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专题 04 图形的相似（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·广西桂林·九年级期末）如果 ，那么下列结论一定成立的是（ ）．
A． ， B． ， C． D．
【答案】D
【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．
【详解】
故答案为：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质包括内项之积等于外项之积、合比性质等是解
决问题的关键．
2．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若 ， ，
则b的值是（ ）
A．3.5 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出比例式，计算即可求得答案
【详解】
（负值舍去）
故选C
【点睛】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ，
则内项 称为外项 和 的比例中项．
3．(本题4分)（2022·山东烟台·八年级期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12【答案】D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答
案．
【详解】解：A、∵3×7 4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8 6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵2×8 4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵8×15 = 10×12，∴四条线段成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大
的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4．(本题4分)（2022·全国·八年级期中）关于等边三角形，下列说法不正确的是（ ）
A．等边三角形是轴对称图形 B．所有的等边三角形都相似
C．等边三角形是正多边形 D．等边三角形是中心对称图形
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义，可判断A的正误；根据相似的判定条件，可判断B的正误；根据正多边
形的定义，可判断C的正误；根据中心对称图形的定义，可判断D的正误．
【详解】解：A、根据轴对称图形的定义，可知等边三角形是轴对称图形，正确，故不符合题意；
B、由所有的等边三角形的角都是60°，所以所有的等边三角形都相似，正确，故不符合题意；
C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以等边三角形是正多边形，正确，故不符合题意；
D、根据中心对称图形的定义，可知等边三角形不是中心对称图形，错误，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形，相似，正多边形等知识．解题的关
键在于对知识的灵活运用．
5．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线
EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（ ）
A．4：1 B． C． D．2：1【答案】B
【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，
∴ ，
∵E为AD中点
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴原矩形纸片长与宽的比为
故选B
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正
确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
6．(本题4分)（2020·黑龙江鸡西·期末）一个长方形按 放大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中
正确的是（ ）
A．周长扩大16倍 B．周长缩小16倍 C．面积扩大16倍 D．面积缩小16倍
【答案】C
【分析】一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形相似，利用相似多边形的性质即可解决问题．
【详解】解：一个长方形按 放大后，得到的图形与原图形相似，周长扩大4倍，面积扩大16倍，所以
A、B、D错误，C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是记住相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比
等于相似比的平方．
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·陕西·西安高新一中实验中学三模）如图，已知点F在 上，且 ，点D是 延长线上一点， ，连接 与 交于点N，则 __________．
【答案】 ##
【分析】过点F作 ，交AC于点E，求出 ，得出 ，根据已知推出 ，
根据平行线分线段成比例定理推出 ，代入化简即可．
【详解】解：过点F作 ，交AC于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定
的代表性，但也是比较容易出错的题目，解题关键求出线段之间的关系．
8．(本题5分)（2022·河北沧州·九年级期末）如图，直线 ，直线 和 被 所截，
，则 的长为_________．
【答案】
【分析】先根据线段和差可得 ，再根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】解： ，
，
，
，即 ，
解得 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
9．(本题5分)（2022·全国·九年级单元测试）某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24米，
主持人小军主持节目时，站在离点A最长__________米处，主持节目效果最佳．
【答案】（12 －12）
【分析】直接将24乘以黄金分割比 即可求解．
【详解】解： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割比的实际应用，解题关键是理解黄金分割比的意义，牢记黄金分割比．
10．(本题5分)（2022·山东烟台·八年级期末）已知 ，那么 _________．
【答案】
【分析】设 ，则 ，代入计算即可得．
【详解】解：由题意可知， ，
，
设 ，则 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，利用“设 法”进行计算是解决问题的关键．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）已知 ， ，求
的值．【答案】
【分析】利用 可得出 ， ，再代入 求值即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查代数式求值和比例的性质．用a表示出b和c是解题关键．
12．(本题10分)（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如果 （b+d+f≠0），且a+c+e＝
5（b+d+f）．求k的值．
【答案】5
【分析】根据比例的性质求得 ，代入a+c+e＝5（b+d+f），即可求解．
【详解】解：∵ ，
，
a+c+e＝5（b+d+f）．
，
∴k＝5．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
13．(本题12分)（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形 ，AB＝8cm，BC
＝12cm， ＝4cm， ＝6cm．(1)求 和 ；
(2)线段 ，AB， ，BC是成比例线段吗？
【答案】(1) ，
(2)线段 ，AB， ，BC是成比例线段．
【分析】（1）根据已知条件，代入 和 ，即可求得结果；
（2）根据 和 的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
(1)
∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝
(2)
由（1）知 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ；
∴ ＝ ，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．
14．(本题12分)（2021·江苏·涟水县义兴中学九年级阶段练习）根据人的审美观点，当人的下肢长与身高
之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高为166cm，下肢长为101cm，持上述观点,她所
选的高跟鞋的最佳高度约为多少（精确到0.1cm）?
【答案】4.2cm
【分析】设高跟鞋鞋跟的高度为xcm，在这里下肢的长度应包括高跟鞋鞋跟的长度，即（101＋x）÷（166
＋x）＝0.618，求出结果精确到0.1cm即可．
【详解】答：设高跟鞋鞋跟的高度为xcm，
根据题意列方程得：（101＋x）÷（166＋x）＝0.618，
解得x≈4.2．
故她所选的高跟鞋的最佳高度约为4.2cm．
【点睛】考查了利用黄金比例关系求出高跟鞋鞋跟的最佳高度，根据题意正确列出方程是解题的关键15．(本题12分)（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC
上，且AH＝HC， 交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．
(1)求证：AH⊥BC；
(2)求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；
（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例
式，即可求出x，即AG的长．
(1)
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝BD＝7，
∵DH+HC＝DC＝7，
∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．
∵AH＝HC，
∴AH＝CH＝4，
∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，
∴AH2+DH2＝AD2，
∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，
∴AH⊥BC；
(2)
设AG＝x，
由勾股定理得AC＝ ＝4 ，
∴ ，
∵HG∥AD，∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ，
解得x＝ ，
∴AG的长为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．
