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七年级下册数学《第六章 实数》
专题 估 算
题型一 估算无理数的范围
【例题1】（2022秋•儋州校级期末）无理数√14的大小在（ ）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计√27的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【变式1-3】（2011秋•淅川县期中）估算√368的值是在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算√32+1的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+√15的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【变式1-6】（2022秋•莲池区校级期末）估计√18−3的值在（ ）
A．3到4 之间 B．4到5之间 C．1到2 之间 D．2到3 之间
【变式1-7】（2022秋•南关区校级期末）估计√56−5的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2−√5介于（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和﹣1之间 D．﹣1和﹣2之间
【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=√4+√5，则估计无理数x的范围正确的是（ ）
A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5
【变式1-10】（2022秋•双牌县期末）满足−√2＜x＜√3的整数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（ ）
A．5.0＜x＜5.2 B．5.2＜x＜5.5 C．5.5＜x＜5.7 D．5.7＜x＜6.0
【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果m＝2√10−1，那么m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜5 B．4＜m＜6 C．5＜m＜6 D．5＜m＜7题型二 已知估算的范围求值
【例题2】（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足√7＜a＜√15，则整数a是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知n为整数，且√40＜n＜√50，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2-2】（2022秋•镇平县期末）若√5＜a＜√3216，则整数a的值不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜√13＜n+1，则n的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．3
【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数n满足n＜2√13−2＜n+1，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m，n是两个连续的整数且m＜√14＜n，则m+n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在−√3与√10之间的整数之和是 ．
【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜√10＜n，则（m﹣n）2023
的值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1
【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足√5−2≤x≤√7−1，则x＝ ．
【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若a＜√21＜b，且a，b是两个连续的正整数，则√a+b的值
是（ ）A．9 B．5 C．4 D．3
【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a＜√23＜b，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根
是 ．
【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a＜√6+11＜b，则a+b
的立方根为 ．
【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知a，b为两个连续的整数，且a＜−√33＜b，则2a﹣3b＝
．
【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+√365≤x≤√65+2，则x的值是 ．
题型三 估算无理数最接近的值
【例题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与√37接近的是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与√5最接近的整数是 ．
【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与√51最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-3】（2022•三门峡二模）数轴上与﹣√3最接近的整数是 ．
【变式3-4】（2022秋•苏州期末）下列整数中，与 最接近的是（ ）
√(π−4) 2
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+√10最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-6】（2022春•泸县期末）与√40−1最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-7】下列整数中，与√13+3最接近的是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6﹣√15最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[√3]=1，[4.1]＝4，则满
足[√n]=5，则n的最大整数为 ．
【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方
形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型四 利用估算比较数的大小
【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比−√3小的数是（ ）
1
A．﹣2 B．﹣1 C．− D．0
2
【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（ ）
√7−2 1
A．√369＞√16 B．−√10＞√3−27 C． ＜ D．√15＜2√5
2 2
【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将−√2，√6，2√3，√11四个无理数表示在数轴上，其中
能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A．−√2 B．2√3 C．√6 D．√11
【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）已知：a=√2−1，b=2−√5，则a、b的大小关系为：a b
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
√5−2 1 √2+1 √10−1 8
【变式 4-4】通过估算比较大小： ； 1； ．（填
3 3 2 2 9
“＜”或“＞”）
【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：
√3−1 1
（1） ， ； （2）√15，3.85．
2 2
【变式4-6】通过估算比较大小：
√99−7 8 √310−1 1
（1） 与 （2） 与 ．
2 5 3 3
题型五 无理数整数部分与小数部分问题
【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝ ．
【变式5-1】（2022秋•尤溪县期末）实数√7+2的小数部分是 ．
【变式5-2】（2022秋•明水县校级期末）如果√3的小数部分为a，√13的整数部分为b，则a+b−√3=
．
【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期末）已知：2+√3的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝
．
【变式5-4】（2022秋•双峰县期末）若x表示√5的整数部分，y表示它的小数部分，则(√5+x)y的值
为 ．【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若5+√10与5−√10的小数部分分别为a，b，则a+b＝ ．
【变式5-6】（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是√15的整数部分，c是9的平方根，则
a+b+c的算术平方根是 ．
【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是√37的整数部分，则mn的立
方根为 ．
【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题．
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以√2的小数部分我们不可能全部写出来，由于√2
的整数部分是1，将√2减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此√2的小数部分可用√2−1表示．
由此我们得到一个真命题：如果√2=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y=√2−1．
请解答下列问题：
（1）如果√5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值；
（2）如果−√5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，d的值；
（3）已知3+√5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．
【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于
是小明用√2−1来表示√2的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为√2的整数部分是
1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，
∴√7的整数部分为2，小数部分为√7−2；
请解答：
（1）√57的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果√11的小数部分为a，√7的整数部分为b，求|a﹣b|+√11|的值；
（3）已知：9+√5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【变式5-10】（2022秋•沧州期末）已知一个正数a的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立
方根是2，c是√15的整数部分．求：
（1）a，b，c的值；
（2）求2a+4b﹣c2的平方根．
【变式5-11】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以
看成是2.5﹣2得来的，类比来看，√2是无理数，而1＜√2＜2，所以√2的整数部分是1，于是可用
√2−1来表示√2的小数部分．
1 1
材料2：若10− √2=a+b√2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b=− ．
2 2
根据以上材料，完成下列问题：
（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）3+√3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+√3＜b，求a+b的算术平方根．
【变式 5-12】（2022秋•烟台期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：因为√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，所以√7的整数部分为2，小数部分为√7−2．
请解答下列各题：
（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知9−√17小数部分是m，9+√17小数部分是n，且x2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
