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专题26.2 反比例函数的图象与性质
一、知识点梳理
反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反
比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点( )也在此图象上，所以反比
例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所以两个分支都无
限接近但永远不能达到 轴和 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺
序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不
与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由 的符号决定的：当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，
当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而减小；
（2）如图2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内， 值随 值的增
大而增大；
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函
数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推
断出 的符号.
要点四：反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义过双曲线 ( ) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
过双曲线 ( ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
二、题型总结
【题型1判断（画）反比例函数图象】
【例1】．反比例函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】．反比例函数 的图像大致是图中的（ ）
A． B． C． D．【变式1-2】．已知函数 经过点 ．
(1)求 的值；
(2)完成下列表格，并在平面直角坐标系中画出该函数图像；
… ① －2 －1 1 2 4 …
… －1 －2 －4 4 ② 1 …
(3)利用图像直接求出当 时， 的取值范围是______．
【变式1-3】．经过实验获得两个变量 的一组对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 6 2.9 2 1.5 1.2 1
(1)在如图的直角坐标系中，画出相应函数的图象．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)当 时，求y的取值范围．【题型2判断反比例函数所在象限】
【例2】．反比例函数 的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【变式2-1】．反比例函数 的图象经过点（-2，3），则它的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
【变式2-2】．反比例函数 的图象经过点 (−3，5)，则该反比例函数图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限
【变式2-3】．下列关于反比例函数y＝ 的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
【题型3反比例函数图象与一次、二次函数图象结合】
【例3】．在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数
的图象大致可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．已知二次函数 的图像如图所示，则一次函数 和反比例函数的图像为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】．二次函数 的图象如图，则一次函数 与反比例函数 ．在同
一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【题型4根据反比例函数判断其性质】
【例4】．关于函数 的图像，下列说法错误的是（ ）
A．该函数图像是双曲线 B．经过点
C．在第二象限内，y随x的增大而增大 D．是中心对称图，且对称中心是坐标原点
【变式4-2】．对于函数 ，下列结论中，错误的是（ ）．A．当 时，y随x的增大而增大
B．当 时，y随x的增大而减小
C． 时的函数值小于 时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
【变式4-3】．关于函数 有如下结论：①函数图象一定经过点 和 ；②函数图象在第一、
三象限；③函数值 随 的增大而减小；④当 时， 的取值范围为 ；⑤函数 的图象与直
线 的两个交点关于原点对称，其中正确的有个( )
A． B． C． D．
【题型5根据反比例函数图象性质求参数】
【例5】．已知函数 ，当 时， 随 增大而减小，则关于 的方程 的根的情况是
( )
A．有两个正根 B．有一个正根一个负根
C．有两个负根 D．没有实根
【变式5-1】．在反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，则k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】．已知 ， 两点在双曲线 上，且 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】．已知反比例函数 （m为常数）若在其图像的每个分支上，y随x的增大而减小，
则m的取值范围为_______．
【题型6 k的几何意义】
【例6】．如图，点 在反比例函数 的图像上， 轴于点 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．不能确定
【变式6-1】．如图，已知点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ，点 在 轴的负
半轴上，若 ，则 的值为__________．
【变式6-1】．如图，点 、 是双曲线 上的点，分别过点 、 是作 轴和 轴的垂线段，若图中
阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______________．
【变式6-3】．如图，点A，D分别在函数 和 的图象上，点B，C在x轴上，若四边形
为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是__________．三、课后练习
1．已知反比例函数y＝ 的图象经过点P（﹣2021，2022），则这个函数的图象位于（ ）
A．一三象限 B．二三象限 C．三四象限 D．二四象限
2．已知反比例函数 的图象在第二、四象限内，则 的值不可能是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
3．关于函数 ，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的图象在第二、四象限 B．函数的图象与坐标轴没有交点
C．y的值随x值的增大而减小 D．函数的图象关于原点对称
4．点A ，B ，C 都在反比例函数 的图象上，且 ，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，过反比例函数y＝ （x＞0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
连接OA、OB，设AC与OB的交点为E， AOE与梯形ECDB的面积分别为 、 ，比较它们的大小，可
△
得（ ）A． ＞ B． ＝ C． ＜ D．大小关系不能确定
6．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内
的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝ 在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则 的值是______．
9．已知反比例函数 的图象在第二、第四象限，则 的取值范围是______．
10．如图，点A是反比例函数 图像上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边
形ABOC的面积为______．11．如图，O是坐标原点，点A在函数 的图象上， 轴于B点， 的面积为4，则k
的值为____________．
12．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝ 的图象与性
质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图．
列表：下表是x与y的几组对应值，请填出表格中的空余部分即 ：
x … －1 0 1 3 4 5 …
－
y … －1 2 ▲ …
2
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察图象，写出该函数的两条性质：① ；② ．
(3)函数y＝ 的图象经过 的变化或得到y＝ 的图，这是因为 ．
13．已知反比例函数y＝ （m为常数，且m≠8）．
(1)若函数图象经过点A（－1，6），求m的值；
(2)若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围；
(3)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围
14．如图，点 是函数 图像上的任意一点，过点 作AB x轴，交另一个函数
的图像于点 ．
(1)若 ，则 ________．
(2)当 时，若点 的横坐标是1，则线段 ________．
(3)若无论点 在何处，函数 图像上总存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，
求 的值．
15．如图，在平面直角坐标 中，直线 轴，垂足为 ，反比例函数 的图象与直线 交
于点 ， 的面积为 ．(1)求反比例函数的表达式；
(2)在 轴正半轴上取一点 ，使 ，求直线 的函数表达式．
