=1∶ ,AB=6,∠C=90°,∠B=____,AC=____,BC=____.
△
【变式1-1】．已知 中， ， ， ，解这个直角三角形.
【变式1-2】．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．
(1)求sinα、cosα、tanα的值△；
(2)若∠B=∠CAD，求BD的长．【变式1-3】．如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB，BC＝1．
(1)如果∠BCD＝30º，求AC；
(2)如果tan∠BCD＝ ，求CD．
【题型2 构造直角三角形求不规则图形的面积或周长】
【例2】．在△ABC中，BC＝ ＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B． ＋1 C． D． ＋1
【变式2-1】．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是
（ ）A． B． C． D．
【变式2-2】．如图， ， ， 底边BC上的高为 ， 底边QR上的高为 ，则有
（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【变式2-3】．在 中， ， ， 为锐角且 ．
(1)求 的面积；
(2)求 的值；
(3)求 的值．【题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】
【例3】．如图，电力公司大楼 、电信大楼 分别相距 米，小明站在电信大楼 的 处窗口观察电力公司大
楼 的底部 点的俯角为 ，观察电力公司大楼 的顶部 点的仰角为 ，求电力公司大楼 的高． 参考数
据： ，最后结果精确到 米
【变式3-1】．某同学想用所学知识测量塔 的高度．她找到一栋与塔 在同一水平面上的楼房，在楼房的A处测
得塔 底部D的俯角为 ，测得塔 顶部C的仰角为 ， ， ， ，求塔 的高度．
（参考数据： ）【变式3-2】．北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号 遥十四运载火箭在酒泉
卫星发射中心点火发射，约 秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈东、蔡旭哲、
刘洋3名航天员送入太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面 处发射，当火箭到达 点时，
从位于地面 处的雷达站测得 的距离是 ，仰角为 ；约 后火箭到达 点，此时测得仰角为 （参考数
据： ， ， ）．
(1)求地面雷达站 到发射处 的水平距离．
(2)求这枚火箭从 到 的平均速度是多少千米/秒？
【变式3-2】．如图，在数学活动课上，某学习小组在校园内用测量仪测量一棵树 的高度，在C处测得
，在E处测得 ， 米，仪器高度 米，请根据测量的数据计算这棵树 的高度
（结果精确到0.1米）．（参考数据： ， ， ， ， ，
）【题型4 解直角三角形的应用-方位角问题】
【例4】．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位
于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路
程是（ ）米（结果保留根号）
A． B． C． D．
【变式4-1】．为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，海警船A在C岛的正西方向，
当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在C岛的西北方向上的B处，已知海警测得海盗船在海警船A北偏东60°的位置
B上，海警船若以60海里/时的速度航行到海盗船处需要1小时．
(1)问此时海盗船离C岛的距离BC是多少海里?
(2)若海盗船以30海里/时的速度向C岛出发，海警船在接到岛主报警后以60海里/时的速度向C岛出发，问海警船能
否赶在海盗船之前到达C岛进行拦截（ ≈1.41， =1.73）?
【变式4-2】．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东
航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处
北偏东 方向上．
(1)求A、P之间的距离 ；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．【变式4-3】．如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东 方向，距离小岛 千米的点 处，它沿着点 的南偏东 的
方向航行．
(1)渔船航行多远距离小岛 最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛 最近点后，按原航向继续航行 千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛 上的救
援队求救，问救援队从 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，
参考数据 ）
【题型5 解直角三角形的应用-其他问题】
【例5】．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据
图中数据计算回答：小敏身高 米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：
， ， ）
【变式5-1】．如图是某种自动卸货时的示意图， 时水平汽车底盘， 是液压举升杠杆，货车卸货时车厢 与
底盘 夹角为 ，举升杠杆 与底盘 夹角为 ，已知举升杠杆上顶点 离火车支撑点 的距离为
米．试求货车卸货时举升杠杆 的长．【变式5-2】．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车
在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B
处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【变式5-3】．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示
意图，量得托板长 mm，支撑板长 mm，底座长 mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且
mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当 ， ，求点A到直线DE
的距离（结果保留根号）；
三、课后练习1．在Rt ABC中,∠C=90°,sin A= ,b=8,则c=( )
△
A．10 B．25 C．6 D．50
2．在 中， ， ，BC边上的高 ，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东
方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
4．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B． C．20m D．
5．小明沿着与地面成30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）
A．1米 B． 米 C．2 米 D． 米
6．如图,一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上,2小时后,船
在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上,则灯塔B到船所在的航线AC的距离是( )
A．(18+16 )千米 B．(19+18 )千米 C．(20+20 )千米 D．(21+22 )千米
7．已知在 中， 、 是锐角，且 ， ， ，则 的面积等于 __ ．
8．5G技术大大促进了农业的发展．某5G智慧农业试验区内，一台无人机正在进行规模化自助施药作业．如图，已
知无人机的飞行速度为 ，在地面的A点测得B处无人机的仰角为45°，经过4s后，无人机水平飞行至C处，此时在A点测得C处无人机的仰角为30°，则无人机的飞行高度为______m．（结果保留根号）
9．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ，求a，b，c的值及∠A的度数．
10．如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑梯的倾斜度由45°降为30°,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C
在同一水平地面上且共线.求:改善后滑梯会加长多少米?(精确到0.01米)
11．如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯
塔P的南偏东45°方向上的B处.
(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数);
(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置.
(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan53°≈1.33, ≈1.41)
12．如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔
P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可)13．如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘
可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截
可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里， ≈1.732，
≈1.414， ≈2.449）
14．北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上
从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅 ．如图，已知楼顶到地面的距离 为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B
正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条
直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若 ， 均为1.7米（即四边形 为矩形），
请你帮助小亮计算：
(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离 ；
(2)求条幅 的长度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ，
， ）15．如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC=24米，PD=26米，CD=10米．一辆汽车在公路L上
匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD=60°，∠PAD=30°，计算此车是否超过了每
秒25米的限制速度．
16．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长
BC、拉杆AB的长度都相等，即 ，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆 cm，
， ， 。请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求AC的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
