文档内容
专题 01 反比例函数 K 的三种考法
类型一、求K值
例1．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝ 和y＝ 的图象上，若∠BCD＝60°，则 的值是
（ ）
A．－ B．－ C．－ D．－
【答案】A
【详解】解：连接 、 ，∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，
∴ 与 、 与 关于原点对称，
∴ 、 经过点 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
作 轴于 ， 轴于 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
例2.如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y= 上，且AB⊥y轴，BC的延长线
交x轴于点D，若S ACD=3．则k=（ ）
△A．3 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【详解】解：设 点坐标为 ．
轴， ， ，
， ，
，
， ．
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式训练1】如图，函数 的图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若
阴影部分面积为6，则k的值为______．【答案】6
【详解】解：设函数图象过BC的中点，中点坐标为（m， ），则C（m， ），
∴S =S OBCD-S OAPE=2k-k=6，
阴影 矩形 矩形
∴k=6；
若函数图象过CD的中点，中点坐标为（m， ），则C（2m， ），
∴S =S OBCD-S OAPE=2k-k=6，
阴影 矩形 矩形
∴k=6．
综上，k的值为6．
故答案为：6．
【变式训练2】如图，点 ， 分别在函数 与 的图象上，线段 的中点 在
轴上．若 的面积为 ，则 的值是______．
【答案】4
【详解】解：如图，作 轴于 ， 轴于 ，设 ，则 ， ，
线段 的中点 在 轴上，
点 的横坐标为 ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式训练3】如图，在 中， ，点A在反比例函数 的图像上，点B，C在
轴上， ，延长 交 轴于点 ，连接 ，若 的面积等于 ，则 的值为______．
【答案】6
【详解】解：如图，连接AO，过点A作AE⊥x轴于点E，∵AC=AB，AE⊥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．故答案为：6．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴，y轴的正半轴上，双
曲线 （x＞0）分别与边AB，BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，BC的中点，连接EF．若
BEF的面积为5，则k的值是_____．
△【答案】20
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E（ a，b），F（a， b），
∵E、F在反比例函数的图象上，∴ ab＝k，
∵S BEF＝5，∴ × a× b＝5，即 ab＝5，
△
∴ab＝40，∴k＝ ab＝20．
故答案为：20．
【变式训练5】如图，在平面直角坐标系 中，点A，B是反比例函数 （ ，k为常数）的图像
上两点（点A在第一象限，点B在第三象限），线段 交x轴于点C，若 ， 的面积分别为：
和 ，则 ______________．
【答案】12
【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：∵ ， ，∴ ，
设点A的纵坐标为 ，则点B的纵坐标为-2m，
∴点A的横坐标为 ，点B的横坐标为： ，
设点C的坐标为： ， ，则 ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，
整理得： ，则 ，∴ ，解得： ．
故答案为：12．
【变式训练6】如图，直角坐标系中，矩形 的对角线 的中点与原点 重合，点 为 轴上一点，
连接 ， 为 的中点，反比例函数 的图像经过 ， 两点，若 平分 ，
的面积为6，则 的值为_____________．【答案】4
【详解】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM， 为 的中点，，
∴MN=ME，
∴FM= AN，
∵A，F在反比例函数的图像上，
∴S AON=S FOM= k，
△ △
∴ •ON•AN= •OM•FM，
∴ON= OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME= OE，∴S FME= S FOE，
△ △
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S ADE=S AOE，
∴S△AOE=6△，
∵A△F=EF，
∴S EOF= S AOE=3，
△ △
∴S FME= S EOF=1，
△ △
∴S FOM=S FOE-S FME=2= k，
△ △ △
∴k=4．
故答案为：4．
类型二、求面积
例1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若
反比例函数y= (x>0)的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM=2DM，连接OM，ON，MN，则
（ ）A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E，
∵点M、N是反比例函数y= 图象上的点，
∴ ，
∴ ，
设点M（t， ），则C（3t， ），E（t，0），B（3t，0），N（3t， ），
∴ = CM•CN= •2t•（ - ）= ；
= （ME+BN）•BE= （ + ）•2t= ，
∴ ．
故选：C．
例2．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相
交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 轴于点 ，交 于点 ．设点A的横坐标为 ．若
，则 的值为( )A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】
作BG丄x轴于G点，
设A(m， )，B(n， )，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=
∵AE丄x轴，∴OE=m，
∵A、B两点都在 上，
由k的几何意义可知，S AOE=S BOG= ，
△ △
∵S OAF+S EFBC=4，
四边形
△
即S OAE-S OEF+S OBG-S OEF+S BCG=4，
△ △ △ △ △
2-2S OEF+2+S BCG=4，∴S BCG=2S OEF，
△ △ △ △
由 轴，BG丄x轴，得AE∥BG，∴△OEF∽△OGB，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，得 ， ，
∵m＞0，∴ ，
故选B．
例3．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数 （k＞0）在第一
象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S OCE＝8 ，则OC的长为（ ）
△
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图，
∵四边形OABC为平行四边形，∴OC=AB， ，∴∠EAF=∠AOC=60°，∵在Rt△COD中，∠DOC=60°，∴∠DCO=30°，
设OD=t，∴CD= ，OC=AB=2t，
∵在Rt△EAF中，∠EAF=60°，AE= AB=t，∴AF= t，EF= AF= ，
∵点C与点E都在反比例函数 的图像上，∴OD×CD=OF×EF，
∴ ，∴OA=OF-EF=2t- t= t，
∵平行四边形OABC的面积为 ，∴ ， ，
解得 ，（负值舍去），∴OC=2t= ，
故选：D．
【变式训练1】如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在
x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为
E，连接DE，OE，若 ，则△ADE的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数 （k＞0）的图象交于A、B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
设点A（m， ），
∵AD＝2DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D（3m， ），
∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC＝ S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝ ×4+ （DH+AF）×FH+S△HDC＝ ×4+ × ×2m+
× ×2m＝8，
∵AD＝2DC，∴△ADE的面积为 ，
故选：B．【变式训练2】如图平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上，反比例函数 的图象经过
菱形对角线的交点 ，且与边 交于点 ，点 的坐标为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形OBCD是菱形，
∴OA＝AC，
∵C（8，4），
∴A（4，2），
把点A（4，2）代入，反比例函数y＝ （x＞0）得， ，解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，
在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，
解得：x＝5，
∴点B的坐标为B（5，0），
设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），
∴ ，解得： ，∴直线BC的解析式为y＝ x﹣ ，联立方程组得 ，解得： 或 ，
∴点F的坐标为F（6， ），
作FH⊥x轴于H，连接OF，
∴S OBF＝ OB•FH＝ ×5× ＝ ，
△
故选：A．
【变式训练3】如图，矩形 的顶点 、 分别在反比例函数 与 的图象上，
点 、 在 轴上， ， 分别交 轴于点 、F，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
【答案】B
【详解】解：设点A的坐标为（a， ），a＞0．则OD＝a，OE＝ ．
∴点B的纵坐标为 ．∴点B的横坐标为﹣ ．∴OC＝ ．∴BE＝ ．
∵AB∥CD，∴ ，∴ ＝ ．
∴EF＝ OE＝ ，OF＝ OE＝ ．∴ ＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故选：B．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 的顶点A在反比例函数
的图像上，顶点B在反比例函数 的图像上，顶点C在x轴的正半轴上，则 的面积是
______________．
【答案】
【详解】解：延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
的顶点 在反比例函数 的图像上，顶点 在反比例函数 的图像上，
， ， ，
在平行四边形 中， ， ，故答案为：6．
【变式训练5】如图，点M在函数 （x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则 OBC的面积为_________．
△
【答案】2.1
【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，∴∠MEO=∠MDO=90°，
∵∠EOD=90°，∴四边形EODM是矩形，
设 ，则 ， ，
∴ =2.1．
故答案为：2.1．
【变式训练6】如图，分别位于反比例函数 ， 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一
直线上，且 ．过点A作x轴的平行线交 的图象于点C，连接BC，则 的面积为________．【答案】8
【详解】作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F，
∴AE∥BF，
∴△AOE∽△BOF，
∴ ＝ ＝ ＝ .
由点A在函数y＝ 的图象上，
设A的坐标是 ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴OF＝3m，BF＝ ，即B的坐标是 .
又点B在y＝ 的图象上，
∴ ＝ ，解得k＝9，
则反比例函数y＝ 的表达式是y＝ .
∵A ，B ，
又已知过A作x轴的平行线交y＝ 的图象于点C，
∴C的纵坐标是 .
把y＝ 代入y＝ 得x＝9m，∴C的坐标是 ，∴AC＝9m－m＝8m.
∴S ABC＝ ×8m× ＝8，
△
故答案为：8
【变式训练7】如图，在反比例函数 的图象上，有点 ，它们的横坐标依次为2，
4，6，8，…分别过这些点作 轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为
，则 _______， _______（用含 的代数式表示， 为正整数）．【答案】 7.5
【详解】解：∵在反比例函数 的图象上，有点P ，它的横坐标为2，
1
∴当x=2时，y=5，∴点P 的坐标为（2，5）．
1
由题意，可知点P 、P 、P 坐标分别为：（4， ），（6， ），（8， ），
2 3 4
∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方
1
形的面积，∴阴影部分的面积和S +S +S =2×5-2× =7.5．
1 2 3
∴S +S +S +…+S = 故答案为 7.5， ．
1 2 3 n
类型三、求点的坐标
例1．如图，平行四边形 的项点 在 轴的正半轴上，点 在对角线 上，反比例函数
的图象经过 、 两点．已知平行四边形 的面积是6，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数 上，
∴k=2×1=2，∴反比例函数解析式为： ，
设直线OB的函数解析式为y=mx，∵点D（2，1）在对角线OB上，∴2m=1，即 ，∴OB的解析式为： ,
∵点C在反比例函数图象上，∴设点C坐标为（a， ），
∵四边形OABC为平行四边形，∴BC OA，∴点B的纵坐标为 ，
将y= 代入 ，解得：x= ，
∴点B坐标为（ ， ），∴BC= ，
∵平行四边形OABC的面积是6，
∴（ ）× =6，解得：a=1或a=-1（舍去），
∴ ， ，∴点B坐标为： ，
故选：B．
例2．如图，一次函数 与反比例函数 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相
交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 轴于点 ，交 于点 ．设点A的横坐标为 ．若
，则 的值为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B【详解】
作BG丄x轴于G点，设A(m， )，B(n， )，
由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，
∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=
∵AE丄x轴，∴OE=m，
∵A、B两点都在 上，
由k的几何意义可知S AOE=S BOG= ，
△ △
∵S OAF+S EFBC=4，
四边形
△
即S OAE-S OEF+S OBG-S OEF+S BCG=4，
△ △ △ △ △
2-2S OEF+2+S BCG=4，∴S BCG=2S OEF，
△ △ △ △
由 轴，BG丄x轴，得AE∥BG，
∴△OEF∽△OGB，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，得 ， ，
∵m＞0，∴ ，
故选B．
例3．如图，点A，D分别在函数 和 的图象上，点B，C在x轴上，若四边形 为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是__________．
【答案】( ，4)
【详解】如图，设AD与y轴交于点P，
根据反比例函数k的几何意义可知: ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
将 代入 ，得 ，解得： ，
∴D( ，4)．
【变式训练1】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数
的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且
ED OB，则点E的坐标是_______．
【答案】(2，4 )
【详解】解：连接OE，
∵反比例函数 的图象与AB、BC分别交于点E、F，
∴ ，
设D(m，n)
∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，∴mn= ，n= ，
∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，
∴B(2m，2n)，∴A=2n，AB=2m，∴ ，∴AE= ，
∴BE ，E( ， )，∴OA= ，
∵OD=BD，ED OB，∴OE=BE= ，
在Rt AOE中， ，
∴
整理得
∵m 0，∴m=4，∴E(2，4 )，
故答案为：(2，4 )．
【变式训练2】如图，点A在函数 的图像上，点B，C在函数 的图像上，若AC∥y
轴，AB∥x轴，且AB＝ AC，则BC＝________．
【答案】
【详解】解：延长CA、BA交坐标轴于F、E，作CD⊥y轴于D，BG⊥x轴于G，设A（m，n），
∵点A在函数 的图像上，点B、C在函数 的图像上，AC∥y轴，AB∥x轴，
∴S CDOF=S BEOG=18，mn=12，
四边形 四边形
∴S AEDC=S ABGF，∴AC•m=AB•n，
四边形 四边形
∵AB= AC，∴m= n，∴ n•n=12，∴ ，∴ ，∴C点的横坐标为 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在
第一象限内作矩形OABC，且S OABC＝2 ，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为
矩形
MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k
的值为 _____，点C'的坐标为 _____．【答案】 ##
【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q，
由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴ ，
∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，
又∵BQ=OQ，
∴△BMQ≌△ONQ（AAS），
∴QM=QN，即点Q为OB的中点，
过点Q作QH⊥x轴于H，
∴ ，
∴△OHQ∽△OCB，
∴ ，
∵四边形OABC是矩形，
∴ ，
∵Q在反比例函数图象上，
∴ ；
过点 作 轴于G，
∵点M在反比例函数图象上，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设AM=a，则BM=OM=3a，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值已经舍去），
∴AB=OC=2， ，
∵QM=QG，OQ=BQ，
∴四边形OMBN是平行四边形，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴点C的坐标为
故答案为： ， ．
【变式训练4】如图，已知直线y＝kx＋b与函数y＝ （x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积
为 ，则m的值为___．
【答案】27
【详解】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AE，如图
∵AC⊥x轴，FO⊥OC
∴四边形ACOF是矩形
∵点D是AB的中点
∴CD、ED分别是△ABC、△ABE的边AB上的中线，∴ ，
∴ ，即
∵ ， ，∴
∴根据反比例函数解析式中k的几何意义知，
∵反比例函数的图象在第一象限，∴m=27
故答案为：27．【变式训练5】如图，直线 与双曲线 相交于A，B两点．平行四边形OCDE的顶点C在双
曲线上，点E在x轴上且DE过点A，连接BC ．若 的面积为5，则D点坐标为_______．
【答案】（ ， ）
【详解】解：令 ，
解得： ，
结合图像有A（-4,3），B(4,-3)
根据反比例函数的对称性，有
,
根据面积公式： ， ，
∴
设D为（m，n），则C ，n ，
( )
又 ， E（ ， ），
∵ ∴ 0分别过C、B作垂直于坐标轴的垂线交于M如图示，
解得 （舍）
又 ，
故答案为：（ ， ）
