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专题 28.2 解直角三角形及其应用
一、知识点梳理
要点一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
△
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ， ，
， ， .
④ ，h为斜边上的高.
要点诠释：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
要点二、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
由 求∠A，
两直角边(a，b)
∠B=90°－∠A，
两
边
由 求∠A，
Rt ABC
斜边，一直角边(如c，a)
∠B=90°－∠A，
△
∠B=90°－∠A，
锐角、邻边
(如∠A，b) ，
一直角边
一
边 和一锐角 ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
一
(如∠A，a)
角
，
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
，
要点诠释：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，
哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为
直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立
数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，如图，坡度通常写
成 = ∶ 的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC
的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线
OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南
偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示
意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条
件选择合适的方法求解.
二、题型总结
【题型1 解直角三角形】
【例1】．在 ABC中,AC∶BC=1∶ ,AB=6,∠C=90°,∠B=____,AC=____,BC=____.
△
【答案】 30° 3 3
【分析】根据勾股定理求出AC、BC的长，再根据正切函数求出∠B即可.
【详解】∵AC∶BC=1∶ ，
设AC=x，则BC= x
∵∠C=90°,
∴AC2+BC2=AB2
，∴x2+3x2=36，解得，x=3.
∴AC=3，BC=3 ，
∴tanB= ,
∴∠B=30°.
故答案为30°，3，3
【点睛】此题考查了勾股定理和正切函数，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【变式1-1】．已知 中， ， ， ，解这个直角三角形.
【答案】∠A=30°,BC=3,AC= .
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出 ，利用30°角的直角三角形的性质求出BC，再利用勾股定理求出AC即
可.
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
，
.
故答案为∠A=30°，BC=3，AC= .
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形的相关知识.
【变式1-2】．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．
(1)求sinα、cosα、tanα的值△；
(2)若∠B=∠CAD，求BD的长．【答案】（1）sinα= ，cosα= ，tanα= ；（2）BD =3．
【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．
（2）由∠B＝∠CAD＝α和（1）求得的tanα，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长．
【详解】解：在Rt ACD中，
∵AC=2，DC=1， △
∴AD= = ．
（1）sinα= = = ，cosα= = = ，tanα= = ；
（2）在Rt ABC中，
△
tanB= ，
即tanα= = ，
∴BC=4，
∴BD=BC-CD=4-1=3．
【点睛】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
【变式1-3】．如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB，BC＝1．
(1)如果∠BCD＝30º，求AC；
(2)如果tan∠BCD＝ ，求CD．
【答案】(1) ； (2) .
【详解】（1）根据直角三角形的两锐角互余，由∠BCD的度数求出∠B的度数，利用锐角三角函数定义表示出
tanB，将tanB及BC的长代入，即可求出AC的长；
（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义得出BD与CD的比值为1：3，根据比
值设出BD=k，CD=3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的
长．
解：(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°.∵∠DCB=30°，∴∠B=60°.
在Rt ACB中，∠ACB=90°，∴tan60°= .
△
∵BC=1，∴ ，则AC= .
(2)在Rt BDC中，tan∠BCD= .
△
设BD=k，则CD=3k，
又BC=1，由勾股定理得：k2＋(3k)2=1，解得：k= 或k= (舍去).
∴CD=3k= .
【题型2 构造直角三角形求不规则图形的面积或周长】
【例2】．在△ABC中，BC＝ ＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B． ＋1 C． D． ＋1
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt ABD中和Rt ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求
出AD，再求三角形的面积． △ △
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt ABD中，∠B＝45°，
∴BD△＝AD．在Rt ACD中，∠C＝30°，
△
∴CD＝ AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋ AD＝1＋ ．
即AD＝1．
∴S ABC＝ ×BC×AD
△
＝ （1＋ ）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
【变式2-1】．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边形ABCD
的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG= DO，
同理可得：BH= BO，
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形
= ×AC× ×（DO+BO）
= ，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形
面积的计算是解决本题的关键．
【变式2-2】．如图， ， ， 底边BC上的高为 ， 底边QR上的高为 ，则有
（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【详解】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
【变式2-3】．在 中， ， ， 为锐角且 ．
(1)求 的面积；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点 作 ，根据 的正切值确定 的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出 、
，最后利用三角形的面积公式算出 的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出 ，然后在 中利用勾股定理求出 ；
（3）在 中利用直角三角形的边角间关系求出 的余弦值．
【详解】（1）解：过点 作 ，垂足为 ，
∴ ，∵ 为锐角且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ 的面积为 ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
在 中，
．
∴ 的值为 ．
（3）在 中， ， ，
∴ ．
∴ 的值为 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾
股定理是解题的关键．
【题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题】
【例3】．如图，电力公司大楼 、电信大楼 分别相距 米，小明站在电信大楼 的 处窗口观察电力公司大
楼 的底部 点的俯角为 ，观察电力公司大楼 的顶部 点的仰角为 ，求电力公司大楼 的高． 参考数据： ，最后结果精确到 米
【答案】电力公司大楼 的高约为 米．
【分析】过点P作 的垂线，垂足为E，根据题意可得出四边形 是矩形，再由 可知
米，由 得出 的长，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点P作 的垂线，垂足为E，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ 米， ，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，
答：电力公司大楼 的高约为 米．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此
题的关键．
【变式3-1】．某同学想用所学知识测量塔 的高度．她找到一栋与塔 在同一水平面上的楼房，在楼房的A处测
得塔 底部D的俯角为 ，测得塔 顶部C的仰角为 ， ， ， ，求塔 的高度．
（参考数据： ）【答案】
【分析】过A点作 于E点，在 中求出 ，再在 中求出 ，最后根据 求
解即可．
【详解】过A点作 于E点，
由题意得，四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴塔 的高度是 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
【变式3-2】．北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号 遥十四运载火箭在酒泉
卫星发射中心点火发射，约 秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈东、蔡旭哲、
刘洋3名航天员送入太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面 处发射，当火箭到达 点时，
从位于地面 处的雷达站测得 的距离是 ，仰角为 ；约 后火箭到达 点，此时测得仰角为 （参考数据： ， ， ）．
(1)求地面雷达站 到发射处 的水平距离．
(2)求这枚火箭从 到 的平均速度是多少千米/秒？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，直接根据 可求出答案；
（2）先求出 的长，即可求出移动的速度．
【详解】（1）解：在 中， （ ），
答：雷达站到发射处的水平距离为 ；
（2）在 中， （ ），
在 中， （ ），
∴ （ ），
∴这枚火箭从 到 的平均速度是 （ ），
答：这枚火箭从 到 的平均速度为 .
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键．
【变式3-2】．如图，在数学活动课上，某学习小组在校园内用测量仪测量一棵树 的高度，在C处测得
，在E处测得 ， 米，仪器高度 米，请根据测量的数据计算这棵树 的高度
（结果精确到0.1米）．（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】 米
【分析】延长 交 于H，则易知 ，然后解 与 ，即可求出 的长度，再求得 长
度，则可得树高．【详解】解：延长 交 于H，则易知 ，
设 （米），
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
即 （米）；
又 ，
四边形 为矩形，
（米）
答：这棵树AB的高度为 米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，再利用三角函数的知识求解．
【题型4 解直角三角形的应用-方位角问题】
【例4】．如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位
于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路
程是（ ）米（结果保留根号）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作BC⊥AC于点D，在 中利用三角函数求得AD的长，在 中，利用三角函数求得CD的长，
则AC即可求得．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于点D，
∵在 中， ，
∴ ， (米)，
∵在 中， ，
∴ （米），
则 (米)．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作
出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．定理：
直角三角形中 所对直角边是斜边的一半．
【变式4-1】．为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，海警船A在C岛的正西方向，
当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在C岛的西北方向上的B处，已知海警测得海盗船在海警船A北偏东60°的位置
B上，海警船若以60海里/时的速度航行到海盗船处需要1小时．
(1)问此时海盗船离C岛的距离BC是多少海里?
(2)若海盗船以30海里/时的速度向C岛出发，海警船在接到岛主报警后以60海里/时的速度向C岛出发，问海警船能
否赶在海盗船之前到达C岛进行拦截（ ≈1.41， =1.73）?
【答案】(1)42.3海里
(2)能【分析】（1）作 于D点，根据已知条件解 和 即可；
（2）求出AC距离，根据路程、速度分别求出海警船、海盗船到达C岛所用时间，比较即可．
（1）
解：如图，作 于D点，
由题意 ， ，
， ，
又 （海里），
（海里），
（海里），
故此时海盗船离C岛的距离BC是42.3海里．
（2）
由（1）知 （海里），
（海里），
（海里），
海警船的速度为60海里/时，
海警船到达C岛所用时间 （小时），
（海里），海盗船的速度为30海里/时，
海盗船到达C岛所用时间为： （小时），
，
海警船能赶在海盗船之前到达C岛进行拦截．
【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，属于基础题，难度一般，需要熟练掌握利用三角函数解直角三角形的方
法并正确计算．
【变式4-2】．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处
北偏东 方向上．
(1)求A、P之间的距离 ；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
【答案】(1) 海里
(2)海监船由B处继续向东航行没有触礁危险
【分析】（1）过点P作 交AB的延长线于C，设 海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出 ，
根据正切的定义用x表示出 ，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出 ；
（2）比较 与半径的大小，得到答案．
【详解】（1）解：过点P作 交AB的延长线于C，
设 海里，
在 中， ，
则 海里，
在 中， ，
则 海里， (海里)，
由题意得： ，即 ，
解得： ，则 海里，
答：A、P之间的距离 为 海里；
（2）解：海监船由B处继续向东航行没有触礁危险，
理由如下：∵ ，
∴海监船由B处继续向东航行没有触礁危险．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式4-3】．如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东 方向，距离小岛 千米的点 处，它沿着点 的南偏东 的
方向航行．
(1)渔船航行多远距离小岛 最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛 最近点后，按原航向继续航行 千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛 上的救
援队求救，问救援队从 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，
参考数据 ）
【答案】(1) ；
(2)从 处沿南偏东 出发，最短行程 ．
【分析】（1）过 点作 的垂线 交 于点 ，则 为所求，根据已知条件得到 即可解答；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到 ，从而求出 的长度，再求出 的度数，即可
得到 的度数．
【详解】（1）解：过 点作 的垂线 交 于点 ，
∵垂线段最短， 上的 点距离 点最近， 即为所求，由题意可知： ， ，
∴ ，
∴渔船航行 时，距离小岛 最近．
（2）解：在 中， ，
， ，
，
∵ ， ，
，
．
答：从 处沿南偏东 出发，最短行程 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机
结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
【题型5 解直角三角形的应用-其他问题】
【例5】．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据
图中数据计算回答：小敏身高 米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：
， ， ）【答案】否
【分析】求出 长，比较大小即可．
【详解】解：根据天花板与地面平行，可知 ，
（米）．
因为 ，
所以小敏不会有碰头危险．
故答案为：否．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解．
【变式5-1】．如图是某种自动卸货时的示意图， 时水平汽车底盘， 是液压举升杠杆，货车卸货时车厢 与
底盘 夹角为 ，举升杠杆 与底盘 夹角为 ，已知举升杠杆上顶点 离火车支撑点 的距离为
米．试求货车卸货时举升杠杆 的长．
【答案】 米
【分析】过点 作 于点 ，先根据三角形的外角性质可得 ，设 米，则 米，
再在 中，解直角三角形可得 米， 米，然后在 中，解直角三角形可得 的值，由此
即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
设 米，则 米，
米， 米，在 中， ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
米，
答：货车卸货时举升杠杆 的长为 米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
【变式5-2】．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车
在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B
处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【答案】这辆小汽车超速了．
【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
【详解】解：根据题意：∠ACB= 90°
由勾股定理可得：
BC= 米
40米= 0.04千米，
2秒= 小时；
0.04÷ = 72千米/时> 70千米/时；
所以超速了．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可．
【变式5-3】．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示
意图，量得托板长 mm，支撑板长 mm，底座长 mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且
mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当 ， ，求点A到直线DE
的距离（结果保留根号）；【答案】
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距
离．
【详解】过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC=AB-BC=80，CD=80，∠DCB=75°，∠CDE=60°，
在Rt CDN中，CN=CD•sin∠CDE=80× =FM，
△
∠DCN=90°-60°=30°，
又∵∠DCB=75°，
∴∠BCN=75°-30°=45°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A=∠BCN=45°，
在Rt AFC中，AF=AC•sin45°= （mm），
△
∴AM=AF+FM= （mm），
答：点A到直线DE的距离约为 mm；
【点睛】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本
的方法．三、课后练习
1．在Rt ABC中,∠C=90°,sin A= ,b=8,则c=( )
△
A．10 B．25 C．6 D．50
【答案】A
【分析】根据正弦值找到a、c之间的关系，然后利用勾股定理求出用含有x的式子表示的b值，根据已知b值求出x
后，即可解答．
【详解】sinA= =a：c，
设a=3x，则c=5x，
由勾股定理知，b= =4x=8，
∴x=2，c=10．
故选A．
【点睛】本题利用了设适当的参数后，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解的．
2．在 中， ， ，BC边上的高 ，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数知识求出BD，CD的长，即可求出BC长.
【详解】如图，在 中， ，
在 中， ，
，
故选B.
【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三角函数知识是解决本题的关键，难度适中.
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
【答案】C
【详解】试题分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据
平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．
解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里△，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=55°．
在Rt ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，
∴AB△=AP•cos∠A=2cos55°海里．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
4．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15m B． C．20m D．
【答案】C
【详解】解∶∵Rt ABC中，BC=10m，tanA= ，
△∴AC= = = m．
∴AB= m．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值及勾股定理，熟练掌
握相关知识点正确计算是本题的解题关键．
5．小明沿着与地面成30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）
A．1米 B． 米 C．2 米 D． 米
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，可画出三角形，结合图形
运用三角函数求解即可．
【详解】解：如图所示：
∵AB=2，∠C=90°，∠A=30°．
∴他下降的高度BC=AB×sin30°=1（米）．
故选A
【点睛】此题主要考查了坡度的定义和特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．如图,一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上,2小时后,船
在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上,则灯塔B到船所在的航线AC的距离是( )
A．(18+16 )千米 B．(19+18 )千米
C．(20+20 )千米 D．(21+22 )千米
【答案】C【详解】
设BD=x，由题意可知：∠BAD=30°，∠BCD=45°，AC=20×2=40千米，
在Rt BCD中，∠BCD=45°得BD=CD=x，
则AD△=(40+x)千米，
在Rt ABD中，tan30°= = = ，
△
解得：x=20+20 ，
故选C.
7．已知在 中， 、 是锐角，且 ， ， ，则 的面积等于 __ ．
【答案】220
【分析】过点 作 的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中 ， 和 的长，用三角形
的面积公式求出三角形的面积．
【详解】解：如图：
过点 作 的垂线，垂足为点 ．
，
设 ， ，
，
可设 ， ，
，
，
，
由 ，得 ，
则故 ．
故答案是：220
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．
8．5G技术大大促进了农业的发展．某5G智慧农业试验区内，一台无人机正在进行规模化自助施药作业．如图，已
知无人机的飞行速度为 ，在地面的A点测得B处无人机的仰角为45°，经过4s后，无人机水平飞行至C处，此时
在A点测得C处无人机的仰角为30°，则无人机的飞行高度为______m．（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据平行线的性质，得出 ， ， ，
根据三角函数用h表示出BD、CD，列出关于h的方程，解方程即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
设 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵AD⊥BC，
∴ ，
∴在Rt ABD中， ，即 ，
△
解得： ，
在Rt ACD中， ，即 ，
△
解得： ，，
∴ ，解得： ，
即无人机的飞行高度为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，主要考查了平行线的性质，三角函数的定义，理解仰角的含义，构造直角
三角形运用方程思想是解题的关键．
9．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°， ，求a，b，c的值及∠A的度数．
【答案】 ，b＝3， ，∠A＝30°
【详解】先求∠A，再根据∠A的三角函数关系及已知列方程组求a，b，最后利用勾股定理求c．
∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．
∵∠B＝60°，∴∠A＝30°．
由直角三角形的边角关系，得 ，
即 ，
所以 ，又∵ ，
∴ 解得
∴ ，
∴ ，b＝3， ，∠A＝30°．
10．如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑梯的倾斜度由45°降为30°,已知原滑梯AB的长为5米,点D,B,C
在同一水平地面上且共线.求:改善后滑梯会加长多少米?(精确到0.01米)
【答案】改善后滑梯会加长约2.07米.
【详解】试题分析：在Rt ABC中，根据AB=5米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt ADC中，解直角三角
形求AD的长度，用AD-A△B即可求出滑板加长的长度． △试题解析:在Rt ABC中，
∵AB=5米，∠△ABC=45°，
∴AC=ABsin 45°=5× = (米),
在Rt ADC中，∠ADC=30°，
△
∴AD= =5 ≈5×1.414=7.07(米)，
∴AD-AB≈7.07-5=2.07(米).
答:改善后滑梯会加长约2.07米.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键.
11．如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯
塔P的南偏东45°方向上的B处.
(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数);
(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置.
(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan53°≈1.33, ≈1.41)
【答案】（1）点B的位置见解析，PB≈113海里；
（2）灯塔P位于B处的西北(或北偏西45°)方向,距离B处大约113海里.
【分析】（1）先在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt PAC，得出PC=PA•sin∠PAC=80，再解Rt PBC，得出
△ △
PB= PC；
（2）由∠CBP=45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处的位置．
【详解】解：（1）如图，作PC⊥AB于C，在Rt PAC中，
∵PA=100，∠PAC=53°， △
∴PC=PA•sin∠PAC=100×0.80=80，在Rt PBC中，
∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°， △
∴PB= PC=1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；
（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用中的方向角问题，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
12．如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔
P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可)
【答案】海轮所在的B处距离灯塔PB=80 cos 25°海里.
【详解】试题分析：过点P作PD⊥AB于D，构造两个直角三角形PBD和PAD，应用锐角三角函数求解即可．
试题解析：如图，过点P作PD⊥AB于D，
由题意知∠DPB = 45°，
在RtΔPBD中， ，∴ PB= PD.
∵点A在P的北偏东65°方向上，∴∠APD = 25°.
在RtΔPAD中， ，∴PD =" PA" cos 25° =" 80" cos 25°.
∴PB = 80 cos 25° .
考点：1.解直角三角形的应用-方向角问题；2.锐角三角函数定义．
13．如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘
可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截
可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里， ≈1.732，≈1.414， ≈2.449）
【答案】我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了133.8海里
【分析】过点C作CD AB，先根据三角形的内角和求出CD=AD，再设CD=AD =x海里，再根据三角函数求出BD=
x海里，再根据题意列出关于x的方程，最后根据勾股定理解答即可．
【详解】解：过点C作CD AB，如图所示：
BAC= - = ，
在Rt ACD中，
BAC= ACD= ，
CD=AD，
设CD=AD =x海里，
在Rt BCD中， ADC= ，
CBD= ，
CBD= ，
BD= x海里，
AD-BD=40，
x- x=40，x=60+20 ，
在Rt ACD中，
AC=
=
133.8(海里)，
即我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了133.8海里．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，锐角三角函数，一元一次方程的应用，勾股定理，解题的关键是构造直角
三角形求解．
14．北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上
从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅 ．如图，已知楼顶到地面的距离 为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B
正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条
直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若 ， 均为1.7米（即四边形 为矩形），
请你帮助小亮计算：
(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离 ；
(2)求条幅 的长度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ，
， ）
【答案】(1)小亮站在B处时离教学楼的距离 为 米
(2)条幅 的长度约为 米
【分析】（1 ）延长 交 于H，根据矩形的性质得到 米， ， ，根据三角函数
的定义即可得到结论；
（2 ）由（1）知 米，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：延长 交 于H，
则 米， ， ，
∵ 米，
∴ （米），在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
（2）解：由（1）知 米，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
答：条幅 的长度约为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测得PC=24米，PD=26米，CD=10米．一辆汽车在公路L上
匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为1秒，并测得∠PBD=60°，∠PAD=30°，计算此车是否超过了每
秒25米的限制速度．
【答案】此车超过了每秒25米的限制速度．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 PCD是直角三角形，求得PB的长，利用等腰三角形的判定和性质得到AB=
PB，即可求解． △
【详解】解：此车超过了每秒25米的限制速度．理由如下：
在 PCD中，PC=24米，PD=26米，CD=10米，
∵△242+102=262，即PC2+CD2=PD2，
∴ PCD是直角三角形，且∠PCD=90°，
∵△∠PBD=60°，∠PCB=90°，PC=24米，
∴PB= (米) ，
∵∠PBD=60°，∠PAD=30°，
∴∠APB=∠PAD=30°，
∴AB= PB= >25，
∴此车超过了每秒25米的限制速度．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
16．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长
BC、拉杆AB的长度都相等，即 ，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆 cm，
， ， 。请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求AC的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)AC＝（32＋32 ）cm
(2)拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（16 ＋16 ）cm
【分析】(1)过F作FH⊥DE于H，解直角三角形△FDH，△FCH，求出CD，根据CE：CD＝1：3，可以求出DE＝
CD，根据图形AB＝BC＝DE，即可求得AC 的长．
(2)过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质，或者锐角三角函数知识，即可得到结论．
（1）
解：过F作FH⊥DE于H．
∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝24cm，
∴FH＝DF·sin30°＝12cm，DH＝DF·cos30°＝12 cm，
∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝12 cm，
∴CD＝CH＋DH＝（12＋12 ）cm，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝ CD＝（16＋16 ）cm，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（32＋32 ）cm；
（2）
过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴AG＝AC·sin45°＝16 ＋16 （cm）．
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（16 ＋16 ）cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用锐角三角函数数学知识解决
实际问题．
