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专题28.2 解直角三角形及其应用
知识点1：解直角三角形的基础知识
在Rt 中， ， ， ， 所对的边分别为 ， ，
（1）三边之间的关系：
（2）锐角之间的关系： + = =
（3）边角之间的关系：
； ； ；
； ；
（4）面积公式： （ 为斜边上的高）
知识点2：解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型 已知条件 解法
两边 两直角边a、b
c= ，tanA= ，∠B=90°-∠A
一直角边a，斜边c
b= ，sinA= ，∠B=90°-∠A
一边一锐角 一直角边a，锐角A
∠B=90°-∠A，b= ，c=
斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A，
a=c·sinA，
b=c·cosA解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原
避中”。其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用
乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，
忌用中间数据。
知识点3：解直角三角形应用题中的常见概念
（1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母 表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度 和水平宽度 的比，用字母 表示，则
（2）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。
目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北
或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角。
目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
（4）俯角与仰角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫
做俯角．
总结：本节课要会根据条件解直角三角形；熟记特殊角的三角函数值；会根据基本图形，解决实际问题。
【例题1】如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点
C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 m（结果保留整数，
≈1.73）．
【答案】69
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，
通过三角函数关系求得AB的长．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴DA＝DC＝80，
在Rt△ABD中，
，
∴ ＝ ＝40 ≈69（米），
【点拨】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
【例题2】清泉阁是南宁园博园中的最高建筑某数学兴趣小组利用周末到清泉阁进行室外测量实践活动．
如图，在清泉阁最大的观景台上，选取测量点D，测得点D到清泉阁最高点A的仰角∠ADE＝58°，点D到
目标点C的俯角∠FDC＝32°，DE＝20m．已知清泉图的高AB＝75m，请计算测量点D到目标点C的距离（结
果取整数）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【答案】点D到目标点C的距离约为81m．
【解析】作DG⊥BC于G，
则四边形EBGD为矩形，
∴EB＝DG，
在Rt△AED中，AE＝DE•tan∠ADE≈20×1.60＝32，
∴DG＝EB＝AB﹣AE＝43，
由题意得，∠CDG＝90°﹣∠FDC＝58°，
在Rt△DGC中，CD＝ ≈ ≈81，
答：点D到目标点C的距离约为81m．
【点拨】作DG⊥BC于G，利用正切的定义求出AE，得到DG的长，根据余弦的定义计算即可．
【例题3】在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】 ,
设BC=k,则AC=3k,
由勾股定理得【例题4】一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛
的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时．
【答案】 ．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角
形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．
设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在
直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40 =3x，解方程即可．如图
所示：
设该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∴AQ= AB=40，BQ= AQ=40 ，
在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，
∴CQ=AQ=40，
∴BC=40+40 =3x，
解得：x= ．
即该船行驶的速度为 海里/时.一、填空题
1．如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点
A，B，C在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC＝ ．
【答案】
【解析】连接AD，根据网格利用勾股定理求出AB，AD，BD的长，利用勾股定理的逆
定理判断出三角形ABD为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
连接AD，由勾股定理得：AD＝ ＝ ，AB＝ ＝2 ，BD＝ ＝ ，∵（ ）2+（2
）2＝（ ）2，即AD2+AB2＝BD2，∴△ABD为∠BAD是直角的直角三角形，∴tan∠ABC＝ ＝ ＝
2.如图所示，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此
时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里．
【答案】10 ．
【解析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到
∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD=30°=∠ACB，
∴AB=BC=20海里，
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC= ，
∴sin60°= ，
∴CD=12×sin60°=20× =10 海里.
3．如图，为了测量某风景区内一座古塔AB的高度，小明分别在塔的对面CD楼楼底C，楼顶D处，测得塔
顶A的仰角分别为45和30°，已知楼CD的高为10米，则塔AB的高度为 米．
【答案】15+5 ．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DEBC，
设塔高AB＝xm，则AE＝（x﹣10）m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
则DE＝ ＝ （x﹣10）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝x，
由题意得， （x﹣10）＝x，
解得：x＝15+5 米．
答：塔的高度约为15+5 米．【点拨】过点D作DE⊥AB于点E，设塔高AB＝x，则AE＝（x﹣10）m，在 Rt△ADE中表示出DE，在
Rt△ABC中表示出BC，再由DE＝BC可建立方程，解出即可得出答案．
4．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若
无人机的飞行高度 AD为 62m，则该建筑的高度 BC为 m．（参考数据：sin17°≈0.29，
cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
【答案】262．
【解析】作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即
可．
作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴EC＝AD＝62，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝ ，
则AE＝ ≈ ＝200，
在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，
∴BE＝AE＝200，
∴BC＝200+62＝262（m），
则该建筑的高度BC为262m，【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
二、解答题
4
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．
5
【答案】36, 4/3
【解析】在Rt△ ABC中, ∠C=90°, AB=15
BC 4
sin A= = , ∴ BC 12
AB 5
AC AB2 BC2 152 122 9
∴周长为36,
4.如图，在△ABC中，AD是BC上的高， ，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若 ，BC=12，求AD的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵ = ， =
又已知
∴ = ．∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．
2.如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线
杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果
保留小数点后一位，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）．
【答案】拉线CE的长约为5.7米．
【解析】考点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可
求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6× （米），
∵DH=1.5，∴CD=2 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED= ，
∴CE= =4+ ≈5.7（米）
3.小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角
为15°．（以下计算结果精确到0.1m）
（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；
（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．
【答案】（1）小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m；
（2）楼房AB的高度是26.1m．
【解析】考点有解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题．（1）利用在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，得出CD=BD•sin15°求得答案即可；
（1）在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，
∴CD=BD•sin15°，
∴CD=5.2（m）．
（2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可．
在Rt△AFE中，
∵∠AEF=45°，
∴AF=EF=BC，
由（1）知，BC=BD•cos15°≈19.3（m），
∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）．
4.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长
为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是
否可行？说明理由。
(参考数据： )
【答案】（1）2.07m．（2）这样改造能行．
【解析】（1）在 中，
中
改善后的滑滑板会加长2.07m．（2）这样改造能行．
因为 ，而
5．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上实验任务．如图，
航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一
段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处
求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2，75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
【答案】还需航行的距离BD的长为20.4海里．
【解析】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关
键．
根据题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD=27.2
海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
由题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，
在直角三角形ACD中，CD=AC•cos∠ACD=27.2海里，
在直角三角形BCD中，BD=CD•tan∠BCD=20.4海里．
6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说
明DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
【答案】见解析。
【解析】要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可．利用直角三角形和等边三角形的特
点来求DE的长．（1）连接OD，则OD=OB，∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠ODE=∠DEC=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∴ ．
又∵AB=AC，∴CD=BD= ，∠C=∠B=30°．
∴ ．
7. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路l和l间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l
1 2 1
成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离
（结果保留根号）．
【答案】（25+5 ）km．
【解析】过B点作BE⊥l，交l于E，CD于F，l于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF
1 1 2
中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．
过B点作BE⊥l，交l于E，CD于F，l于G．
1 1 2
在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20× =10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷ = km，
CF=BF•sin30°= × = km，DF=CD﹣CF=（30﹣ ）km，
在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣ ）× =（15﹣ ）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5 ）km．
故两高速公路间的距离为（25+5 ）km．
8．已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，
直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求m、b的值；
（2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据点M的坐标，利用待定系数法可求出 m，b的值；
（2）由（1）可得出抛物线及直线AB的解析式，利用一次函数图 象上点的坐标特征可求出点A的坐标，
设点P的坐标为（x，x2），结合点A，M的坐标可得出PA2，PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关
于x的方程，解之即可得出结论；
（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，由点P的坐标可得出PN，PO的长，再利用正弦的定义即可求出
sin∠BOP的值．
解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m，
∴m＝1；
将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b，
∴b＝2．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝
x4﹣7x2+4x+20．
∵△PAM是以AM为底边的等腰三角形，
∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20，
整理，得：x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣1，x＝2，
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∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．
（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，如图所示．
当点P的坐标为（﹣1，1）时，PN＝1，PO＝ ＝ ，
∴sin∠BOP＝ ＝ ；
当点P的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝ ＝2 ，
∴sin∠BOP＝ ＝ ．
∴满足（2）的条件时，sin∠BOP的值的值为 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点
的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，
利用待定系数法求出m，b的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）
通过解直角三角形，求出sin∠BOP的值．
9．如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，
立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．（ ≈1.73，
≈1.4，结果保留一位小数）．【答案】A，B间的距离约为114.2海里．
【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出BD，AD
的长，将其相加即可求出AB的长．
解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝ ，cos∠BCD＝ ，
∴BD＝BC•sin∠BCD＝20×3× ≈42，CD＝BC•cos∠BCD＝20×3× ≈42；
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝ ，
∴AD＝CD•tan∠ACD＝42× ≈72.2．
∴AB＝AD+BD＝72.2+42＝114.2．
∴A，B间的距离约为114.2海里．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
10．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为
可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会
因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，
且OA＝OB．
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）
（ ＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝
0.92，tan22.5°＝0.41）
【答案】此时下水道内水的深度约为29.5cm．
【解析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据余角的定义得到∠BAO＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝22.5°，由三角形
的外角的性质得到∠BOP＝45°，解直角三角形即可得到结论．
解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；
（2）如图，∵∠CAB＝67.5°，
∴∠BAO＝22.5°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，
∴∠BOP＝45°，
∵OB＝100，
∴OE＝ OB＝50 ，
∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50 ≈29.5cm，
答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．
【点拨】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思
想与数形结合思想的应用．11．如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的
hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一
点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h（结果取整数， ≈1.732）
【答案】h约为6km．
【解析】由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km，
在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝ ＝ ，tanB＝ ＝1，
∴AM＝ ＝ h，BM＝h，
∵AM+BM＝AB＝10，
∴ h+h＝10，
解得：h＝15﹣5 ≈6；
答：h约为6km．
12．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10
海里．
（1）填空：∠BAC＝ 度，∠C＝ 度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠C的度数；
（2）证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP＝PC，求出PA＝ BP，由题意得出BP+ BP＝10，解得BP＝
5 ﹣5即可．
解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；
故答案为：30，45；
（2）∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝ BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+ BP＝10，
解得：BP＝5 ﹣5，
答：观测站B到AC的距离BP为（5 ﹣5）海里．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
