文档内容
专题05 图形的相似重难点题型专训（6大题型）
【题型目录】
题型一 比例的性质
题型二 线段的比
题型三 成比例线段
题型四 由平行判断成比例的线段
题型五 由平行截线求相关线段的长或比值
题型六 黄金分割
【知识梳理】
知识点一、线段的比与成比例线段
线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．
a c
四条线段 、 、 、 中，如果 = ，那么这四条线段 、 、 、 叫做成比例
成比例线段 a = c a = c a = c a = c b d d d d d
b d b d b d b d
线段，简称比例线段．
知识点二、比例的性质
基本性质 a c
= ⇔ad=bc
b d
合比的性质 a c a±b c±d
= ⇔ =
b d b d
等比性质 a c m a+c+⋯+m
= =⋯= =k(b+d+⋯+n≠0) =k
b d n ⇔ b+d+⋯+n
知识点三、黄金分割
AC BC
若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果 = ，这
AB AC
黄金分割
√5−1
时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为
≈0.618
．
2
知识点四、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为 相似图形 (simila r figures) .
要点诠释：
相似图形
(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形是全等；
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
相似多边形
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
图形：
几何语言：
l4 l5
定理 A D
l1
∵l 1 ∥l 2 ∥l 3 ，
l2
B E AB DE
∴ = ， AB DE ， BC EF
BC EF = =
AC DF AC DF
l3
C F
平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
图形： 几何语言：
推论 A AD AE
∵DE∥BC，∴ = ，
E D DB EC
D E A AD AE BD CE
= ， =
B C B C AB AC AB AC
【经典例题一 比例的性质】
1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期末）若 （ ），则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件得到 ， ，代入代数式即可得到结论．
【详解】解： ，
， ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了比例线段，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2021上·福建福州·八年级校考期末）若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，可得 ， ，再代入 约分即可求解．【详解】解： ，
， ，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例线段，关键是得到 ， ．
3．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）若 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）设
，则k的值为 ．
【答案】 或
【分析】依据等比性质可得， ，分两种情况讨论，即可得到 的值．
【详解】解：当 时，
，
由等比性质可得， ，即 ；
当 时， ，
；
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
5．（2023上·江苏南通·九年级统考阶段练习）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水
做“糖水实验”，也能验证发现一些数学结论．
(1)糖水实验一：
现有a克糖水，其中含有b克糖（ ），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为 ．加
入m克水，则糖水的浓度为______．
生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”；
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不
等式”：______．
(3)糖水实验三：
请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若 ，则 成立．
【答案】(1) ，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用关于糖水的生活经验设计即可．
【详解】（1）由题意得，加入 克水，糖水为 克，∴糖水的浓度为 ；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴ ；
故答案为： ； ．
（2）由题意得，加入 克糖，糖水为 克，糖为 克，
∴糖水的浓度为 ，
∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大，
∴ ，
故答案为： ．
（3）若有 杯糖水，分别是 克， 克， 克，…， 克，其中每杯中含的糖分别是 克， 克， 克，
…， 克，若这 杯糖水的浓度相同，则 ，
将这 杯浓度相同的糖水倒在一个容器内，根据生活经验，糖水没有变化，即不变甜也不变淡，由此可以
得到 ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
【经典例题二 线段的比】
1．（2023下·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片 按照以下方法裁剪：剪去矩形
边 长的 ，边 长的 （称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形 （阴影部分）边 长的
， 长的 （称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形 的长宽比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设原矩形 的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为 ，宽为 ，以此类推得出
第五次剪所得矩形有， 即可求出答案．
【详解】设原矩形 的长为x，宽为y，
则第一次裁剪所得矩形的长为 ，宽为 ，
第二次裁剪所得矩形的长为 ，宽为 ，
第三次裁剪所得矩形的长为 ，宽为 ，
第四次裁剪所得矩形的长为 ，宽为 ，
第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，
，
．故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键．
2．（2022上·上海青浦·九年级校考期中）点 把线段 分割成 和 两段，如果 是 种 的比
例中项．那么下列式正确的个数有（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设 ，则 ，由比例中项得出 ，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设 ，则 ，
∵线段 是 种 的比例中项，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴ ， ， ， ，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
3．（2021上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形
（底与腰的比为 的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝
8，则DE＝ ．【答案】 /
【分析】 顶角是 的等腰三角形，则两底角为 ，这样的三角形称为黄金三角形，又 、
都是黄金三角形，可证BC=BD=AD，DE=DC，利用DE=DC=AC-AD=AB-BC求解．
【详解】解：根据题意可知，BC= AB，
∵ 顶角是 的等腰三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C= ，
又∵ 也是黄金三角形，
∴∠CBD= ，BC=BD，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD= =∠A，
∴BD=AD，同理可证DE=DC，
∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB- AB= ．
故答案为： ．
【点睛】黄金三角形是较特殊的三角形，几个黄金三角形叠合在一起，可构造出若干个等腰三角形，利用
等腰三角形的边相等进行代换．
4．（2022上·广东佛山·九年级统考期末）如图，在 中， ，以点B为圆心， 长为半径
画弧，交线段 于点D；以点A为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点E，若E为 中点，则
．【答案】 /0.75
【分析】设 ，由题意得， ，根据勾股定理得
，即 ，解得 ，即可得到答案．
【详解】解：设 ，
由题意得， ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，正确掌握勾股定理及设
定未知数求解是解题的关键．
5．（2023上·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：
如图1，在线段 上找一点C ，若 ，则称点C为线段 的黄金分割点，这
时比值为 ，人们把 称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特
别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在 中， 的长为2，过点E作 ，
且 ，连接 ；以F为圆心， 长为半径作弧，交 于H；再以O为圆心， 长为半径作弧，
交 于点P．
根据材料回答下列问题：
(1)根据作图，写出图中相等的线段：________；
(2)求 的长；
(3)求证：点P是线段 的黄金分割点．
【答案】(1) ，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由题意知， ， ，然后作答即可；
（2）由勾股定理得 ，根据 ，计算求解即可；
（3）由 ，可得 ， ，
，则 ，即 ，进而结论得证．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∵
∴ ，
∴ ．（3）证明：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴点P是线段 的黄金分割点．
【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【经典例题三 成比例线段】
1．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（
）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，故A不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故B不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故C符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．
2．（2023上·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列四条线段中，不能成比例的是（
）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答
案．
【详解】解：A、 ，能成比例，故此选项不符合题意；
B、 ，能成比例，故此选项不符合题意；
C、 ，不能成比例，故此选项不符合题意；
D、 ，能成比例，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大
的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（2022上·上海青浦·九年级校考期中）已知点P把线段 分割成 和 （ ）两段，如果
是 和 的比例中项，那么 的值等于 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是 解答即可．
【详解】解：∵点 把线段 分割成 和 两段( )，其中 是 与 的比例中项，
∴点P是线段 的黄金分割点，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是黄金分割比， 是 与 的比例中项即点P是线段AB的黄金分割点，理解并熟
记黄金分割比是解本题的关键．
4．（2022上·河南郑州·九年级统考期中）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心 为长 、宽
的矩形，装裱后整幅画为矩形 ，两矩形的对应边互相平行，且 与 的距离、 与
的距离都等于 当 与 的距离、 与 距离都等于 ，且矩形 ∽矩形 ，
整幅书画最美观此时， 的值为
【答案】
【详解】解：由题意 ， ， ， ，
∵矩形 ∽矩形 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
5．（2022上·江苏南京·九年级校考阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段 ， 的长
度分别是 ， ，那么就说两条线段的比 ，如果把 表示成比值 ，那么 或
．请完成以下问题：
(1)四条线段 ， ， ， 中，如果 ，那么这四条线段 ， ， ， 叫做成比例线段．
(2)已知 ，那么 成立吗？请说明理由．
(3)如果 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)如果 ，那么 成立，详见解析(3) 或
【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段 ， ， ， 中，如果 ，那么这四条线段 ，
， ， 叫做成比例线段，解答即可．
（2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可．
（3）分 和 两种情况求解．
【详解】（1）根据题意，得四条线段 ， ， ， 中，如果 ，那么这四条线段 ， ， ，
叫做成比例线段．
故答案为： ．
（2）解法1： 如果 ，那么 成立．理由：
，
，
∴ ，
．
解法2： 如果 ，那么 成立．理由：
，
，
即 ，
．
（3）①当 时，
， ， ，
为其中任何一个比值，即 ；
② 时，．
所以 或 ．
【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键．
【经典例题四 由平行判断成比例的线段】
1．（2023秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，直线 ，直线 、
分别与直线 、 、 相交于点 、 、 和点 、 、 ，若 ， ， ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出 ，进而求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 中， 为 边上一点，过 作 交 于 ，
为 的中点，作 交 于 ，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、 ，
由平行线分线段成比例定理可得 ，
，
，
，
，
，即 ，
， ，
由平行四边形的判定定理得到四边形 为平行四边形，即 ，
，故该选项正确，不符合题意；
B、 ，
，
，
，
，
为 的中点，
，，故该选项正确，不符合题意；
C、 ，
由平行线分线段成比例定理可得 ，
， ，
由平行四边形的判定定理得到四边形 为平行四边形，即 ，
，故该选项正确，不符合题意；
D、 ，
由平行线分线段成比例定理可得 ，
，
由平行线分线段成比例定理可得 ，
只有当 为 中点时，即 时，
由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等
知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．
3．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线 ，直线m与直线 、 、 分别交于点
A、D、F，直线n与直线 、 、 分别交于点B、C、E．若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解： 直线 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一
组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ，
，交 于点 ．若 ，则 的长是 ．
【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得 ，根据等边对等角可得 ，然
后根据平行线分线段成比例定理，可得 ，结合 即可得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，
理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
5．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在正方形 中，点G在对角线 上，不与点
B，D重合，连接 并延长交 于点E，连接 并延长交 于点M，过点D作 交 于点
P，交 于N，垂足为F．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．（用含a的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，得出 即可；
（2）先证明 ， ，得出 ，即可得出 ，根据
，得出 ，
，即可证明结论；
（3）证明 ，得出 ，得出 ，根据
，得出 ，即 ，求出 ，得出 ，根据 ，
得出 ．【详解】（1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角
形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练三角形全等的判定，得出 ，
．
【经典例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】
1．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期中）如图，三条直线 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 可得 ，从而得到 ，再由 ，可得 ，最后
再由 可得 ，进行计算即可得到答案．【详解】解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点是解题的关键．
2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在 的边上， ， ，
，点M是 的中点，连接 并延长交 于点N，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点F作 交AC于点G,可证 ．同理，可得 ， ，
；由 ,得 ，于是 ；设 ，则 ， ，，从而得 ．
【详解】解：过点F作 交AC于点G,
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ,
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ，
∴
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键．
3．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）如图 中， 、 为 的三等分点， 为 的中
点， 与 、 分别交于 、 ，则 ．【答案】
【分析】首先过点M作 ，交 分别于K，N，由M是 的中点与 、 为 的三等分
点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得 ， ，，然后根据比例的性质，即可求
解．
【详解】解：过点M作 ，交 分别于K，N，
∵M是 的中点，
∴ ，
∵ 、 为 的三等分点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的
作法，注意数形结合思想的应用．
4．（2021秋·山西太原·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， ，求 的值
为 ．
【答案】
【分析】过点 作 交 于 ，由平行线分线段成比例得到 ，
，则 ， ，得到 ，即可得到
的值．
【详解】解：过点 作 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，作 是解题的关键．
5．（2023秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，已知直线 、 、 分别截直线 于点A、 、 ，截
直线 于点 、 、 ，且 ．(1)如果 ， ， ，求 的长；
(2)如果 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到 ，代入已知线段长度即可得到 的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得到 ，由 得到 ，由 得到
，即可得到 的长．
【详解】（1）解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 的长为 ；（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键．
【经典例题六 黄金分割】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即；如图，
点 是线段 上一点 ，若满足 ，则称点 是 的黄金分割点，黄金分割在日常生活
中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20
米，主持人从舞台一侧进入沿直线行走，设他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则 满足的方
程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可．
【详解】解：∵满足 ，则称点 是 的黄金分割点，
设他至少走 x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，即 ，
∴ ．故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，线段 ，在线段AB上找一点C，C把 分为 和
两段，其中 ，若 ，则点C就叫做线段 的黄金分割点，其中 （或 ）的值叫做
黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，代入 并整理得： ，求出x的值，再舍去不合题意
的值，最后计算比值即可．
【详解】设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： ，
经检验，是原分式方程的解．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查黄金分割，解可化为一元二次方程的分式方程．理解黄金分割的定义是解题关键．3．（2023秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和
日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长 米，C，
D是线段 的黄金分割点（即 ， ），若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金
分割点D，则 的长为 米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】设 ， ，根据C，D是线段 的黄金分割点列式求解即可得到答案；
【详解】解：设 ， ，
∵C，D是线段 的黄金分割点， ，
∴ ， ，
解得： ， （不符合题意舍去）， ， （不符合题意舍去），
∴ ，
故答案为： ；
【点睛】本题考查黄金分割比例的运用，解一元二次方程，解题的关键是根据黄金分割比例列式．
4．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后
一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是 的黄金分割点（ ），若线
段 的长为10cm，则 的长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义，得 ，构建方程计算求解．
【详解】解：根据题意， ；∴
∴
故舍去；
∴
故答案为：
【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
操作一：如图1，将矩形纸片 沿过点A的直线折叠，使点B落在 上的点E处，折痕为 ，把纸
片展平，连接 ；
操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为 ，把纸片展平；
操作三：如图3，连接 ，并把 折到 上的 处，得到折痕 ，把纸片展平，连接 ．根据以上操作，直接写出图3中 的值：______；
(2)【问题解决】
请判断图3中四边形 的形状，并说明理由．
(3)【拓展应用】
我们知道：将一条线段 分割成长、短两条线段 ， ，若 ，则点P叫做线段 的黄金
分割点．
在以上探究过程中，已知矩形纸片 的宽 为 ，当点M是线段 的黄金分割点时，直接写出
的长．
【答案】(1)
(2)四边形 是菱形，理由见解析
(3) 或 ．
【分析】（1）由操作一和操作二可得 ，利用勾股定理求出 即可；
（2）由折叠可知 ，由平行线的性质可知 ，等量代换得到
，则可得 ，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论；
（3）首先求出 的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出 ，再分别求出对应的 的长即
可．
【详解】（1）解：由操作一可知 ，由操作二可知 ，
∴ ，
∵在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）四边形 是菱形，理由：如图3，由折叠可知： ， ，
∵在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形；
（3）解：∵ ，
∴由（1）可知 ， ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M是线段 的黄金分割点，
∴ 或 ，
即 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
即 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运
用各性质定理进行推理计算是解题的关键．【重难点训练】
1．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，直线 ，直线 分别交直线a，b，c于A，B，
C和D，E，F，且 ， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：D．
2．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着
“黄金分割”，如图， 为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为 ，那么 的长度是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比 ，根据题意，代值求解即可得到
答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键．
【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得 ，
，
，
故选：A．
3．（2022上·山西运城·九年级统考期中）宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金
矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形 ， 的中点E，F，
连接 ，以 为半径画弧，交 的延长线于点G，交 的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】本题主要考查了黄金分割，设正方形 的边长为 ，把 、 分别用含a的代数式
表示出来，再根据黄金分割的意义可得答案．解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与
长的比是的矩形叫做黄金矩形．
【解答】解：设正方形 的边长为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，矩形 中， ，
矩形 中， ，
∴黄金矩形是矩形 和矩形 ．
故选：B．
4．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如图，正方形 的边长为4， 为 边中点，
为 边上一点，连接 ， ，相交于点 ．若 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作
交 于 ，则 ，根据 为 边中点，得 ，再根据 ，得
，根据勾股定理得 ，所以 ．
【详解】解：如图，作 交 于 ，则 ，
为 边中点，
，
，
，
，
．
故选：A．
5．（2023上·浙江·九年级周测）如图， 中， ， ， ， 的平分线交
于点D，与 的垂线 相交于点E，过点D作 于点F，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先证明 ，得出 ，即可得
， ，再根据 ，可得 ．
【详解】∵ 平分 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
6．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如果两个相似三角形的最长边分别是 和
，它们的周长之差为 ，那么这两个三角形的周长之和是 ；
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可求解，熟知相似
三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：设小三角形的周长为 ，则大三角形的周长是 ，
依题意，得 ，
解得 ，
经检验： 是方程的解，
∴ ，
∴这两个三角形的周长之和 ，
故答案为： ．
7．（2023上·上海松江·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
，则 重心的坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念
作出重心，根据重心的性质得到 ，然后根据平行线分线段成比例定理计算即可．掌握重心到顶
点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴点O是 的中点，
如图：连接 ，作中线 交 于G，则点G是 的重心，
∴ ，
如图：作 于E， 于F，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴△ABC重心的坐标是 ，
故答案为 ．
8．（2023上·浙江金华·八年级统考期中）如图，在 中， ，点D，E，F分别在边 上，连结 ，已知点B和点F关于直线 对称．若 ，则 ，
.
【答案】 3
【分析】本题考查轴对称的性质、勾股定理的应用、三角形的中位线的判定及性质的综合应用，由B和点
F关于直线 对称，可得 由 ，得出 ，证明 ，由对称得 即
可证得 ，即可证得 是 的中位线，即可求得 ，在 与 ，由勾股定理可
得， ，即可求得 的值．
【详解】解：连接 ，如图，
∵点B和点F关于直线 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
又
∴
∴ 即
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 ，由勾股定理可得：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：3， ．
9．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在平行四边形 中，点 是 上的点， ，
直线 与 相交于点 ，交 的延长线于点 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设 ，则 ， ，根据
平行四边形的性质可得 ， ， ，根据平行线分线段成比例即可解决问题．
【详解】解：设 ，
由 ，则 ， ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，，
，
，
故答案为：3．
10．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，矩形 中， ， ．将矩形 分成
矩形 和矩形 ．
（1）若矩形 与矩形 相似，则 的长是 ；
（2）若矩形 与矩形 相似（两矩形全等的情况除外），则 的长是 ．
【答案】 2或8
【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键．
（1）由矩形的性质可知 ， ，设 ，则 ，由矩形
与矩形 相似，分当 时，当 时，两种情况求出满足要求的解即可；
（2）由矩形 与矩形 相似，可知 ，即 ，计算求出满足的解即可．
【详解】（1）解：∵矩形 ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵矩形 与矩形 相似，
∴当 时，即 ，解得 （舍去）；
当 时，即 ，解得 ；
综上， ，
故答案为： ；
（2）解：∵矩形 与矩形 相似，∴ ，即 ，整理得， ，解得 或 ，
∴ 的值为2或8；
故答案为：2或8．
11．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）已知线段 、 、 ，满足 ．且 ，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查比例线段及比例的性质，代数式求值．设 ，则 ， ， ，
构建方程即可解决问题．
【详解】解：设 ，
， ， ，
，
，解得 ，
．
12．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程
的两根互为相反数的条件是 ．
（2）已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的两倍，那么新矩
形的长是 ？
（3）阅读下列材料，完成探究与运用．
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米
与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程 ，…．
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
由 ，
从而可得： ，解得 ，经检验 是原方程的解，…．请用上述规律，解分式方程 ．
【答案】（1） ，且 ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据题意， 的两根为 ，结合两
根互为相反数，得到 ，且
，求解即可．
（2）根据题意新矩形的周长为 ，面积为 ，设长为x，则宽为 ，列出方
程 ，解方程即可．
（3）根据阅读学习的方法，得 ，转化为分式方程，整
理变形为整式方程计算即可．
【详解】（1）根据题意，设 的两根为 ，根据求根公式，得
，
∵两根互为相反数，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
解得 ，且 ，
故答案为： ，且 ．
（2）根据题意新矩形的周长为 ，面积为 ，设长为x，则宽为 ，
根据题意，得 ，
，
解方程得 （舍去）
故答案为： ．
（3）根据题意，得 ，
，
，
，
解方程得， ，经检验 都是原方程的根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的解法，等比性质的应用，分式方程的解法，
熟练掌握求根公式，分式方程的解法是解题的关键．
13．（2023上·上海·九年级校联考阶段练习）如图，正方形纸片 ．现对纸片做如下操作：第一步，
对折纸片，使边 与 重合，得到折痕 ；第二步，将 折叠，得到折痕 ；第三步，将
折叠，使顶点 落在折痕 上点 处．
(1)求证：点 恰为线段 的黄金分割点；
(2)现有矩形纸片 ，其中 ，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个 的角．要求写
出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明 角的位置，不需要证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键．
（1）先运用勾股定理得到 ，然后在 和 中，运用 解题计
算即可证明；
（2）先对折矩形，然后再折叠，使得点 落在第一次的折痕上，即可得到 角．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
设正方形 的边长为 ，则 ．
在 中， ，
则 ．
设 ，则 ，
在 和 中，
有 ， 即 ，
解得 ，
即点P是 的黄金分割点( )；
（2）方法如图所示:
第一步：对折矩形纸片ABCD,使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点 落在 上，落点为点 ，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时，
得到线段 .则14．（2023上·四川内江·九年级统考期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的
平面图可看作宽与长的比是 的矩形，我们将这种宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．如图①，
已知黄金矩形 的宽 ．
(1)黄金矩形 的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以 为边的正方形 ，得到新的矩形 ，猜想矩形
是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接 ，求点 到线段 的距离．
【答案】(1)
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据 ， ，即可求解；
（2）先求出 ，再求出 的值，即可得出结论；（3）连接 ， ，过D作 于点G，根据 ， ，得出 ，
再根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：矩形 为黄金矩形，理由是：
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
故矩形 为黄金矩形；
（3）解：连接 ， ，过D作 于点G
∵ ， ，
∴ ，在 中， ，
即 ，
则 ，
解得 ，
∴点D到线段 的距离为 ．
15．（2022上·山西运城·九年级统考期中）阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比
例．”进行了证明．
如图，在 中，D，E是边 ，且 ．求证： ．
证明：如图，分别连接 ．
设点E到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
， …
任务：
(1)请补全以上证明过程．
(2)应用以上结论解答问题：如图，在 中， ， ，求证： ．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理的证明与应用：
（1）根据两条平行线之间的距离处处相等，可得 ，根据 可得 ．
（2）直接利用平行线分线段成比例定理即可证明．
【详解】（1）证明：如图，分别连接 ．
设点E到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
则 ，
，
设点B到直线 的距离为m，
∵ ，
点C到直线 的距离与点B到直线 的距离相等，都等于m，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
