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专题26.1 反比例函数
一、知识梳理
反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反
比例.即 ，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.
一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是
函数，自变量 的取值范围是不等于0的一切实数.
要点诠释：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所
以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函数图象与
轴、 轴无交点.
（2） ( )可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是－1，
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数
的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.
二、题型总结
【题型1用反比例函数表示数量关系】
【例1】矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等量关系“长=矩形的面积 宽”，把相关数值代入即可求解．
【详解】解；由题意得：
．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的面积的灵活应用，关键是找到所求量的等量关系．
【变式1-1】下列说法正确的是( )
A．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例
B．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例
C．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例
D．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例
【答案】B
【分析】利用正比、反比的性质进行判断即可．
【详解】解：面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例，故A错误，B正确；
周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成一次函数，故C、D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了正比、反比的性质，平行四边形的面积公式，等腰三角形的腰、底、周长的关系，解
决本题的关键是明确正比与反比的意义．
【变式1-2】下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ）．
A．正方形的边长和面积 B．圆的周长一定，它的直径和圆周率
C．速度一定，路程和时间 D．总价一定，单价和数量
【答案】D
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．
如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可．
【详解】A．正方形的面积÷正方形的边长=正方形的边长，没有定值，故正方形的边长和面积不成比例，
不符合题意；
B．∵周长（定值）=直径×圆周率（定值），故直径也为定值，故圆的周长一定，它的直径和圆周率不成
比例，不符合题意；
C．∵路程÷时间=速度（定值），是比值为定值，符合正比例的意义，故速度一定，路程和时间成正比例
关系，不符合题意；
D．∵单价×数量=总价（一定），是乘积为定值，符合反比例的意义，故总价一定，单价和数量成反比例关系，符合题意；
故选D．
【点睛】本题属于辨识正、反比例的量，就看这两个量是对应比值一定，还是对应乘积一定，再做判断．
【变式1-3】小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度
v（字/分）之间的函数表达式应为 ______（ ）．
【答案】
【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．
【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度，
可得t （v＞0）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的
时间＝录入总量÷录入速度．
【题型2根据定义判断是否是反比例函数】
【例2】在下列表达式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
① ；②y=3－6x；③ ；④ （m是常数，m≠0）．
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是 （k≠0），也可化为xy＝k（k≠0），据此即
可作出判断．
【详解】解：① 符合xy＝k（k≠0），故为反比例函数，故本选项正确；
②y＝3﹣6x不符合反比例函数的定义，不是反比例函数，故本选项错误；
③ 符合 （k≠0），是反比例函数，故本选项正确；
④ （m是常数，m≠0）没有自变量，不是反比例函数，故本选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解反比例函数的不同表达式是解题的关键．
【变式2-1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、y是x的反比例函数，故本选项符合题意；
B、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
C、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，注意：形如y= （k为常数，k≠0）的形式，叫反比例函数．
【变式2-2】下列说法正确的是（ ）
A．函数 是正比例函数， 比例系数是3
B．函数 是反比例函数，比例系数是
C．函数 是反比例函数，比例系数是5
D．函数 是反比例函数，比例系数是
【答案】D
【分析】利用正比函数、反比例函数的定义逐项判断即可得解．
【详解】A．函数 是反比例函数，故A项错误；
B．函数 是一次函数，故B项错误；
C．函数 是反比例函数，比例系数是 ，故C项错误；
C．函数 是反比例函数，比例系数是 ，故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的知识．熟悉正比函数、反比例函数的定义是解答本题
的关键．
【变式2-3】下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】D符合反比例函数的定义
【题型3根据反比例定义求参数】
【例3】如果函数 反比例函数，那么 的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义，即y＝ （k≠0），只需令 、m-1≠0即可．
【详解】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，
解得： ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝ （k≠0）转化为y＝kx−1（k≠0）的形式．
【变式3-1】若函数 是反比例函数，则m的值为 _____．
【答案】0
【分析】根据反比例函数的定义进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
且m+1≠0，
∴m＝0或m＝-1且m≠﹣1，
∴m＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义：y=kx-1（k≠0）的形式是解题的关键．
【变式3-2】若y＝ （m是常数）是反比例函数，则m＝________．
【答案】2
【分析】根据反比例函数的定义得到m-1=1，即可求出m．
【详解】解：∵y＝ （m是常数）是反比例函数，
∴m-1=1，
解得m=2，
故答案为：2．【点睛】此题考查了反比例函数的定义：形如 （k是常数，且 ）的函数是反比例函数．
【变式3-3】若 是反比例函数，则m的值为___________；
【答案】-1
【分析】根据反比例函数的定义得到m−1≠0且|m|＝1，然后解不等式和方程即可求出满足条件的m的值．
【详解】解：根据题意得m−1≠0且|m|＝1，
解得m＝−1．
故答案为：-1
【点睛】本题考查了反比例函数：函数y＝ （k＞0）称为y与x的反比例函数．
【题型4 求反比例函数值】
【例4】已知 在双曲线 上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把点 代入双曲线 ，求出 的值，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解： 点 在双曲线 上，
．
A、 ， 此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
B、 ， 此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
C、 ， 此点不在双曲线上，故本选项不符合题意；
D. ， 此点在双曲线上，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函
数的解析式是解答此题的关键．
【变式4-1】下列坐标对应的点在反比例函数 的图象上的是( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．
【详解】解：∵1×（﹣4）＝﹣4，4×1＝4，8×2＝16，2×8＝16，
∴点（1，﹣4），（8，2），（2，8）不在反比例函数y＝ 图象上，点（4，1）在反比例函数y＝ 图象
上．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道反比例函数 （k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
【变式4-2】已知反比例函数 ，当x=1时，y=__________．
【答案】－6
【分析】把x=1代入此反比例函数的解析式 ，求出y的对应值即可．
【详解】解：把x=1代入 得， ，
故答案为：-6
【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
【变式4-3】在反比例函数 中，当x＝1时，y的值为 ______．
【答案】
【分析】把x=1代入函数解析式，即可求出y．
【详解】解：当x=1时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，能理解函数图象上点的坐标特征
是解此题的关键．
【题型5 由反比例函数值求自变量】
【例5】若点A(t，2)在反比例函数 的图象上，则t的值为_____．
【答案】 ##-0.5【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出t的值．
【详解】将点A(t，2)代入 ，得： ，
解得： ．
经检验 符合题意．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．掌握函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关
键．
【变式5-1】若反比例函数y＝ 经过（a，－2），则a＝________．
【答案】
【分析】将 代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：由题意 ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数图象及其定义，解题关键是牢记反比例函数图象上的点的横纵坐标分别对
应解析式中的自变量与函数值．
【变式5-2】在平面直角坐标系xOy中，点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 的值为
______．
【答案】
【分析】把 ， 代入反比例函数 ，求出m、n的值即可．
【详解】∵点 ， 都在反比例函数 的图象上
∴ ，解得
∴
故答案为： ．【点睛】本题考查反比例函数解析式，把坐标代入解析式是解题的关键．
【变式5-3】已知反比例函数 的图像经过点P（a-1，2），则a=______．
【答案】﹣3
【分析】直接将点P 代入 求出a即可．
【详解】∵反比例函数 的图象经过点P ，
∴直接将点P 代入 ，则2-2a=8，解得a=－3．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本
题的关键，难度较小．
三、课后练习
一、单选题
1．如果等腰三角形的面积为6，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式得出 ，进而得出答案．
【详解】解： 等腰三角形的面积为6，底边长为 ，底边上的高为 ，
，
与 的函数关系式为： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，解题的关键是根据已知得出 ．
2．下列点在反比例数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】反比例上的点坐标符合解析式 ，即 ，分别把点A、B、C、D坐标代入解析式中即可解
题．【详解】解：反比例上的点坐标符合解析式 ，即 ， ，
仅A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．当三角形的面积S一定时，三角形的底a是底边上高h的（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不确定
【答案】B
【分析】根据题意列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断即可
【详解】解：∵ ，三角形的面积S一定；
∴三角形的底a是底边上高h的反比例函数；
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式 ．
4．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可.形如：y＝ ( )或 或 的函数是反比例
函数．
【详解】A. ，是反比例函数，不符合题意；
B. ，是反比例函数，不符合题意；
C. ，不是反比例函数，符合题意；
D. ，是反比例函数，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．
5．如果双曲线 经过点 ，那么此双曲线也一定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】双曲线 经过点 ，可知点的横纵坐标的积为k=-6，根据反比例函数图象上的点的坐标
的特点可知双曲线经过的点．
【详解】解： 双曲线 经过点 ，
∴2×(-3)=-6，
又∵(-3)×2=-6，
∴双曲线也经过点（-3，2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．
反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
6．已知点A（x，﹣1），B（x，2），C（x，3）都在反比例函数y 的图象上，那么x，x，x 的大
1 2 3 1 2 3
小关系是（ ）
A．x＞x＞x B．x＞x＞x C．x＞x＞x D．x＞x＞x
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
【答案】B
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【详解】解：∵点A（x，﹣1），B（x，2），C（x，3）都在反比例函数y 的图象上，
1 2 3
∴x＝﹣1÷（﹣1）＝1，x＝﹣1÷2 ，x＝﹣1÷3 ．
1 2 3
∴x＞x＞x，
1 3 2
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握根据函数析式，求点坐标．
二、填空题
7．在函数 中，y是x的________函数，其中比例系数为________．
【答案】 反比例
【分析】根据反比例函数的定义解答即可．
【详解】解：在函数 中，y是x的反比例函数，其中比例系数为 ．
故答案为：反比例； ．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．8．已知反比例函数 ，当 时， ，则比例系数常数k的值为______．
【答案】
【分析】将 时， ，代入解析式，根据反比例数的定义即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 ，当 时， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例数的定义，掌握反比例数的定义是解题的关键．
9．若函数 是反比例函数，则 的值是_______．
【答案】0
【分析】根据反比例函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵函数 是反比例函数，
∴ 且 ，
解得：m=0．
故答案为：0
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握形如 或 的形式的函
数关系，称为反比例函数是解题的关键．
10．已知点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是_______
（用“<”号连接）
【答案】y＜y＜y
3 1 2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y、y、y 的值，比较后即可得出结论．
1 2 3
【详解】解：∵点 都在反比例函数 的图象上，
∴y＝ ，y＝2，y＝ ，
1 2 3
又∵ ＜ ＜2，∴y＜y＜y，
3 1 2
故答案为：y＜y＜y．
3 1 2
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y、y、y
1 2 3
的值是解题的关键．
11．已知y与x-2成反比例，且比例系数为k≠0，若x=3时，y=4，则k=_____．
【答案】4
【分析】成反比例的两个数的乘积是定值，把x=3，y=4代入即可求得k的值．
【详解】解：由题意知k=y（x-2）
∵x=3时，y=4，
∴k=4×（3-2）
=4．
故答案为：4
【点睛】用待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的一般形式为y= （k≠0）．可变形为xy=k.代入
数据计算．
三、解答题
12．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
（1）一个游泳池的容积为 ，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位： ）的
变化而变化；
（2）某长方体的体积为 ，长方体的高h（单位： ）随底面积S（单位： ）的变化而变化；
（3）一个物体重 ，物体对地面的压强p（单位： ）随物体与地面的接触面积S（单位： ）的变
化而变化．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可；
（2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可；
（3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可．
【详解】解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间 ；
（2）根据1000=Sh得：长方体的高 ；（3）根据题意，物体对地面的压强 ．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键．
13．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)
(2)
(3)
(4)xy=1
(5)
【答案】(1)是， ；
(2)是， ；
(3)否；
(4)是， （可化为 ）；
(5)是，
【分析】利用反比例函数的定义判定即可．
（1）
解： 是反比例函数，比例系数 ；
（2）
解： 是反比例函数，比例系数 ；
（3）
解： 不是反比例函数；
（4）
解：∵xy=1，
∴ ，
∴y是x的反比例函数，比例系数 ；
（5）解： 是反比例函数；比例系数 ；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数的定义，反比例函数解析式的
一般式y= （k≠0）．
14．如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为 ，设与墙垂直的边
长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案 或 ，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x
= 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．
（1）
解：根据题意得： ，
∴y与x的函数关系式为： ，
故答案为： ；
（2）
解：当x= 5时， ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时， ，
∵ ，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数
关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．
15．当m取何值时， 是关于x的反比例函数？
【答案】-1
【分析】根据反比例函数的定义即可求解．
【详解】∵ 是关于x的反比例函数，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键要注意x的指数为-1，系数不等于0要同时成立．
16．已知 与 成反比，且当 时， ，则当 时， 值为多少？
【答案】-12
【分析】根据题意，设 ，进而求得 ，再根据 的值求得 的值．
【详解】解：设 ，当 时， ，
所以 ，则 ＝－24，
所以有 ．
当 时， ．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，根据题意求得 是解题的关键．
17．已知y与x的函数解析式是y＝ ，
（1）求当x＝4时，函数y的值；
（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．
【答案】（1）－3；（2）x＝5
【分析】（1）把x＝4代入解析式，即可求得y的值；（2）y＝−2代入解析式，即可求得自变量x的值．
【详解】解：（1）当x＝4时，函数y＝ ；
（2）当y＝﹣2时，则﹣2＝ ，
解得x＝5．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象上点的坐标适合解析式是解题的关
键．
18．已知y与 成反比例，并且当 时， ．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当 时，求y的值；
（3）当 时，求x的值．
【答案】（1） ；（2）y=16；（3）x= ．
【分析】（1）根据反比例函数的定义设 ，将x、y值代入求解k即可；
（2）将x=1.5代入（1）中解析式求解即可；
（3）将y=6代入（1）中解析式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，设y关于x的函数解析式 ，
将 ， 代入，得： ，
解得：k=36，
∴y关于x的函数解析式为 ；
（2）当 时， ；
（3）当y=6时，由 得： ，解得： ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、平方根，掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，
并会将已知量代入函数解析式求出未知量的值是解答的关键．
