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专题 04 图形的相似
【思维导图】
◎考点题型1 比例的基本性质
比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若 ＝ ，则ad＝bc。解决此类问题通常利用设k法即
可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.
例．（2022·山东烟台·八年级期末）若 ，则下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质可得4x=3y，然后把每一个选项转化成等积式，即可解答．
【详解】解：∵ ，∴4x=3y，
A、∵ ，
∴4x+4y=7y，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；B、∵ ，
∴4x+12=3y+12，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
C、∵ ，
∴y=4x-4y，
∴4x=5y，故该选项符合题意；
D、∵ ，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
变式1．（2022·江苏淮安·八年级期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 得出b＝3a，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴b＝3a，
∴ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
变式2．（2022·河北·石家庄二十三中八年级阶段练习）若 = = =k，则k的值为( )
A． B． 或1 C．-1 D． 或-1
【答案】D
【分析】根据条件 = = =k，分为 和 ，即可得出k的值．【详解】当 时， ，所以 ；
当 时， ；
故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝
4cm，c＝5cm，则d等于（ ）
A．1cm B．10cm C． cm D． cm
【答案】B
【分析】根据第四比例项的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．
【详解】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，
∴a：b＝c：d
∴
∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴ cm
∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根
据比例的基本性质进行求解是关键．
◎考点题型2 比例线段
a c
=
b d
1.比例线段：如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即 那么这四条线段叫做成比
例线段，简称比例线段．
a b
=
2.等比中项：如果三个数 a,b,c 满足比例式 b c （或 a:b=b:c ），则 b 叫做a,c的比例中项.
例．（2022·全国·九年级专题练习）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（）
A． cm B．2（ ﹣1）cm C．4（ ﹣1）cm D．6（ ﹣1）cm
【答案】C
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫
做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比．
【详解】解：根据黄金分割点的概念得： ．
故选：C．
【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值．
变式1．（2022·山东烟台·八年级期中）下列各组中的四条线段能组成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义逐项分析即可，若a，b，c，d是成比例线段，则a:b=c:d．
【详解】解：A. ∵1:2≠3:4，故A选项不能构成比例线段，不符合题意；
B. ∵2:4=1:2≠6:8=3:4，故B选项不能构成比例线段，不符合题意；
C. ∵ ，故C选项不能构成比例线段，不符合题意；
D. ∵2:3=4:6，故D选项能构成比例线段，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查成比例线段，根据有关性质把四条线段分别计算比值并进行比较可以得到解答．
变式2．（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的
高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，
那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得 求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴
∴ ，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
变式3．（2022·山东烟台·八年级期末）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是
30cm，则两地的实际距离为（ ）
A．600000km B．6000km C．600km D．60km
【答案】C
【分析】首先设相距30cm的两地实际距离为xcm，根据题意可得方程1：2000000＝30：x，解此方程即可
求得答案，注意统一单位．
【详解】解：设相距30cm的两地实际距离为xcm，
根据题意得：1：2000000＝30：x，
解得：x＝60000000，
∵60000000cm＝600km，∴相距30cm的两地实际距离为600km．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例尺的性质．解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．
◎考点题型3 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段成比例。
例．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴ ， ，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关
键．
变式1．（2022·山西·九年级专题练习）一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，
竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，
AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（ ）
A．5N B．10N C．15N D．20N【答案】A
【分析】依据BD AC，B是AO的中点，即可得到D是OC的中点，再根据杠杆平衡原理，可得
G×OD=F×OC，进而得出拉力F的大小．
【详解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，
∴BD AC，
∴ ，
又∵B是AO的中点，即OB=BA，
∴OD=DC，
∴OD OC，
根据杠杆平衡原理，可得G×OD=F×OC，
∴10 OC=F×OC，
解得F=5(N)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及杠杆平衡原理，熟练掌握平行线分线段成比例定
理并准确识图是解题的关键．
变式2．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）如图，点D、E位于 的两边上，下列条件能
判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．
【详解】解：∵AD•CE＝AE•BD，
∴ ，
∴DE BC，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ，下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ， ，然后根据比例的性质对各选项进行判
断．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
∴ ， ，
∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE；CE•BF=AE•DF．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
◎考点题型4 相似图形
相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相
似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
例．（2022·河北邢台·九年级期末）把左图放大2倍，可以得到的图形是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D
【分析】根据相似图形的性质即可得出结论．
【详解】设一个小正方格边长为1cm，
因为把左图放大2倍，即放大前后的图形对应边的比是1∶2，
所以得到的图形为宽4cm，长6cm．
所以选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查相似图形的理解与实际运用能力．利用相似，可以将一个图形放大或缩小．性质：相似
图形的相似比等于对应高、对应边、周长的比．灵活运用相关性质进行分析判断是解本题的关键．
变式1．（2022·河北邢台·九年级期末）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只
有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
【点睛】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．
变式2．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的
内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF
之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（ ）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．A．a＝b B．a b C．a b D．a b
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质对应边成比例进行求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，
∴
即
化简得： ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查相似图形的性质，理解相似图形的性质是解题关键．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点O是四边形ABCD内一点， 、 、 、 分别是
OA、OB、OC、OD上的点，且 ，若四边形 的面积
为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
【答案】B
【分析】利用位似图形的定义得出四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，进而得出面积比，
即可得出四边形ABCD的面积．
【详解】解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，
∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，
∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为：27cm2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．◎考点题型5 黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：
√5−1
BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段
2
AB的黄金分割点有两个．
例．（2022·浙江杭州·九年级期末）“苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长2.8公里．苏堤上有名的六
吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥．压堤桥约居苏堤南北的黄金分
割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行．”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计
压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ）
A．0.9公里 B．1.1公里 C．1.3公里 D．1.4 公里
【答案】B
【分析】设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为x公里，由题意和黄金分割的定义列出方程，解方程即可．
【详解】解：设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为x公里，
由题意得： ，
解得：x≈1.1，
即压堤桥到栖霞岭下的大致距离为1.1公里，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义和黄金分割值是解题的关键．
变式1．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每
圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现
了数学中的黄金分割．
故选：D【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较
小部分与较大部分的比值，其比值为 ，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因
此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
变式2．（2023·江西·九年级专题练习）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到
黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，
应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC， 的角平分线交边AB
于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且 ，已知 ，那么该正五边形的周长
为（ ）
A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
【答案】C
【分析】证明BC=CD=AD=6.18（cm），可得结论．
【详解】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，
∴ ，
∵AB=AC=10cm，
∴AD=6.18（cm），
∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，
∴BC=CD=AD=6.18（cm），
∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习） 是线段 上一点（ ），则满足 ，则称点 是
线段 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，
一片树叶的叶脉 长度为 ， 为 的黄金分割点（ ），求叶柄 的长度．设 ，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据 得到 是解
答本题关键．
◎考点题型6 由平行线求线段的长或比值
例．（2022·山东青岛·八年级期末）如图： ， ，那么CE的长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
即 ，
∴CE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．
变式1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，已知 ， ，那么下列结论中，正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理：若两条直线被一组平行线所截，那么所截得的线段对应成比
例．也考查了比例的性质．理解和掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
变式2．（2021·浙江温州·九年级期中）如图，在 中，点 、 分别在 、 边上， ，
若 ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
变式3．（2022·吉林长春·九年级期末）如图， ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC边上，且有
△
DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由AD=2BD，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：
AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．
【详解】解：∵AD=2BD，
∴BD：AB=1：3，
∵DE∥BC，
∴CE：AC=BD：AB=1：3，
∵EF∥AB，
∴CF：CB=CE：AC=1：3．
故选：B．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的
关键．
