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专题 29.1 投影及三视图
1.认识投影和视图的基本概念和基本性质，懂得运用投影知识解决有关的实际问题；
2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析
立体图形和平面图形之间的联系
一、平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，
有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，像这样的光线照射在物体上，所形成的投影
叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身
的长度.
2.物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在
变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影
长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不
同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
二、中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中
心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪
的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的
物体它的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，
影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一
条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方
向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
三、平行投影与中心投影的区别与联系
1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投
影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，
灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯
光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光
的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的
影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同
方向.
四、正投影
正投影的定义：
如图所示，图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平
行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，
我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
（1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段 平行于投影面 时，它的正投影是线段 ，与线段 的长相等；
②线段 倾斜于投影面 时，它的正投影是线段 ，长小于线段 的长；
③线段 垂直于投影面 时，它的正投影是一个点.
（2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
①当平面图形平行于投影面 时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平
面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面 时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，
是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面 时，它的正投影是直线或直线的一部分.
（3）立体图形的正投影：物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投
影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
五、三视图
1.三视图的概念
（1）从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
（2）正面、水平面和侧面：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下
面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.
（3）三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，
叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察
物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.三视图之间的关系
（1）位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图（1）所示.
（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与
俯视图的宽相等的原则.如图（2）所示.
注意：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到
各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和
宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
3.画几何体的三视图
画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
（1）确定主视图的位置，画出主视图；
（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
（3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
4.由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧
面，然后综合起来考虑整体图形.
注意：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：（1）根据主视图、
俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；（2）根据实线和
虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；（3）熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想
象有帮助；（4）利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
考点01平行投影与中心投影的概念
例1．如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-1．下列投影一定不会改变 的形状和大小的是（ ）
A．中心投影
B．平行投影
C．当 平行于投影面时的正投影
D．当 平行于投影面时的中心投影
变式1-2．下列各种现象属于中心投影现象的是（ ）
A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子
C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子变式1-3．早在 多年前的宋朝，手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手影
戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指送诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来”．手影戏全凭手
影艺人的十指借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属
于 （填“平行投影”或“中心投影”）．
考点02平行投影与相似
例2．如图， 时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号（即
）的山坡 上加装了信号塔 ，信号塔底端Q到坡底A的距离为 ．当太阳光线与水
平线所成的夹角为 时，且 ．
(1) °；
(2)求信号塔 的高度大约为多少米？（参考数据： ， ， ）
变式2-1．某同学为了测量学校围墙边一棵树的高度，他在旁边地面上竖直立着一根 长的竹竿，竹
竿在阳光下的影子长为1米，同一时刻，这棵树的影子一部分在地上，一部分在围墙上，他测得这棵树在
地面上的影子长为6米，在围墙上的影子长为 ，那么这棵树的高度为多少米？
变式2-2．晓华和小菲一起合作来测量某建筑物 顶部广告牌 的高．如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端 的影子在 处，同时，晓华站在 处的影长 为 ， ；然后，小菲在 处测
得楼房的顶端 的仰角 为 ， ．晓华的身高 ，点 在同一水
平线上，点 在 上， ， ，根据以上测量方法和数据请求出广告牌 的高．（参考
数据： ， ， ）
变式2-3．小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长
安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小铭在小雁塔
的影子顶端 处竖直立一根木棒 ，并测得此时木棒的影长 ；然后，小希在 的延长线
上找出一点 ，使得 、 、 三点在同一直线上，并测得 .已知图中所有点均在同一平面内，
木棒 ， ， ，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度 .
考点03中心投影与相似
例3．如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱 ，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱 的高度，
在灯柱同侧竖立两根长度均为 的标杆 和 ．测得 的影长 等于 ，且点N，B，C在同一
条直线上．(1)请画出标杆 的影子 ；
(2)若 ，求灯柱 的高度．
变式3-1．小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量
了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为 ，小明测得窗
户距离地面高度 ，窗高 ，某一时刻， ， ，其中B、O、E、F四点在
同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且 ， ．
(1)求出路灯的高度 ．
(2)现在小明想让光线透过窗子 照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为 ，如图2所示，需将
路灯 的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答）
变式3-2．如图， 、 为两盏高度相等的路灯，它们之间的距离 米，欣欣（用图中 表示）
站在两路灯之间的点 处，她在路灯 的光源 下的影子末端恰好落在点 处，测得 米，欣欣的
身高 米， 、 ， ，点 、 、 在一条直线上．(1)请在图中画出欣欣在路灯 的光源 下的影子 ；
(2)根据已测得的数据，计算影子 的长．
变式3-3．如图，亮亮、明明利用家门口路灯的灯光来测量该路灯的高度，明明在A处时，亮亮测得明明
的影长 为2米，明明向前走2米到B处时，亮亮测得明明的影长 为1米，已知明明的身高，
为 米，
(1)求路灯高
(2)在此路灯下，明明在直线 上运动，明明应由点A前进或后退多少米，亮亮恰好测得明明的影长是其
身高的2倍．
考点04判断几何体的三视图
例4．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．如图，该几何体的左视图是( )A． B． C． D．
变式4-2．如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．笛声，是一种清远悠扬的音乐，古人用“晚风拂柳笛声残，夕阳山外山”极其形象地道出了离
别的伤感．贵州的玉屏竹笛是我国传统的民族管乐器，以音色清越优美、雕刻精致而著称．如图所示的一
截竹竿正适合用来制作横笛，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．俯视图与左视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
考点05画出几何体的三视图
例5．画出如图所示立体图形的三视图．
变式5-1．画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图．变式5-2．画出以下两个几何体的三视图．
(1)
(2)
变式5-3．如图，将一个大立方体挖去一个小立方体，请画出它的三种视图（主视图、左视图、俯视图）．
考点06由三视图判断几何体
例6．如图所示的三视图对应的物体是（ ）
A． B． C． D．变式6-1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
变式6-2．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆
出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的
“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．变式6-3．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位： ），则这个几何体为 ．
考点07三视图的有关计算
例7．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为 ，已知 ，
，则左视图的面积是（ ）
A． B． C．4 D．2
变式7-1．一个几何体三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于 ．变式7-2．某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为 ．请求出该几何体的体积和表面积．
变式7-3．如图为一个立体图形的三视图，根据图示信息，求出这个立体图形的表面积和体积．
基础过关练
1．小乐用一块正方形硬纸板在阳光下做投影试验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不
可能出现的投影是（ ）
A．三角形 B．线段 C．矩形 D．正方形2．水盂是文房第五宝，古时用于给砚池添水，如图是清晚时期六方水盂，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 ，且三角尺的一边长为 ，
则投影三角形的对应边长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个长方体的三视图（单位： ），这个长方体的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．一个士兵因犯错被罚站军姿，如图中 所示，在他的左上方有一个路灯 为他在路灯下站军姿时
形成的影子 ．站了军姿后又被命令卧倒，并匍匐前进．在他向右卧倒的过程中，设他的影子的
长度的最大值为 ，最小值为 ，现有下列结论：① ；② ；③ ；④影子的长度先增后减．其中正确结论的序号是 ．
6．如图所示的几何体是由六个棱长为2的小立方块组合而成的，则该几何体从左面看到的形状图的面积为
．
7．如图所示是三棱柱的三视图，在 中， ， ， ，则 的长为
8．三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量
，且三角板的面积为 ，则其投影的面积为 ．9．如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形.
(1)两幅图中的投影属于中心投影的是图________（用“甲”或“乙”填空）；
(2)若阳光下小丽影子长为 ，大树影子长为 ，小丽身高 ，则大树高度是________ ．
10．如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体.
(1)在方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图；
(2)若保持该几何体的主视图和左视图不变，则最多可以添加 个小正方体.
11．如图为一个立体图形的两种视图，其中三角形为主视图，高为9cm；圆为俯视图，直径为8cm．求出
这个立体图形的体积．12．如图， 为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆 上，地面上竖立着一个矩形单杠
，已知单杠右侧 杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直
线上，且 ， ， ．
(1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧 杆在灯泡P的照射下的影子 ；
(2)经测量 米， 米，单杠的高度 米，请你计算路灯灯泡距地面的高度 ．
能力提升练
1．如图，太阳光线与地面成 的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是 ，
则皮球的直径是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 处，木杆 两端的坐标分别为 ， ．则木杆
在 轴上的影长 为（ ）A．14 B．12 C．10 D．8
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125 B．100 C．75 D．30
4．张师傅按 的比例画出某直三棱柱零件的三视图，如图所示，已知 中， ，
，则 的长为 ．
5．一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成.这个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的搭法共有
种（三视图中没有空白部分）.6．如图，将一块含 角的三角板 的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影
分别为点D，点N，若 ， ，则 在直线n上的正投影的长是 ．
7．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为 米
的木杆 放在灯杆 （点 处为照明灯）前 米处，沿着 方向移动 米放置另一个等长木杆 ．
(1)请分别画出木杆 ， 的影子（用线段表示，适当加粗）；
(2)若测得木杆 影长为1米，求木杆 的影子长度．
8．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是______________；
(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的侧面积．
