文档内容
专题 01 反比例函数的概念、图像和性质
【思维导图】
◎考点题型1反比例函数的概念
k
y=
一般地，形如
x
（
k
为常数，
k≠o
）的函数称为反比例函数。
k
y=
x y=kx−1
表现形式： 还可以写成 和 xy= k 的形式.
k
y=
x
【注意】反比例函数 的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
反比例函数解析式的特征:
1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k （也叫做比例系数 k ），分母中含有
自变量x，且指数为1.
2.比例系数
k≠0
3.自变量x的取值为一切非零实数。
4.函数y的取值是一切非零实数。
例．（2020·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ）．
A．正方形的边长和面积 B．圆的周长一定，它的直径和圆周率
C．速度一定，路程和时间 D．总价一定，单价和数量
【答案】D
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．
如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可．
【详解】A．正方形的面积÷正方形的边长=正方形的边长，没有定值，故正方形的边长和面积不成比例，
不符合题意；B．∵周长（定值）=直径×圆周率（定值），故直径也为定值，故圆的周长一定，它的直径和圆周率不成
比例，不符合题意；
C．∵路程÷时间=速度（定值），是比值为定值，符合正比例的意义，故速度一定，路程和时间成正比例
关系，不符合题意；
D．∵单价×数量=总价（一定），是乘积为定值，符合反比例的意义，故总价一定，单价和数量成反比例
关系，符合题意；
故选D．
【点睛】本题属于辨识正、反比例的量，就看这两个量是对应比值一定，还是对应乘积一定，再做判断．
变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例的一般形式是y＝ ，找到符合这一类型的函数即可．
【详解】解：A、y是x的一次函数，不符合题意；
B、y与x2成反比例函数，不符合题意；
C、y是x的正比例函数，不符合题意；
D、y是x的反比例函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握常见函数的一般形式是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）已知 是反比例函数，则函数的图
象在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义可得 再求解m的值，从而可得答案．
【详解】解： 是反比例函数，解得：
∴反比例函数为：
∴函数的图象在第一，三象限．
故选C
【点睛】本题考查的是反比例函数的定义与图象，掌握“反比例函数的定义及图象分布的象限”是解本题
的关键．
变式3．（2022·辽宁丹东·九年级期末）若反比例函数的图象经过 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
【答案】D
【分析】先设出反比例函数解析式 ，代入 确定k值，再代入 可求出a的值．
【详解】设反比例函数解析式 ，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴反比例函数解析式
则 ，
故选D．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和求反比例函数的函数值，掌握待定系数法是解题的关
键．
◎考点题型2 反比例函数的图像
图像的画法：描点法
1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2.描点（由小到大的顺序）
3.连线（从左到右光滑的曲线）
图像的特征：1.函数的图像是双曲线．
2.图像的对称性：
图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上．
图象关于直线y = x或y= -x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ， ）在双曲线
的另一支上．
3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度
越大．
例．（2021·湖南永州·九年级期中）在同一直角坐标系中，反比例函数 与一次函数 的大致
图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相
应的图像，然后与各选择比较，从而确定答案．
【详解】解：（1）当k＞0时，一次函数 经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限；
（2）当k＜0时，一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图像．灵活掌握反比例函数的图像性质和一次函数的图像性
质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．
变式1．（2021·陕西·榆林市第一中学分校九年级期中）若函数 的图象是双曲线，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比函数的定义，可得 且 ，解出即可求解．【详解】解：函数 的图象是双曲线，
∴该函数为反比例函数，
∴ 且 ，
解得： ．
故选： D
【点睛】本题主要考查了反比函数的定义，熟练掌握若 ，则称 是 的反比例函数，反比例函
数的图象为双曲线．
变式2．（2022·江苏连云港·八年级期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝ 相交于A、C两点，过
点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用反比例函数关于原点中心对称，设A点（a， ），则C点（-a， ），由坐标的特征便可
计算△ABC面积；
【详解】解：∵反比例函数图象上任意一点（x，y）关于原点的对称点（-x，-y）也在函数图象上，
∴反比例函数关于原点对称，
设A点（a， ），则C点（-a， ），
∵AB= ，C点到AB的距离为2a，
∴△ABC面积= ，
故选： C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键．变式3．（2022·河南驻马店·一模）如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数 的图象于点B，A，
点C在x轴上，且 ．若 ，则k的值为（ ）
A．12 B． C． D．6
【答案】C
【分析】如图所示，过点B作BE⊥x轴于E，根据对称性可以得到 ，从而推出
，再由三线合一定理得到CE=OE，则 ，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于E，
∵A、B都在反比例函数图象上，且AB经过原点，
∴ ，
∴ ，
∵BC=BO，BE⊥OC，
∴CE=OE，
∴ ，
∴ ．
故选C．
.【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的对称性，三线合一定理等等，熟
知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
◎考点题型3 已知双曲线分布的象限，求参数的取值范围
反比例函数的性质：
k 图像所在象限 函数的增减性
的取值
k>0 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小
k>0 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大
【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
例．（2022·福建泉州·八年级期末）函数 与 （k、b为常数，且kb≠0）在同坐标系内的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数与反比例函数性质逐项进行判读即可得出结果．
【详解】解：A、 中，k>0，b<0，
∴kb<0，
∴ 经过二、四象限，选项错误；
B、 中，k<0，b=0，
∴kb=0，
∴ 为x轴，选项错误；
C、 中，k<0，b>0，
∴kb<0，∴ 经过二、四象限，选项正确；
D、 中，k>0，b>0，
∴kb>0，
∴ 经过一、三象限，选项错误；
故选：C．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的性质，熟练掌握二者的性质是解题关键．
变式1．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可以
是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据反比例函图象经过第二、四象限，此时 ，即可得出答案．
【详解】解：由图象可知，反比例函图象经过第二、四象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握知反比例函数图象所在的象限与k的关系是解题的关键．
变式2．（2022·浙江杭州·一模）如图，是三个反比例函数 ， ， 在y轴右侧的图象，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数 ， 的图象在第一象限，
∴ ， ，
∵反比例函数 的图象在第四象限，
∴ ，
∵ 的图象距原点较远，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
变式3．（2022·湖北·老河口市教学研究室一模）反比例函数 的图象位于一、三象限，k的取值范
围是（ ）
A．k≥1 B．k＞1 C．k≤1 D．k＜1
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象所在的象限可得到 ，解不等式即可．
【详解】 反比例函数 的图象位于一、三象限
解得
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，即对于反比例函数 ，当 时，图象在第一、三象
限，当 时，图象在第二、四象限，熟练掌握知识点是解题的根据．◎考点题型4 判断反比例函数的增减性
例．（2022·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图像经过点A（x，y），B
1 1
（x，y）（x≠x），则下列说法错误的是（ ）
2 2 1 2
A．若xx＜0，则yy＜0 B．若（x﹣x）（y﹣y）＜0，则k＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x+x＝0，则A、B关于原点对称 D．若k＞0，x＞x＞0，则y＞y＞0
1 2 1 2 2 1
【答案】B
【分析】先根据题意得到 然后根据所给条件结合反比例函数的性质进行逐一求解判断即
可．
【详解】解：A、∵，反比例函数y＝ 的图像经过点A（x，y），B（x，y）（x≠x），
1 1 2 2 1 2
∴
∵ ，
∴ ，故此选项不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，当 时， ，故此选项符合题意；
C、∵ ，即 ，∴ ，即A、B关于原点对称，故此选项不符合题意；
D、当k＞0，在第一象限y随x增大而减小，若x＞x＞0，则y＞y＞0，故此选项不符合题意；
1 2 2 1
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
变式1．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）已知双曲线 过点（3，y），（1，y），（﹣2，
1 2
y），则下列结论正确的是（ ）
3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y
3 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵（3，y）、（1，y）、（﹣2，y），
1 2 3
∴点（﹣2，y）在第二象限内，点（3，y）、（1，y）位于第四象限内，
3 1 2
∴y＞y＞y，
3 1 2
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数 ，图象位于第一、三
象限内，当 时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，在每一象限内，y随x的增大而减
小是解题的关键．
变式2．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）在下列给出的函数中，y随x的增大而减小的是( )
A．y＝3x﹣2 B．y＝﹣x2 C．y＝ （x＞0） D．y＝ （x＜0）
【答案】C
【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的图象判断即可．
【详解】A．在y＝3x﹣2中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在y＝﹣x2中，当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C．在y＝ 中，x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意；
D．在y＝ 中，x＜0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象，牢记各个函数的图象特征是解题的关键．
变式3．（2022·江苏泰州·八年级期中）已知反比例函数 ，当 时，结合图像，得到 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】求得函数值为2时所对应的自变量的值，结合图象即可求得．
【详解】解：把y=2代入 ，求得x=4，
由图象可知，当y＜2时，x＞4或x＜0，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的
点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k，数形结合是解题的关键．
◎考点题型5 已知增减性求参数
例．（2022·全国·九年级课时练习）在反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，
则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质可知k+1＞0．从而得出k的范围．
【详解】解：∵反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，
∴k+1＞0，
∴k＞-1，
故选：C．【点睛】题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·苏州市立达中学校八年级期中）已知 ， 两点在双曲线 上，
且 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把 ， 代入双曲线 可进行求解．
【详解】解：由题意得：
， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）在反比例函数 的图象的每一支上，y随x的增大而增大，则
k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据y随x的增大而增大判断出k-3的符号，求出k的取值范围即可．
【详解】∵反比例函数 的图象每一支上，y随x的增大而增大，
∴k-3＜0，解得k＜3．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数 的图象是双曲线，当双曲线的两支
分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
变式3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校模拟预测）反比例函数 的图象上，当 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据当x>0时，y随x的增大而增大，即可得到关于 的不等式，求解即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝ 的图象上，当x>0时，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得： ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 ，当 时，图象在第一、
三象限，在每个象限，y随着x的增大而减小，当 时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的
增大而增大．
◎考点题型6 比较函数值或自变量的大小
例．（2022·浙江金华·八年级期末）若点 ， 是反比例函数 图象的两个点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a-1，y）、（a+1，y）在图象的同一支上
1 2
时，②当点（a-1，y）、（a+1，y）分别在图象的两支上时．
1 2
【详解】解：∵k=-1＜0，
∴图象在二、四象限，在每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a-1，y）、（a+1，y）在图象的同一支上，
1 2
∵y＜y，
1 2
∴ 或 ，
解得a＞1或a＜-1；
②当点（a-1，y）、（a+1，y）分别在图象的两支上，
1 2
∵y＜y，
1 2
∴a-1＞0，a+1＜0，即a＞1，a＜-1，无解，此情况不存在，
综上，a＜-1或a＞1，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而
增大．
变式1．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且
，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的性质进行解答即可．
【详解】解：∵反比例函数 ，k=2>0，
∴函数 经过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，掌握 ，当k>0时，图象经过一、三象限，在每个象限内，
y随x的增加而减小；当k<0时，图象经过二、四象限，在每个象限内，y随x的增加而增大是解题关键．
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期末）若点 、 、 都在反比例函数
的图象上，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数 中k=-6＜0，
∴双曲线在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵0＞-a2-1＞-a2-2，a2+1＞0，
∴点（-a2-1，y）、（-a2-2，y）在第二象限，点（a2+1，y）在第四象限，
1 2 3
∴y＞y＞0，y＜0．
1 2 3
∴y＜y＜y．
3 2 1
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
变式3．（2022·河南南阳·八年级期末）已知点 ， ， 都在双曲线 上，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得：反比例函数图象位于第二、四象限内，再根据反比例函数的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：反比例函数图象位于第二、四象限内，
∴在每一象限内， 随 的增大而增大，且点 ， 位于第四象限内， 位于第二象限
内，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
◎考点题型7 反比例函数比例系数k的几何意义记应用
k
y=
x
1）设点P（a，b）是双曲线上 任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|
|k|
（三角形PAO和三角形PBO的面积都是 ）．
22）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的
面积为2|k|．
3 直线 与双曲线 的关系：
）
当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
例．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反
比例函数 在第一象限的图象经过点B，则 与 的面积差为（ ）．
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【分析】已知反比例函数的解析式为 ，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，
)再结合已知条件求解即可；
【详解】解：如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数 的图象上，所以设点B(m， )．∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n， )，
由AD=BD，得n− =m−n，化简整理得m2−2mn=−16．
∴S OAC−S BAD= n2− (m−n)2=− m2+mn=− (m2−2mn)，
△ △
即S OAC−S BAD=8．
故选△C △
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是掌握
反比例函数系数 的几何意义．
变式1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是 轴正半轴上的一个定点，点
是函数 的图象上的一个动点， 轴于点 ．当点 的纵坐标逐渐增大时，四边形
的面积的变化为（ ）
A．不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小
【答案】B
【分析】连接OP，根据反比例函数的比例系数的几何意义，可得 ，再由四边形 的面积等于 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接OP，
∵PB⊥y轴，
∴ ，
∵四边形 的面积等于 ，
∵点 是 轴正半轴上的一个定点，点 的纵坐标逐渐增大
∴四边形 的面积随点 的纵坐标的增大而增大．
故选：B
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
变式2．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，点A是反比例函数 图象上一点，过点A作 轴，
垂足为H，连接OA，已知△AOH的面积是6，则k的值是（ ）
A．3 B． C．12 D．
【答案】D
【分析】先设出A点的坐标，由△AOH的面积可求出xy的值，即 ，即可求出反比例函数的待定系
数．
【详解】解：设A点坐标为 ，
由图可知A点在第二象限，
∴ ， ，又∵ AB⊥x轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐
标轴围成的矩形面积就等于 ，熟练掌握反比例函数的待定系数k的几何意义是解题的关键．
变式3．（2022·河南南阳·八年级期中）反比例函数 与 在第一象限内的图象如图，点
P在 上．长方形PCOD交 于点A，B，若图中四边形BOAP的面积为6，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解即可求解．
【详解】解：由图知，点P在反比例函数 的图象上，四边形PCOD是长方形，
∴S PCOD=k，
长方形 1
∵点A、B在反比例函数 图象上，
∴S BOD=S AOC= ×3= ，
△ △
∵四边形BOAP的面积为6，
∴k=6+2× =9，
1
故选：C．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数比例系数k与特殊图形的面积关系是解
答的关键．
◎考点题型8 求反比例函数的解析式
例．（浙江省丽水市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知 是关于 的反比例函数，当
时， ．
(1)求此函数的表达式；
(2)当 时，函数值是 ，求 的值．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
【分析】（1）首先设反比例函数解析式为 ，然后把 ， 代入反比例函数，即可得出
反比例函数解析式；
（2）利用（1）中反比例函数解析式，把 代入解析式，即可得出m的值．
（1）
解：设反比例函数解析式为 ，
把 ， 代入反比例函数解析式，可得： ，
∴反比例函数解析式为 ．
（2）
解：由（1）可得： ，
∵当 时，函数值是 ，
又∵当 时， ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数表达式、反比例函数的定义，解本题的关键在正确求出反比例函数表达式．
变式1．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，已知 是一次函数 和反比例函数
的图象的两个交点，直线 与y轴交于点C．求：
(1)反比例函数和一次函数的解析式；
(2)不等式 的解集（直接写出答案）．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为
(2) 或 ．
【分析】（1）根据A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y 的图象的两个
交点，可以求得m的值，进而求得n的值，即可解答本题；
（2）根据函数图象以及点 的横坐标即可求解．
（1）
解：∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y 的图象的两个交点，
∴4 ，得：m＝4，
∴y ，
∴﹣2 ，得：n＝﹣2，
∴点A（﹣2，﹣2），∴ ，
得： ，
∴一次函数解析式为y＝2x+2，
即反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ；
（2）
解：∵点A（﹣2，﹣2），点B（1，4），
∴不等式 即 的解集是： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．
变式2．（2022·江苏南京·八年级期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口
罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．
x 2 3 4 6
y 72 48 36 24
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？
【答案】(1)
(2)8万只
【分析】（1）根据表格中数据得出每时生产口罩的数量与时间的积一定，即可得出反比例函数解析式；
（2）把y＝18代入 ，可得 ，再根据反比函数的性质，即可求解．
（1）
解：根据题意得：每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每小时生产口罩的数量与时间成反比例，
∴ ．
∴y与x的函数表达式为 ．（2）
解：把y＝18代入 ，得： ，
解得： ，
∵144>0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∴每小时至少需要生产8万只口罩．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数关系式是解题关键．
变式3．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数 的
图象上，顶点B、D在 轴上． 已知点 、 ．
(1)直接写出点C、D的坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长；
(4)求平行四边形ABCD的面积S．
【答案】(1)C(3，-2)；D（5，0）
(2)
(3) ；
(4)
【分析】（1）由题意，点A、C，点B、D关于原点对称，即可得出答案；
（2）直接将点 代入反比例函数 ，即可求出解析式；
（3）直接根据B、D的坐标得到BD的长，过点A作AE⊥x轴于E，有勾股定理可求出OA的长，即可得出AC的长；
（4）由 ，即可求解．
（1）
解：由题意点A、C，点B、D关于原点对称，且 、 ，
∴C(3，-2)；D（5，0）．
（2）
∵反比例函数图象经过点（-3，2），
∴
反比例函数的解析式为 ．
（3）
；
过点A作AE⊥x轴于E，在Rt AEO中，
△
，
∴ ．
（4）
．
【点睛】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．
