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专题 04 图形的相似
【思维导图】
◎考点题型1 比例的基本性质
比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若 ＝ ，则ad＝bc。解决此类问题通常利用设k法即
可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.
例．（2022·山东烟台·八年级期末）若 ，则下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·江苏淮安·八年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河北·石家庄二十三中八年级阶段练习）若 = = =k，则k的值为( )
A． B． 或1 C．-1 D． 或-1
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝
4cm，c＝5cm，则d等于（ ）A．1cm B．10cm C． cm D． cm
◎考点题型2 比例线段
a c
=
b d
1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即 那么这四条线段叫做成比
例线段，简称比例线段．
a b
=
2.等比中项：如果三个数 a,b,c 满足比例式 b c （或 a:b=b:c ），则 b 叫做a,c的比例中项.
例．（2022·全国·九年级专题练习）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（
）
A． cm B．2（ ﹣1）cm C．4（ ﹣1）cm D．6（ ﹣1）cm
变式1．（2022·山东烟台·八年级期中）下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
变式2．（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的
高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，
那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）A． B． C． D．
变式3．（2022·山东烟台·八年级期末）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是
30cm，则两地的实际距离为（ ）
A．600000km B．6000km C．600km D．60km
◎考点题型3 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段成比例。
例．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山西·九年级专题练习）一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，
竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，
AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（ ）
A．5N B．10N C．15N D．20N
变式2．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）如图，点D、E位于 的两边上，下列条件能
判定 的是（ ）A． B．
C． D．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ，下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
◎考点题型4 相似图形
相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相
似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
例．（2022·河北邢台·九年级期末）把左图放大2倍，可以得到的图形是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
变式1．（2022·河北邢台·九年级期末）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只
有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的
内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（ ）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．
A．a＝b B．a b C．a b D．a b
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点O是四边形ABCD内一点， 、 、 、 分别是
OA、OB、OC、OD上的点，且 ，若四边形 的面积
为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
◎考点题型5 黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：
√5−1
BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段
2
AB的黄金分割点有两个．
例．（2022·浙江杭州·九年级期末）“苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8公里．苏堤上有名的六
吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分
割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行．”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计
压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ）
A．0.9公里 B．1.1公里 C．1.3公里 D．1.4 公里
变式1．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每
圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
变式2．（2023·江西·九年级专题练习）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到
黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，
应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC， 的角平分线交边AB
于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且 ，已知 ，那么该正五边形的周长
为（ ）
A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
变式3．（2022·全国·九年级课时练习） 是线段 上一点（ ），则满足 ，则称点 是
线段 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，
一片树叶的叶脉 长度为 ， 为 的黄金分割点（ ），求叶柄 的长度．设 ，
则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型6 由平行线求线段的长或比值
例．（2022·山东青岛·八年级期末）如图： ， ，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，已知 ， ，那么下列结论中，正
确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·浙江温州·九年级期中）如图，在 中，点 、 分别在 、 边上， ，
若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·吉林长春·九年级期末）如图， ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC边上，且有
△
DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，则 （ ）
A． B． C． D．
