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专题 28.1 锐角三角函数
一、知识点梳理
要点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对
的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
B
c
a
A C
b
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 ；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 ；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 .
同理 ； ； ．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．
角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号
“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外， 、 、 常写成 、 、 ．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时， ， ，tanA＞0．
要点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 160°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角
的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 ，则锐角 ．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、 、 的值依次为 、 、 ，而 、 、 的值的顺序正好相反，
、 、 的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系： ， ；
(2)平方关系： ；
(3)倒数关系： 或 ；
(4)商数关系： ．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这
些关系式可使运算简便．二、题型总结
【题型1 正弦的定义】
【例1】．如图，在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】．如图，在 中， ， 于点D，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】．如图，在 中， 是斜边 上的高， ，则下列比值中等于 的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-3】．如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为（ ）m．A．15sinα B． C．15tanα D．
【题型2 已知正弦值求边长】
【例2】．在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A．5 B． C．45 D．
【变式2-1】．如图，在 中， ， ，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系内有一点 ，那么 与 轴正半轴的夹角 的正弦值______．
【变式2-3】．在 中， ， ， ，那么 的长是_____．
【题型3 余弦的定义】
【例3】．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则cosA可表示为（ ）
A． B． C． D．【变式3-1】．在 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角 的余弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【变式3-2】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（ ）．
A．2 B． C． D．
【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有
______个
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【题型4 已知余弦值求边长】
【例4】．如图，在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【变式4-1】．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离 ，线段OP与x轴正半轴的夹角为 ，且
，则点P的坐标是（ ）A． B． C． D．
【变式4-2】．如图，在 中， ，且 ，若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】．如图， 中， ， ， 的垂直平分线 交 于 ，连接 ，若
，则 的长为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 正切的定义】
【例5】．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、
∠B、∠C的对边，则tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这
一边选定点P和点B，使 ．利用工具测得 米， ，根据测量数据可计算得到小河宽度 为
（ ）A． 米 B． 米C． 米 D． 米
【变式5-2】．已知在 中， ， ，则 的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
【变式5-3】．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
【题型6 已知正切值求边长】
【例6】．已知 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．6 B． C．10 D．8
【变式6-1】．已知在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．6 B．16 C．12 D．4
【变式6-2】．如图，已知 ， ， ， ， 的长为（ ）
A． B． C． D．【变式6-3】．如图， 内接于 ，已知 半径为10， ，则 （ ）
A．5 B． C． D．
【题型7 特殊角的三角函数值】
【例7】． （ ）
A．2 B． C． D．
【变式7-1】．计算：
(1) ． (2) ．
【变式7-2】．
【变式7-3】．计算：三、课后练习
1．在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
3．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是
（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
△
A．3 B． C． D．
6．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为( )．A． B． C． D．
7．如图，将半圆形纸片折叠，使折痕CD与直径AB平行， 的中点P落在OP上的点P'处，且OP'= OP，折痕
CD=2 ，则tan∠COP的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知：α是锐角，tanα＝ ，则sinα＝_____，cosα＝_______．
9．坡比是1： ，坡角为 ，则∠ ＝_____．
α α
10．如图，等腰 中， ， ，点D是 上一点， ，则AD的长为______．
11．如图，若点A的坐标为 ，则 =________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝20，则△ABC的面积为________．
13．计算下列各式的值．
（1） ； （2） ；
（3） ．
14．求 的值．
15．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，sinA= ，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
△
