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专题 28.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
【类型一】锐角三角函数
【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析
1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台
起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， 垂直地面，
垂足为点D， ，垂足为点C．设 ，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在 中， 是斜边 上的高，
，则下列比值中等于 的是（ ）．
A． B． C． D．
【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值
3．（2022·浙江宁波·三模）如图，将 ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，
点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）A． B． C．2 D．
4．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）如图，在 中，
，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长
5．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在 中， ，若
，则 的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
6．（2022·吉林·长春市赫行实验学校一模）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的
距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点C，测得 米， ，则小河
宽 为（ ）米A． B． C． D．
【类型二】特殊锐角三角函数
【考点一】特殊锐角➽➸函数值
7．（2016·江苏无锡·中考真题）sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东深圳·中考真题）计算 的值为（ ）
A． B．0 C． D．
【考点二】函数值➽➸特殊锐角
9．（2022·河南焦作·模拟预测）王明同学遇到了这样一道题， ，则
锐角 的度数为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
10．（2021·江苏无锡·一模）已知 是锐角，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式
11．（2021·山东泰安·模拟预测）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．12．（2021·山东省日照市实验中学二模）计算（tan30°）﹣1﹣| ﹣2|＋ ＋（
）0的结果是（ ）
A．6 B．12 C．2＋ D．2＋2
【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状
13．（2021·贵州黔西·模拟预测）在 中，若 ， 都是锐角，且 ，
，则 的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
14．（2020·山东德州·二模）如果△ABC中，sinA=cosB= ，则下列最确切的结论是
（ ）
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
【类型三】解直角三角形
【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形
15．（2022·陕西·中考真题）如图， 是 的高，若 ， ，
则边 的长为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于 AD的长
为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为
（ ）
A． B．3 C．2 D．
【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之
17．（2019·河北石家庄·二模）在东西方向的海岸线上有 ， 两个港口，甲货船从
港沿东北方向以 海里 时的速度出发，同时乙货船从 港口沿北偏西 方向出发，
后相遇在点 处，如图所示．问 港与 港相距（ ）海里．
A． B． C． D．
18．（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到
缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心 处水平向前走 米到 点处，再沿
着坡度为 的斜坡 走一段距离到达 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在 点观
察到观景塔顶端的仰角为 再往前沿水平方向走 米到 处，观察到观景塔顶端的仰角
是 ，则观景塔的高度 为（ ）（tan22°≈0.4）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之
19．（2019·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建
设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯 ，扶梯总长为 米．但这样
坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建 、 两段扶梯，并减
缓各扶梯的坡度，其中扶梯 和平台 形成的 为135°，从 点看 点的仰角为
36.5°， 段扶梯长 米，则 段扶梯长度约为（ ）米（参考数据： ，
， ）
A．43 B．45 C．47 D．49
20．（2018·河北·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为
60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地
拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9 cm2，则矩形ABCD的周长为（ ）A．18cm B． cm C．（ +6）cm D．（ +6）cm
【类型四】解直角三角形的应用
【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角
21．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点
A处测得树顶C的仰角为 ，在点B处测得树顶C的仰角为 ，且A，B，D三点在同
一直线上，若 ，则这棵树 的高度是（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如
图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为
的 处测得试验田右侧出界 处俯角为 ，无人机垂直下降 至 处，又测得试
验田左侧边界 处俯角为 ，则 ， 之间的距离为（参考数据： ，
， ， ，结果保留整数）（ ）
A． B．
C． D．
【考点二】解直角三角形➽➸方位角
23．（2022·河北·模拟预测）从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛
C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C海岛，则C海岛到观测点A的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里
24．（2022·山东·济南市市中区泉秀学校一模）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S
在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它
的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（ ）
A．15 海里 B．（15 ﹣15）海里
C．（15 ﹣15 ）海里 D．15 海里
【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比
25．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高 的天桥，已知天桥斜
面 的坡度为 ，则斜坡 的长度为（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶
梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（）（ ）．
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【考点四】解直角三角形➽➸其他问题
27．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，
AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
28．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的
大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树
AB的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析
29．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪
挡住去路，采用计算方法，在 点测得古树顶的仰角为 ，向前走了100米到 点，测得
古树顶的仰角为 ，则古树的高度为________米．
30．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 ，AB＝10，则∠B
＝_____．
【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值
31．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A
为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin∠BAC的值等于
_____．
32．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则
cosB＝_____．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长
33．（2022·广东深圳·二模）如图，直角 中， ，根据作图痕迹，若
， ，则 ________cm．
34．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形 中， ，垂足为点 ．
若 ， ，则 的长为______．
【类型二】特殊锐角三角函数
【考点一】特殊锐角➽➸函数值
35．（2021·西藏·中考真题）计算：（π﹣3）0＋（﹣ ）﹣2﹣4sin30°＝___．
36．（2020·湖南湘潭·中考真题）计算： ________．
【考点二】函数值➽➸特殊锐角
37．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则∠α等于_____________度．
38．（2020·湖北·武汉二中广雅中学三模）若sinA＝ ，则tanA＝_____．
【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式39．（2022·重庆·模拟预测）计算：sin45°+ ＝_____．
40．（2022·湖北荆门·一模）计算： ________．
【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状
41．（2020·江苏淮安·三模）在 中,若 ，则 是
_____三角形．
42．（2019·四川自贡·一模）在 ABC中，（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝
△
_____．
【类型三】解直角三角形
【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形
43．（2019·辽宁大连·中考真题）如图， 是等边三角形，延长 到点 ，使
，连接 ．若 ，则 的长为_____．
44．（2015·广西玉林·中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
点O分斜边AB为BO：OA=1： ，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，
则∠AQC=___________．
【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之45．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾
斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高
度 ___________m．（ 取值1.732，结果精确到0.1米）
46．（2020·安徽阜阳·二模）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个
游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千
米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）
【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之
47．（2021·湖北湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人
机的飞行速度为 ，从A处沿水平方向飞行至B处需 ，同时在地面C处分别测得A
处的仰角为 ，B处的仰角为 ．则这架无人机的飞行高度大约是_______ （
，结果保留整数）48．（2019·辽宁辽阳·中考真题）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，
他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点 处，如图所示，直线 表示公路，
一辆小汽车由公路上的 处向 处匀速行驶，用时5秒，经测量，点 在点 北偏东45°方
向上，点 在点 北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_____（填
“超速”或“没有超速”）（参考数据： ）
【类型四】解直角三角形的应用
【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角
49．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知
无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角
为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据： ，
）
50．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，
佳佳在点 处测得石碑顶 点的仰角为 ，她朝石碑前行5米到达点 处，又测得石顶
点的仰角为 ，那么石碑的高度 的长 ________米．（结果保留根号）【考点二】解直角三角形➽➸方位角
51．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔 的南偏东
方向，距离灯塔30海里的 处，它沿北偏东 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的
北偏东 方向上的 处，此时与灯塔 的距离约为________海里．（参考数据：
， ， ）
52．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航
行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小
时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼
岛A的距离最近．
【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比53．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝
，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．
54．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则
前进100米所上升的高度为________米．
【考点四】解直角三角形➽➸其他问题
55．（2022·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面
的夹角 ，已知窗户的高度 ，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的
宽 ，则 的长度为______（结果精确到 ）．
56．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意
图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结
果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）参考答案
1．D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
解：∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜
边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
2．D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A． =cosA，不符合题意；
B． =tanA，不符合题意；
C． =cos∠DBC=cosA，不符合题意；
D． =sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是
解题关键．
3．D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
解：连接BD，如图所示：
根据网格特点可知， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝ ＝ ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边
比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
4．C
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．解：∵∠C=90°， ，
∴ ，
，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB与AC的关系，再
利用正弦函数的定义．
5．C
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
解：∵sinB= =0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC= = ，
故选C.
【点拨】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长.
6．C
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
解：∵PA⊥PB，
∴∠APC=90°，
∵PC=50米，∠PCA=44°，
∴tan44°= ，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50•tan44°米．
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问
题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根
据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，
再转化得到实际问题的答案．7．A
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
解：sin30°=
故答案为：A．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：
故选C．
【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数
是解题关键．
9．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
解：∵ tan（α+10°）=1，
∴tan（α+10°）= ，
∵α为锐角，
∴α+10°=30°，α=20°．
故选C．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
10．A
【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数的定义，即可得到答案．
解：∵ 是锐角，
∴ =30°，
故选A．
【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
11．A
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解：原式
．
故选： ．
【点拨】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、
最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．
12．D
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代
数意义，以及立方根定义计算即可求出值．
解：原式＝ ﹣（2﹣ ）+3+1
＝ ﹣2+ +3+1
＝2 +2．
故选：D．
【点拨】本题考查实数的运算，掌握正确的运算顺序是解决问题的关键.
13．D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断 ， ，从而可求出 ，
即证明 的形状是直角三角形．
解：∵ ， 都是锐角，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的形状是直角三角形．
故选D．
【点拨】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记
特殊角的三角函数值是解题关键．
14．C解：∵sinA=cosB= ，
∴∠A=∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：C．
15．D
【分析】先解直角 求出AD，再在直角 中应用勾股定理即可求出AB．
解：∵ ，
∴ ，
∵直角 中， ，
∴ ，
∴直角 中，由勾股定理可得， ．
故选D．
【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角
函数的意义是解题的关键．
16．A
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得
，
进而问题可求解．
解：由题意得：MN垂直平分AD， ，
∴ ，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴ ，
∴AD=4，AF=2， ，
∴ ；
故选A．
【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．
17．B
【分析】先作 于点 ，根据甲货船从 港沿东北的方向以5海里 小时的速
度出发，求出 和 ，从而得出 的值，得出 的值，即可求出答案．
解：作 于点 ，
甲货船从 港沿东北的方向以5海里 小时的速度出发，
， ，
，
乙货船从 港沿西北方向出发，
，
，
，
答： 港与 港相距 海里，
故选： ．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，解题的关键是从实际问题中
整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海
岸线上有 ， 两个港口.
18．A
【分析】作 交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是
矩形,根据AB的坡度，设 表示出
在 中， 在 中， 根据
列出式子，求出 的值，即可求解.
解：如图，作 交DA的延长线于N，延长CB交DE于M，则四边形DMBN是矩形,
可以假设
则，
在 中，
在 中，
解得：
答：观景塔的高度DE为21米.
故选A.
【点拨】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.
19．B
【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解.
解：作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示：
∵∠ACD=135°
∴∠ACN=45°
在Rt△ACN中，AC= ，∠ACN=45°∴AN=CN=18
在Rt△ABH中，AB= ，AH：BH=3:2，
设
∴
解得 或 （不符合题意，舍去）
∴AH=45
∴HN=AH-AN=45-18=27
∵四边形DGHN是矩形
∴DG=HN=27
在Rt△DEG中，
∴
故选：B.
【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.
20．D
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=x cm，则AD=3x,则 ,然后利用
AB•AD= 求出x的值，即可得到AD,AB的长度，则周长可求．
解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，
∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，
∴设AE=xcm，则AD=3x，
∵∠AEB=120°，
∴∠EAB=30°，
∴AB=2AF= ，∵六角星纸板的面积为 cm2 ，
∴AB•AD= ，即 ，
解得x= ，
∴AD= ，AB=3，
∴矩形ABCD的周长= cm．
故选:D．
【点拨】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数
值，利用方程的思想是解题的关键．
21．A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD
中，用∠B的正切函数值即可求解．
解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ，
即： ，
解得 ，
故选A．
【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题
的关键．
22．C
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根
据三角函数可进行求解．
解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴ ，∴ ， ，
∴ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
23．D
【分析】利用平行线性质得出：∠ABD=∠EAB=60°，进而得出∠ABC=∠BAC=20°，得
出BC=AC，进而得出答案．
解：由题意可得出：∠EAC=80°，∠EAB=60°，∠DBC=40°，BC=40×2=80（海里），
∴∠BAC=80°-60°=20°，∠BCA=60°，
∵AE∥BD，
∴∠ABD=∠EAB=60°，
∵∠DBC=40°，
∴∠ABC=60°-40°=20°，
∴∠ABC=∠BAC=20°，
∴BC=AC=80（海里）．
∴C海岛到观测点A的距离是80海里．
故选D
.
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．
24．B
【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，
设CS＝x海里，则 x+ x+2x＝AB，可得：x＝ ，可知AS＝（15 ﹣15）海里．
解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，∴AS＝DS，
∴∠CDS＝∠CAS＝30°，
∵∠ABS＝15°，
∴∠DSB＝15°，
∴SD＝BD，
设CS＝x海里，
在Rt△ASC中，∠CAS＝30°，
∴AC＝ x（海里），AS＝DS＝BD＝2x（海里），
∵AB＝30海里，
∴ x+ x+2x＝30，
解得：x＝ ，
∴AS＝（15 ﹣15）海里．
故选：B．
【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．
25．A
【分析】直接利用坡度的定义得出 的长，再利用勾股定理得出 的长．
解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
则 ．
故选：A．
【点拨】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
26．D
【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．
解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故选：D．
【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而
完成求解．
27．A
【分析】在Rt ACB中，利用正弦定义，sinα= ，代入AB值即可求解．
△
解：在Rt ACB中，∠ACB=90°，
△
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米），
故选：A．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
28．A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求
解．
解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
△在Rt CDA中，
AD=C△D×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）．
故选：A．
【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，
另外，利用三角函数时要注意各边相对．
29．
【分析】由正切的定义分别确定 的表达式，进而联立成方程组，求解方程
组即可得到答案．
解：如图，CD为树高，点C为树顶，则 ，BD=AD-100
∴依题意，有
由①得
将③代入②，解得
故答案为： ．
【点拨】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列
出方程组是解题的关键．
30．60°【分析】利用正弦定义计算即可．
解：如图，
∵sinB＝ ，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．
31．
【分析】利用CD AB，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，可得
sin∠ACD= = ，从而可得答案．
解：如图：
∵CD AB，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵同圆的半径相等，
∴AC＝AB＝3．
在 中，sin∠ACD＝ ．
∴sin∠BAC＝sin∠ACD＝ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．
32．
【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝ ．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝ ＝ ，
∴cosB＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若
∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键．
33．
【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知
DE是线段AB的垂直平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案．
解：∵∠C=90°，AC=3cm， ，
∴ ，
∴BC=4cm，
∴ ，
由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂
直平分线的尺规作图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键．
34．3
【分析】在 中，由正弦定义解得 ，再由勾股定理解得DE的长，根
据同角的余角相等，得到 ，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
解：在 中，
在矩形 中，
故答案为：3．
【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌
握相关知识是解题关键．
35．3
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分
别化简得出答案．
解：原式＝1＋4﹣4×
＝1＋4﹣2
＝3．
故答案为：3．【点拨】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性
质，正确化简各数是解题关键．
36．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
37．75
【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．
解：∵sin（α+15°）=1，
∴α+15°=90°，
∴α=75°，
故答案为：75．
【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
38． ．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数，然后求出tanA的值．
解：∵sinA＝ ，
∴∠A＝30°，
则tanA＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是检查学生能否熟练
地运用进行计算．39． 4##
【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
解：sin45°+ ，
故答案为： 4．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和负整数指数幂，相关公式有： ，
．
40．
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性
质即可求解．
解：原式
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负
指数幂的性质．
41．等腰
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的
特殊值求出∠A和∠B的角度，即可得出答案.
解：∵
∴ ，∴∠A=30°，∠B=30°
∴△ABC是等腰三角形
故答案为等腰.
【点拨】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值.
42．75°．
【分析】先根据非负数的性质确定cosA= ，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．
解：∵（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA﹣ ＝0，tanB﹣1＝0，
则cosA＝ ，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为75°．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理
43．
【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得．
解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证
得△ABD是含30°角的直角三角形是解题的关键．44．105°．
【分析】连接OQ，由旋转的性质可知： AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，
∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系△，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出
结果．
解：连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知： AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，△∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1： ，
设BO=1，OA= ，
∴AQ=1，则tan∠AQO= = ，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．
故答案为105°．
45．3.5
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到 ，根据三角
函数的定义即可得到结论．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ （m）．
故答案为：3.5.
【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC＝BC，需要熟练掌握
三角形函数定义，此题难度不大．
46．（2 +2）
【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在
Rt△BCD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离．
解：如图，作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC•sin∠CAD＝4× ＝2（km），AD＝AC•cos30°＝4× ＝2 （km），
∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝2（km），
∴AB＝AD+BD＝2 +2（km），
故答案是：（2 +2）．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，
求得CD的长是关键．
47．20
【分析】过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，先解直角三角形求出 的长，从而可得 ，再根据直角三角形的性质求出 的长即可得．
解：如图，过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
即这架无人机的飞行高度大约是 ，
故答案为：20．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关
键．
48．没有超速
【分析】作 ⊥直线 于 ，根据 求出BC，进而求出小汽车的速度，
即可进行判断.
解：作 ⊥直线 于 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
则 ，∴ （米），
小汽车的速度为： （千米/小时），
∵52.704千米/小时＜速60千米/小时，
∴小汽车没有超速，
故答案为没有超速．
【点拨】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
49．14．
【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用
40去减即可．
解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点
A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，
（米），
（米）；
故答案为：14．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，
准确进行计算．
50．
【分析】先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD计算即可
解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°∴∠CAD=30°
∴△ADC是等腰三角形，
∴DA=DC又DC=5米
故AD=5米
在Rt△ADB中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD= 米
故答案为：
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函
数值是关键
51．50
【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出
∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．
解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴ ，
∴BP= ，
故答案为：50．
【点拨】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．
52．50
【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段
CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性
质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD= AC=50海里．
解：过点A作AD⊥BC于D，
根据题意得，∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°=∠ABC．
∴CA=CB．
∵CB=50×2=100（海里），
∴CA=100（海里）．
在Rt△ADC中，∠ACD=60°，
∴ （海里）．
故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．
故答案为：50
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，点到
直线的距离垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，
53．50
【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．
解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝ ，
∴ ，
∵BC＝30m，∴ ，
解得：AB=50m，
即迎水坡面AB的长度为50m．
故答案为：50
【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关
键．
54．
【分析】根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC= ，列出方
程，进而即可求解．
解：设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x= ，
故答案为： ．
【点拨】u本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，
是解题的关键．
55．4.4m##4.4米
【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得
，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵ ，
∴ ，
∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴ ，
即 的长度为4.4m．
故答案为：4.4m.
【点拨】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解
题的关键．
56．326
【分析】根据正切的定义即可求出BC．
解：在Rt ABC中，AC=40米，∠A=83°，
△
，
∴ （米）
故答案为：326
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
