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专题 01 反比例函数的概念、图像和性质
【思维导图】
◎考点题型1反比例函数的概念
k
y=
一般地，形如
x
（
k
为常数，
k≠o
）的函数称为反比例函数。
k
y=
x y=kx−1
表现形式： 还可以写成 和 xy= k 的形式.
k
y=
x
【注意】反比例函数 的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
反比例函数解析式的特征:
1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k （也叫做比例系数 k ），分母中含有
自变量x，且指数为1.
2.比例系数
k≠0
3.自变量x的取值为一切非零实数。
4.函数y的取值是一切非零实数。
例．（2020·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ）．
A．正方形的边长和面积 B．圆的周长一定，它的直径和圆周率
C．速度一定，路程和时间 D．总价一定，单价和数量
变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）已知 是反比例函数，则函数的图
象在（ ）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
变式3．（2022·辽宁丹东·九年级期末）若反比例函数的图象经过 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
◎考点题型2 反比例函数的图像
图像的画法：描点法
1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2.描点（由小到大的顺序）
3.连线（从左到右光滑的曲线）
图像的特征：
1.函数的图像是双曲线．
2.图像的对称性：
图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上．
图象关于直线y = x或y= -x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ， ）在双曲线
的另一支上．
3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度
越大．
例．（2021·湖南永州·九年级期中）在同一直角坐标系中，反比例函数 与一次函数 的大致
图像是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·陕西·榆林市第一中学分校九年级期中）若函数 的图象是双曲线，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝ 相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式3．（2022·河南驻马店·一模）如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数 的图象于点B，A，
点C在x轴上，且 ．若 ，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．6
◎考点题型3 已知双曲线分布的象限，求参数的取值范围
反比例函数的性质：
k 图像所在象限 函数的增减性
的取值
k>0 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小
k>0 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大
【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
例．（2022·福建泉州·八年级期末）函数 与 （k、b为常数，且kb≠0）在同坐标系内的图象
大致是（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可以
是（ ）
A． B． C．1 D．3
变式2．（2022·浙江杭州·一模）如图，是三个反比例函数 ， ， 在y轴右侧的图象，则
（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·湖北·老河口市教学研究室一模）反比例函数 的图象位于一、三象限，k的取值范
围是（ ）
A．k≥1 B．k＞1 C．k≤1 D．k＜1
◎考点题型4 判断反比例函数的增减性
例．（2022·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图像经过点A（x，y），B
1 1（x，y）（x≠x），则下列说法错误的是（ ）
2 2 1 2
A．若xx＜0，则yy＜0 B．若（x﹣x）（y﹣y）＜0，则k＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x+x＝0，则A、B关于原点对称 D．若k＞0，x＞x＞0，则y＞y＞0
1 2 1 2 2 1
变式1．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）已知双曲线 过点（3，y），（1，y），（﹣2，
1 2
y），则下列结论正确的是（ ）
3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
3 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1
变式2．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）在下列给出的函数中，y随x的增大而减小的是( )
A．y＝3x﹣2 B．y＝﹣x2 C．y＝ （x＞0） D．y＝ （x＜0）
变式3．（2022·江苏泰州·八年级期中）已知反比例函数 ，当 时，结合图像，得到 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D． 或
◎考点题型5 已知增减性求参数
例．（2022·全国·九年级课时练习）在反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，
则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·江苏·苏州市立达中学校八年级期中）已知 ， 两点在双曲线 上，
且 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）在反比例函数 的图象的每一支上，y随x的增大而增大，则
k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．变式3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校模拟预测）反比例函数 的图象上，当 时，y
随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型6 比较函数值或自变量的大小
例．（2022·浙江金华·八年级期末）若点 ， 是反比例函数 图象的两个点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且
，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期末）若点 、 、 都在反比例函数
的图象上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·河南南阳·八年级期末）已知点 ， ， 都在双曲线 上，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
◎考点题型7 反比例函数比例系数k的几何意义记应用
k
y=
x
1）设点P（a，b）是双曲线上 任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k||k|
（三角形PAO和三角形PBO的面积都是 ）．
2
2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的
面积为2|k|．
3 直线 与双曲线 的关系：
）
当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
例．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反
比例函数 在第一象限的图象经过点B，则 与 的面积差为（ ）．
A．32 B．16 C．8 D．4
变式1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是 轴正半轴上的一个定点，点
是函数 的图象上的一个动点， 轴于点 ．当点 的纵坐标逐渐增大时，四边形
的面积的变化为（ ）A．不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，点A是反比例函数 图象上一点，过点A作 轴，
垂足为H，连接OA，已知△AOH的面积是6，则k的值是（ ）
A．3 B． C．12 D．
变式3．（2022·河南南阳·八年级期中）反比例函数 与 在第一象限内的图象如图，点
P在 上．长方形PCOD交 于点A，B，若图中四边形BOAP的面积为6，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
◎考点题型8 求反比例函数的解析式
例．（浙江省丽水市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知 是关于 的反比例函数，当
时， ．
(1)求此函数的表达式；
(2)当 时，函数值是 ，求 的值．
变式1．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，已知 是一次函数 和反比例函数的图象的两个交点，直线 与y轴交于点C．求：
(1)反比例函数和一次函数的解析式；
(2)不等式 的解集（直接写出答案）．
变式2．（2022·江苏南京·八年级期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口
罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．
x 2 3 4 6
y 72 48 36 24
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？
变式3．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数 的
图象上，顶点B、D在 轴上． 已知点 、 ．
(1)直接写出点C、D的坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长；(4)求平行四边形ABCD的面积S．
