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专题26.4 实际问题与反比例函数
一、知识点梳理
要点一、利用反比例函数解决实际问题
1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决
问题.
2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的
系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的常见应用
1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
二、题型总结
【题型1 实际问题与反比例函数】
【变式1-1】．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比
例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设解析式为： ，则有k=IR ，由图可知当R=2时，I=3，所以k=6，
所以解析式为： ，
故选D.
【变式1-2】．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据
表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为： ．
故选A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
【变式1-3】．今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分
期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数
额，则每个月的付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( )
A．y＝ +2000 B．y＝ ﹣2000
C．y＝ D．y＝
【答案】C
【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式．
【详解】由题意可得：y= ．
故选C．
【变式1-4】．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：
人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
【答案】D【分析】人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象
在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，D错误，
再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，B．
【详解】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，
它的图象在第一象限，
∴y随x的增大而减小，
∴A，B错误，
设y= （k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，
∴y= ，
把y=2代入上式得：x=25，
∴C错误，
把x=50代入上式得：y=1，
∴D正确，
故选D.
【变式1-5】．随着私家车的增多，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上汽车的行驶速度y（千
米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当 时，y与x成反比例关系，当车速低
于20千米/时时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是
（ ）
A． B． C． D． .
【答案】B
【分析】利用已知反比例函数图象过（8，80），得出其函数解析式，再利用y=20时，求出x的最值，进
而求出x的取值范围．
【详解】设反比例函数的表达式为 ，将 代入，得 ，所以当车速为20千米/时，
，解得 ，故为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 .
故选B.【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于结合函数图象进行解答.
【变式1-6】．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km h）满足函数关系：y
/ =
（k≠0），其图象为如图的一段曲线，若这段公路行驶速度不得超过60km h，则该汽车通过这段公路最少
需要______h． /
【答案】
【分析】直接利用已知图象得出函数解析式进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：k xy 40，
= =
则y≥ ，
=
即该汽车通过这段公路最少需要 h．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
【变式1-7】．某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x
（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天．
（1）求y关于x的函数表达式，并指出比例系数；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
【答案】（1）y ，875；（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到175吨．
=
【分析】（1）首先设出反比例函数为y= ，根据题意求得k的值即可；
（2）代入x=5求得y值即可．
【详解】解：（1）设y= ，
根据题意得：k=xy=125×7=875，
∴每天生产化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间的函数解析式为y= ，比例系
数为875；（2）当x=5时，y= =175（吨），
即若要5天完成总任务，则每天产量应达到175吨．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式．
【变式1-8】．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为
18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x
（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
【答案】（1）10小时
（2）k=216
（3）13.5℃
【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）.
（2）应用待定系数法求反比例函数解析式即可.
（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可.
【详解】（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
（2）∵点B（12，18）在双曲线 上，
∴ ，∴解得：k=216
（3）由（2） ，
当x=16时， ，
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键在于读懂题意.
【变式1-9】．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．（1）假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值
范围）；
（2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
（3）在（2）的条件下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少
辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
【答案】（1） ；（2）20；（3）5
【详解】【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；
（2）把x=12×5=60代入，即可求得天数；
（3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．
【详解】（1）∵xy＝1200，∴y＝ ；
（2）x＝12×5＝60，将x＝60代入y＝ ，
得y＝ ＝20，
答：5辆这样的拖拉机要用20天才能运完；
（3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60＝720（米3），
剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，则每天至少运720÷6＝120（米3），则需要拖拉机120÷12＝10
（辆），10－5＝5（辆），
即至少需要增加5辆这样的拖拉机才能按时完成任务．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的
关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．
【变式1-10】．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方
米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测
得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于
x的函数关系式为 ．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气
中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)y x，0≤x≤8；y （x＞8）
(2)30
(3)有效，理由见解析
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝kx，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取
1
值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y ，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于
等于10就有效．
(1)
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝kx（k＞0）代入（8，6）为6＝8k
1 1 1，
∴k 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y （k＞0）代入（8，6）为6 ，
1 2
∴k＝48，
2
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y （x＞
8）；
(2)
（2）结合实际，令y 中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
(3)
（3）把y＝3代入y x，得：x＝4，
把y＝3代入y ，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，
解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．【变式1-11】．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)
与时间 (时)的关系可近似地用二次函数 刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反
比例函数 (k＞0)刻画(如图所示)．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?
②当 ＝5时，y＝45．求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不
能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能
否驾车去上班?请说明理由．
【答案】（1）①200；②225；（2）不能，理由见解析.
【分析】（1）①根据二次函数的最值求解即可.
②根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（5，45）代入 即可求得k的值．
（2）求出 时（即酒精含量等于20毫克／百毫升）对应的x值（所需时间），推出结论．
【详解】（1）①当 时， ，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克／百毫升.
②∵当 时， ，且（5，45）在反比例函数 (k＞0)图象上，
∴把（5，45）代入 得 ，解得 .
（2）把 代入反比例函数 得 .
∴喝完酒经过11.25时（即11：20时）为早上7：20.
∴第二天早上7：20以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班.
【变式1-12】．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝ (k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1
升的速度行驶，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
【答案】（1）s= （2）该轿车可以行驶875千米
【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系 中即可求得k的值，从而确定解析式；
（2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值．
【详解】（1）由题意得：a=0.1，S=700，
代入反比例函数关系 中，
解得：k=Sa=70，
所以函数关系式为： ；
（2）将a=0.08代入 得：S= =875千米，
故该矫车可以行驶875千米．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值．
三、课后练习
1．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一
组实验数据：P与V的函数关系式可能是（ ）
V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3
P（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32
A．P＝96V B．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176 D．P＝
【答案】D
【分析】观察表格发现VP=96，从而确定两个变量之间的关系即可．
【详解】解：观察发现：故P与V的函数关系式为
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96．
2．用电器的输出功率 与通过的电流 、用电器的电阻 之间的关系是 ，下面说法正确的是（ ）
A． 为定值， 与 成反比例 B． 为定值， 与 成反比例
C． 为定值， 与 成正比例 D． 为定值， 与 成正比例
【答案】B
【详解】解：当 为定值时， 2与 的乘积是定值，所以 2与 成反比例．
故选：B．
3．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（p）与它的体积
a
v（m3）的乘积是一个常数k，即pv=k（k为常数，k＞0），下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】【分析】根据题意有：pv=k（k为常数，k＞0），故p与v之间的函数图象为反比例函数，且根
据实际意义p、v都大于0，由此即可得.
【详解】∵pv=k（k为常数，k＞0）
∴p= （p＞0，v＞0，k＞0），
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的
关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
4．如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处用
力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为xm，g取10N/kg，则F关于x的
函数解析式为( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，把题中数据代入即可得答案．
【详解】∵g取10N/kg，铁球质量为10kg，
∴G=mg=10×10=100（N），
∵OA=1m，OB=xm，
∴由杠杆平衡原理可得：F×OB=G×OA，即 ，
∴F关于x的函数解析式为 ．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握杠杆平衡原理是解题关键．
5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应
控制在
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意首先求出反比例函数解析式,进而利用电器的限制不能超过12A,求出电器的可变电阻应
控制的范围.
【详解】设反比例函数关系式为：I＝ ，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝ ，
当I≤6时，则 ≤6，
R≥1，
故选C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键.
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（ ）的
反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体
积应（ ）
A．不小于 B．大于 C．不小于 D．小于
【答案】C
【分析】由题意设设 ，把（1.6，60）代入得到k=96，推出 ，当P=120时，
，由此即可判断．
【详解】因为气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（ ）的反比例函数，所以可设 ，由
题图可知，当 时， ，所以 ，所以 .为了安全起见，气球内的气压
应不大于120kPa，即 ，所以 .
故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式.
7．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水
温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动
开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温 和时间 的关系如图所示，
水温从100℃降到50℃所用的时间是（ ）A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟
【答案】A
【分析】首先求出反比例函数的解析式，然后把y＝50代入反比例解析式求得x后，减去7即可求得时间．
【详解】解：设反比例函数关系式为：y＝ ，
将（7，100）代入y＝ 得， ，解得k＝700，
∴y＝ ，
将y＝50代入y＝ ，解得x＝14；
∴水温从100℃降到50℃所用的时间是14﹣7＝7分钟，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用题，解题关键是求出反比例函数解析式．
8．物理学告诉我们这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数关系，可以表示
成 ，如图，一个圆台形物体的上底面面积是下底面面积的 ，如果正放在桌面上，对桌面的压强是
200Pa，则反过来放时，对桌面的压强是_____．
【答案】300Pa
【分析】设圆台的下底面面积为 ，则上底面面积为 ，根据 可用a表示出F，根据正放与反
放的压力相等，利用 即可得答案．【详解】设圆台的下底面面积为 ，则上底面面积为 ，
∵圆台正放在桌面上时，对桌面的压强是200Pa，
∴ ，
∴反过来放时，对桌面的压强 ．
故答案为：300Pa
【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确表示出F是解题关键．
9．有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会
随之改变，密度ρ(kg/m3)是体积V(m3)的反比例函数，它的图象如图，当V＝2 m3时，气体的密度是
____kg/m3.
【答案】4
【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（4，2），即可求解．
【详解】解：由图象可知，函数图象经过点（4，2），
所以ρ=
当V=2m3时，气体的密度是4kg/m3．
故答案为4．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义：若两个变量x、y满足y= （k为常数且k≠0）的关系，那么就说
y与x成反比例．
10．新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城，如果两地路程为500米，车速为每小时x千米，
从A城市到B县城所需时间为y小时，那么y与x的函数关系式是__________．
【答案】y＝ (x＞0)
【分析】根据时间＝路程÷速度可以列出关系式，注意时间应大于0.
【详解】由题意，得y与x的函数关系式y＝ (x＞0)．
故答案为y＝ (x＞0)．
【点睛】本题考查了列反比例函数关系式，根据题意明确时间＝路程÷速度是解答本题的关键.11．家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变
化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比
例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻
增加 kΩ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？
【答案】（1）当10≤t≤30时，R= ；（2）当t≥30时，R= t﹣6；（3）温度在10℃～45℃时，电阻不
超过6kΩ．
【分析】（1）设关系为R= ，将（10，6）代入求k；
（2）将t=30℃代入关系式中求R’，由题意得R=R’+ （t-30）；
（3）将R=6代入R=R’+ （t-30）求出t．
【详解】解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴可设R和t之间的关系式为R= ，
将（10，6）代入上式中得：6= ，
k=60．
故当10≤t≤30时，R= ；
（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．
∴温度在30℃时，电阻R=2（kΩ）．
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加
kΩ，∴当t≥30时，
R=2+ （t-30）= t-6；
（3）把R=6（kΩ），代入R= t-6得，t=45（℃），
所以，当t≥30时，
R=2+ （t-30）= t-6；
温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．
考点：反比例函数的应用．
12．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件
的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到
最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答
下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少
km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸
后多少小时才能下井？
【答案】（1） ，自变量x的取值范围是x＞7；（2）撤离的最小速度为1.5km/h；（3）矿工至少
在爆炸后73.5小时能才下井.
【详解】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知 过点（0，4）与（7，46）
∴ . 解得 ,∴ ,此时自变量 的取值范围是0≤ ≤7.
(不取 =0不扣分， =7可放在第二段函数中)
因为爆炸后浓度成反比例下降，
所以可设y与x的函数关系式为 .
由图象知 过点（7,46），
∴ . ∴ ,
∴ ，此时自变量x的取值范围是x＞7.
（2）当 =34时，由 得,6x+4=34，x ="5" .
∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2="1.5(km/h)"
(3)当 =4时，由 得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井
（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为
用待定系数法求得函数关系式，由图像得自变量 的取值范围；因为爆炸后浓度成反比例下降，过点
（7,46）即可求出函数关系式，由图像得自变量 的取值范围．
（2）将 =34代入一次函数求得时间，即可求得速度
（3）将 =4代入反比例函数求得x,再减7求得
13．如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间
为x分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为
15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间
x成反比例函数关系．
（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料
进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】（1）y=9x+15（0≤x≤5），y= （x≥5）；（2） 分钟．
【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别令两个函数的函数值为30，解得两个x的值相减即可得到答案．
【详解】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），该函数图象经过点（0，15），（5，
60），∴ ，解得： ，∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x≤5），设加热停止后反比例
函数表达式为y （a≠0），该函数图象经过点（5，60），即 60，解得：a=300，所以反比例函数表
达式为y （x≥5）；
（2）由题意得： ，解得：x ，解得：x=10，则x﹣x=10 ，所以对该材
1 2 2 1
料进行特殊处理所用的时间为 分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解
决实际问题．
