专题01 反比例函数重难点题型专训（5大题型）
【题型目录】
题型一 用反比例函数描述数量关系
题型二 根据定义判断是否是反比例函数
题型三 根据反比例函数的定义求参数
题型四 求反比例函数值
题型五 由反比例函数值求自变量
【知识梳理】
【知识点1 反比例函数的定义】
一般的，形如 的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是函数。
自变量 的取值范围是不等于0的一切实数。
【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】
1．（2022上·云南文山·九年级统考期末）已知点 是反比例函数 上一点，则下列各点中在该图像
上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点，
∴ k =3×1=3，
A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
B 、1× = ≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
C 、 ×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
D 、6× =3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，故选： D．
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析
式．
2．（2022·湖北恩施·统考一模）如图的电路图中，用电器的电阻 是可调节的，其范围为 ，已
知电压 ，下列描述中错误的是（ ）
A． 与 成反比例： B． 与 成反比例：
C．电阻 越大，功率 越小 D．用电器的功率 的范围为
【答案】A
【分析】根据功率 判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴A选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式 是解题的关键．
3．（2022上·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若以方程 的两个实
数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y 的图象上，则满足条件的k值为 ．
【答案】-2
【分析】设方程的两个根分别为 ，根据题意得到 ＝ ，结合判别式，即可求解．【详解】解：∵以方程 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y 的
图象上，
∴设方程的两个根分别为 ，
∴ ＝ ，即 ，
∴
解得：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根，也考查了反比例函数．
4．（2020上·广东江门·九年级统考期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x
（米）的对应数据如下表：
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】由表中数据可得， ，从而可得y关于x的函数表达式．
【详解】由表中数据可得， ，
∴y关于x的函数表达式为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．5．（2021上·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水 ，设放净全池污水所需时间为 ，每
小时放水量为 ．
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当 时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式；
（2）把 代入（1）中函数关系式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得： ；
（2）当 时， ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题
的关键．
【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】
1．（2023上·全国·九年级专题练习）下列函数中：① ，② ，③ ，④ （ 为常
数，且 ）；属于反比例函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y＝ ( )的函数是反比例函数．
【详解】①∵ ，∴ ，是反比例函数，符合题意；
② ，不是反比例函数，不合题意；
③∵ ，
∴ ，是反比例函数，符合题意；
④ （ 为常数，且 ），是反比例函数，符合题意；
是反比例函数的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y＝ ( )的函数
是反比例函数．
2．（2021上·江西赣州·九年级统考期末）下列函数：① ，② ，③ ，④ ，
是 的反比例函数的个数有（ ）．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】 是一次函数，故选项①不符合题意；
是反比例函数，故选项②符合题意；
是二次函数，故选项③不符合题意；
是二次函数，故选项④不符合题意；
∴ 是 的反比例函数的个数有：1个
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次
函数、一次函数的定义，从而完成求解．
3．（2022上·八年级课时练习）下列函数，① ②. ③ ④. ⑤ ⑥；其中是y关于x的反比例函数的有： ．
【答案】④⑥．
【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.
【详解】①x（y+2）=1，可化为y= ，不是反比例函数；
② ，y与（x+1）成反比例关系；
③ 是y关于x2的反比例函数；
④ 符合反比例函数的定义，是反比例函数；
⑤ 是正比例函数；
⑥ 符合反比例函数的定义，是反比例函数；
故答案为④⑥．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.
4．（2022上·全国·九年级统考期末）下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
，其中 是 的反比例函数的为 （只填序号）
【答案】②③⑤
【分析】根据反比例函数解析式的一般形式y＝ （k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，即可作出
判断．
【详解】y是x的反比例函数的为②③⑤.
故答案是：②③⑤.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.
5．（2023下·浙江·八年级专题练习）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数．
(1)电压为16V时，电阻R与电流I的函数关系；
(2)食堂每天用煤1.5t，用煤总量W（t）与用煤天数t（天）的函数关系；
(3)积为常数m的两个因数y与x的函数关系；
(4)杠杆平衡时，阻力为800N，阻力臂长为5cm，动力y（N）与动力臂x（cm）的函数关系（杠杆本身所受重力不计）．
【答案】(1) ，故是反比例函数关系
(2) ，故是正比例函数关系
(3) ，故是反比例函数关系
(4) ，故是反比例函数关系
【分析】（1）利用 ，进而得出答案；
（2）利用煤总量W（t）＝用煤天数t（天） ，进而得出答案；
（3）利用 ，进而得出答案；
（4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可．
【详解】（1） ，故是反比例函数关系；
（2） ，故是正比例函数关系
（3） ，故是反比例函数关系
（4） ，故是反比例函数关系
【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键．
【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】
1．（2021·广东广州·统考三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数
的图象可能经过点（ ）
A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）
【答案】D
【分析】由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0，解得m＜﹣1，
∴m+1＜0，
∴反比例函数 的图象经过二、四象限，
∴反比例函数 的图象可能经过点（﹣3，1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得
m的取值范围是解题的关键．
2．（2022下·河南开封·八年级统考期中）若函数 的图象在其每一个分支中 的值随 值的增大而
增大，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据k＜0，反比例函数的函数值y在每一个分支中随x值的增大而增大列出不等式计算即可得解．
【详解】解：∵ 在其每一个分支中 的值随 值的增大而增大，
，
．
故选：D．
【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数y= ，当k＞0时，在每一个象限内，
函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
3．（2023下·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）若点 ， （其中 ）都
在反比例函数 的图象上，则一次函数 中的 随着 的增大而 （填“增
大”或“减小”）．
【答案】减小
【分析】根据点 ， 在反比例函数图象上，可得 ，从而可得
，即可得到答案．【详解】解： 点 ， （其中 ）都在反比例函数 的图象上，
，
，
，
一次函数 中的 随着 的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的特征，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象的
特征是解题的关键．
4．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，矩形 的边 与y轴平行，顶点A的坐标
为 ，顶点C的坐标为 ，若反比例函数 的图像与矩形 有公共点，则k的值可以是
．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据矩形写出B，D两点坐标，然后利用双曲线 经过点B，D时对应的k值，从而得到k的
取值范围．
【详解】解：∵矩形 的顶点 ， ，
∴ , ,
当双曲线 经过点B时，k的值最小，此时 ，当双曲线 经过点D时，k的值最大，此时 ，
∴k的取值范围为 ．
∴k可以取2
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．
5．（2023下·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）根据所学函数知识，解答下列问题：
(1)已知函数 ，当 ， 为何值时，此函数是一次函数？
(2)当 为何值时，函数 是反比例函数，并求当 时， 的值为多少？
【答案】(1) ， 为任意实数
(2) ，
【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于 的不等式组，求出 的值即可；
（2）根据反比例函数的定义列出关于 的不等式组，求出 的值，故可得出反比例函数的解析式，再把
代入解析式即可得出 的值．
【详解】（1） 函数 是一次函数，
且 为任意实数，
解得 ，
， 为任意实数；
（2） 函数 是反比例函数，
，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ，
当 时， ，
．【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解
题的关键．
【经典例题四 求反比例函数值】
1．（2022下·江苏泰州·八年级统考期末）函数 的图像可以由 的图像先向右平移2个单位，
再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数 的图像没有公共点的是（
）
A．经过点 且平行于 轴的直线
B．经过点 且平行于 轴的直线
C．经过点 且平行于 轴的直线
D．经过点 且平行于 轴的直线
【答案】D
【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．
【详解】解：A、当y=2时， ，解得x= ，故直线y=2与函数 的图像有公共点；
B、当y=-3时， =-3，解得x=0，故直线y=-3与函数 的图像有公共点；
C、当x=-1时， ，故直线x=-1与函数 的图像有公共点；
D、分式有意义的条件是x≠1，∴函数 的图像与直线x=1没有公共点；
故选：D．
【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．
2．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知点 在反比例函数 （ 为常数， ）的图象
上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把点 代入反比例函数 ，求出 的值，再根据 为定值对各选项进行逐一检验即
可．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ．
A、∵ ，∴此点在函数图象上；
B、∵ ，∴此点不在函数图象上；
C、∵ ，此点不在函数图象上；
D、∵ ，此点不在函数图象上．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数
的解析式是解题的关键．
3．（2022下·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）已知反比例函数 ，若 ，则y的
取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可．
【详解】解：把x=-2代入 得：y=-4，
∵8＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，
∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0，
故答案为：y≤-4或y＞0．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
4．（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上．若 ，则
点 在第 象限．【答案】二
【分析】由点A（a，b）在双曲线 上，可得ab=-1，由 可得到点 的坐标，进而得出答案．
【详解】解：∵点 在双曲线 上，
∴ab=-1，
∵
∴
∴点A在第二象限．
故答案为：二．
【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出 是解答此题的关键．
5．（2022上·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数 的图像经过点 ．
(1)求 的值；
(2)当 且 时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 且 时， 或
【分析】（1）将点 代入反比例函数 即可求解；
（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由 且 即可求出图像位
置，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：反比例函数 的图像如图所示，当 且 时，在第二象限： 或在第四象限： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．
【经典例题五 由反比例函数值求自变量】
1．（2021·山西·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数
图像中不存在“好点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“好点”的概念：当x=y时，对应的方程有解进行判断即可．
【详解】解：A、当x=y=0时，满足y=2x，（0，0）为“好点”，该选项不符合题意；
B、不存在横纵坐标相等的“好点”，该选项符合题意；
C、当x=y=1或x=y=﹣1时，满足 ，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好点”，该选项不符合题意；
D、当x=y=0或x=y=2时，满足 ，（0，0）和（2，2）为“好点”，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答的关键是熟悉每个函数的图象与性质．
2．（2020·四川·统考中考真题）已知函数 ，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【详解】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，
解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣ =3，
解得：x=﹣ ，不合题意舍去；
∴x=﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是
解题的关键
3．（2021上·山西·九年级山西实验中学校考阶段练习）观查反比例函数 的图象，当 时，x的
取值范围是 ．
【答案】x＜﹣1或x＞0/x＞0或x＜-1
【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即
可．
【详解】解：∵k＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴y=-2时， ，
解得x=-1，∴当y＞-2时x＜﹣1或x＞0，
故答案为x＜﹣1或x＞0．
【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反
比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键．
4．（2021上·九年级课时练习）考察函数 的图象，当 时， ；当 时，y的取值
范围是 ；当 时，x的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】把 代入反比例函数解析式求解即可；根据 得到 ，再根据 求解即可；（3）
根据 得到 ，再根据 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴把 代入反比例函数解析式得：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得y＞-1∴ ，
∵ ，
∴ ， x＞-2，即 ，解得x≤-2
∵当x＞0时，y＞0
∴当y＞-1时， 或 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质、求反比例函数函数值的范围等知识点，熟练掌握并运用
相关知识成为解答本题的关键．
5．（2020下·广东广州·九年级校考阶段练习）已知
(1)化简Q．
(2)若点 在反比例函数 的图象上，求Q的值．
【答案】(1)
(2)当 时， ，当 时， ．
【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可；
（2）根据反比例函数的性质先求解a的值，再代入 进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
解得： ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函
数的性质是解本题的关键．
【重难点训练】
1．（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：① ，② ，③ ，④ ，
⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ．其中 是 的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据反比例的三种形式判断即可．
【详解】解：反比例的三种形式分别为： ， ， ．
①中 的次数是 ，是一次函数，不是反比例函数；
②，③是反比例函数；
④中分母是 ，故不是反比例函数；
⑤是反比例函数；
⑥中没有 ，故不是反比例函数；
⑦分母是 ，故不是反比例函数；
⑧中 的次数是 ，是一次函数，不是反比例函数．故有三个是反比例函数．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022上·湖南娄底·九年级期中）现有A、 两枚均匀的小立方体 立方体的每个面上分别标有数字 ，
， ， ， ， 用小莉掷A立方体朝上的数字为 、小明掷 立方体朝上的数字为 来确定点 ，
那么他们各掷一次所确定的点 落在双曲线 上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】点P若落在 上，则 ，可采用列表法确定所有可能情况及满足要求的情况，求得概率．
【详解】解：表格列示所有投掷情况如下，
小
明
1 2 3 4 5 6
小
莉
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
点P若落在 上，则 ． 如上表，两人掷的组合情况共有 种，其中满足要求的有4种：
2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为 ；
故选：A
【点睛】本题考查列举法求概率、反比例函数解析式；运用表格列示所有可能的情况是解题的关键．3．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点 在双曲线 上，动点P在y轴正
半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为(
)
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先把 代入反比例函数 求出 的值，分别过 、 两点作 轴的垂线 ， ，
由旋转的性质证明 ，再设 ，即可得出 的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的
积即相等，列方程求 的值，确定 点坐标．
【详解】解：分别过 、 两点作 轴， 轴，垂足为 、 ，
是双曲线 上一点，
，
反比例函数的解析式为 ，
，
，又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
设 ，
,
,
，
点 在双曲线上，
，解得 或 ，
或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例
函数图象的性质是解答此题的关键．
4．（2022上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，点P在y轴正半轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连
接BP并延长交⊙P于C，且⊙P的半径为 ，AB=4．若函数 的图像过C点，则k的值是（
）A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】连接AC，由圆周角定理可知 ， ，在 中由勾股定理可计算AC的长；
由垂径定理可知 ，进而确定点C的坐标，最后将点C坐标代入 即可计算出k的值．
【详解】如图，连接AC
CB是直径，
由圆周角定理可知
在 中，由勾股定理可得：
，
轴是 直径所在的直线，且 轴，
由垂径定理可得：
点C的横坐标 ，纵坐标
将 代入 ，解得：
故选：B．【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并
能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键．
5．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过
两点，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ， ，从而得到 ，进一步得到 ，代入变形
后的代数式即可求得．
【详解】解： 反比例函数 的图象经过 两点，
， ，
∴ ，
，
，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的
关键．
6．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足 ，当 时，y的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】由 可得出 ，结合 的取值范围，即可求出 的取值范围．
【详解】解： ，
，
．
又 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记 是解
题的关键．
7．（2023下·江苏·八年级期末）当 时，函数 是反比例函数．
【答案】1
【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．
【详解】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，解得 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及
不等式是解决问题的关键．
8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作 轴的平行线 ．已知点A坐标为 ，结合函数图象可知，当 时， 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意，求对应直线l左侧图象函数值的取值范围．
【详解】 时，对应函数图象在直线l左侧，两部分， 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．
9．（2023·山东临沂·统考中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数 的性质，得到如下
结论：
①当 时，x越小，函数值越小；
②当 时，x越大，函数值越小；
③当 时，x越小，函数值越大；
④当 时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
【答案】②③④
【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．
【详解】解：列表，
x 1 2
y 3 3 5
描点、连线，图象如下，根据图象知：
①当 时，x越小，函数值越大，错误；
②当 时，x越大，函数值越小，正确；
③当 时，x越小，函数值越大，正确；
④当 时，x越大，函数值越大，正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，
利用图象解决问题，属于中考常考题型．
10．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称
点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到 ，解得
（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由 得到 ，则 ，由 进一步得到
，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
【详解】解：（1）若 是“和谐点”，则 ，
则 ，
∴ ，
即 ，解得 （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案为：
（2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，且 ，
对抛物线 来说，
∵ ，
∴开口向下，
当 时， ，当 时， ，
∵对称轴为 ， ，
∴当 时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函
数和二次函数的性质是解题的关键．
11．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知： ，并且 与x成正比例， 与 成反比
例，且当 时， ，当 时， ，求y与x之间的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的
值，用不同的字母区分．设 ， 则 ，然后利用待定系数法即可求得；
【详解】∵ 与x成正比例， 与 成反比例，
∴设 ， ，
∴ ，
∵当 时， ，当 时， ，
∴ ，解得 ，
∴y与x之间的函数解析式为 ．
12．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反
数，则称该点为“黎点”．例如 ， 都是“黎点”．
(1)求双曲线 上的“黎点”；(2)若抛物线 （a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当 时，求c的取值范围．
【答案】(1) 或 ；
(2)
【分析】（1）设双曲线 上的“黎点”为 ，构建方程求解即可；
（2）抛物线 （a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程 有
且只有一个解， ，可得结论．
【详解】（1）解：设双曲线 上的“黎点”为 ，
则有 ，解得 ，
∴ 上的“黎点”为 ， ．
（2）解：∵抛物线 上有且只有一个“黎点”，
∴方程 有且只有一个解，
即 ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用
转化的思想思考问题．
13．（2023上·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知 的三个顶点为 、 、
，将 向右平移m（ ）个单位后成 ，此时 某一边的中点恰好落在反比
例函数 的图像上，求m的值．
【答案】m的值为4或0.5【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入 ，求出平移后的横坐标，进而可求出m的值．
【详解】解①∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴AB中点坐标为 ．
在 中，当 时， ，
故 ；
②∵点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴AC中点坐标为 ，
在 中，当 时， ，
故 ；
③∵点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴BC中点坐标为 ，
在 中，当 时，没有意义．
∴m的值为4或0.5．
【点睛】此题考查了平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，分类讨论是解答本题的关键．
14．（2023·广东汕头·统考一模）如图，直线 与双曲线 交于 、 两点．
(1)求直线 的解析式；
(2)点C为线段 上的一个动点（不与A、B重合），作 轴于点D，求 面积S的最大值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 、 代入 ，即可求出 、 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）设 ，则 ，又可求出 ，进而可利用三角形面积公式求出
，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵ 、 在双曲线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 ．
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：点C为线段 上的一个动点，直线AB的解析式为 ，
∴可设C ．
∵ 轴于点D，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，S有最大值，最大值为 ．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识．熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
15．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出
如下定义：当点 ，满足 时，称点N是点M的负等积点已知点 ．
(1)在 ， ， ， 中，点M的负等积点是 ．
(2)如果点M的负等积点N在双曲线 上，求点N的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ；
【分析】（1）根据负等积点定义直接求值判断即可得到答案；
（2）设点 ，根据负等积点定义代入列式求值即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
，故 不是点M的负等积点，
，故 是点M的负等积点，
，故 不是点M的负等积点，
，故 是点M的负等积点，
故答案为： ， ；
（2）解：设 ，
∵点N是点M的负等积点，
∴ ，
解得： ，
∴点N的坐标为： 或 ；【点睛】本题考查新定义下运算及反比例函数图像上点，解题的关键是读懂新定义，根据新定义列方程求
解．
