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专题 03 实际问题与反比例函数
【思维导图】
◎考点题型1 图形类
例．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记
录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强P（Pa） 400 500 800 1000 1250
受力面积S（ ） 0.5 0.4 a 0.2 0.16
(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（ ）的函数表达式及a的值．
(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平
玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
变式1．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高
（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 （单位： ）是物距（小孔到蜡烛的距离） （单位： ）的反比例函数，当 时， ．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)若火焰的像高为 ，求小孔到蜡烛的距离．
变式2．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围
一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)．
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；
(2)边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的
所有围建方案．
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）某校园艺社计划利用已有的一堵长为 的墙，用篱笆围一个面积
为 的矩形园子．
(1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为 、 ．
①求y关于x的函数表达式；
②当 时，求x的取值范围；
(2)洋洋说篱笆的长可以为 ．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说
明理由．◎考点题型2 表格类
例．（2022·江苏南京·八年级期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩
的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．
x 2 3 4 6
y 72 48 36 24
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？
变式1．（2022·河南郑州·七年级期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳
光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小 可以认为是焦点 ，此时他测了镜片与光斑的距离 可以当做
焦距 ，得到如下数据：
老花镜的度数
度
焦距f/m
(1)老花镜镜片是______ 凸的、凹的、平的 ，度数越高镜片的中心______ 越薄、越厚、没有变化 ；
(2)观察表中的数据，可以找出老花镜的度数 与镜片焦距 的关系，用关系式表示为：______；
(3)如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为 ，可求出这幅老花镜的度数为______．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的
眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝
．
(1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）；
(2)根据y与x的关系式补全下表：
焦距x/m 0.1 0.2 ……
度数y/度 1000 400 ……(3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦
距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？
变式3．（2020·江苏南京·八年级期末）已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反
比例函数，调查数据如表：
眼镜片度数y（度） 400 625 800 1000 … 1250
镜片焦距x（cm） 25 16 12.5 10 … 8
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．
◎考点题型3 几何类
例．（2020·宁夏·银川唐徕回民中学三模）“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，
某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污
超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到
5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20
万元（如图）．
（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式．
（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？
变式1．（2021·广东·佛山市华英学校九年级期末）在制作拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做拉面，面条的总长度 与面条的粗细（横截面积） 的关系如图所示：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当面条粗 时，求面条总长度是多少厘米？
变式2．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变
时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1.6m3时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于128kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
变式3．（2022·全国·九年级单元测试）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新
品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函数
关系，其中线段 ， 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求 与 （ ）的函数表达式；
（2）若大棚内的温度低于 时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能
使蔬菜避免受到伤害？◎考点题型4 探究类
例．（2022·江苏南京·八年级期末）小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖
售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；
方式2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合．
哪种混合方式的什锦糖的单价更低？
(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为 、 ，用含 、 的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价．
请你写出他的解答过程；
(2)为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：
结论1：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；
结论2：反比例函数 的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论3：若 的坐标为 ， 的坐标为 ，则线段 的中点坐标为 ．
小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论1求解；
②利用结论2、结论3求解．
变式1．（2022·山东济宁·三模）某种品牌的热水器的工作过程：接通电源后，在初始温度为20℃时加热
热水器中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后热水器中的水温开始逐渐下降，当下降到
20℃时，再次自动加热热水器中的水至80℃时，加热停止；当热水器中的水温下降到20℃时，再次自动
加热……按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号热水器中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x
的函数，其中y（单位：℃）表示热水器中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)下表记录了32min内14个时间点的热水器中水的温度y随时间x的变化情况，则表中m的值为______；
接通电源后的时间x（单位： 1 2
0 1 2 3 4 5 8 10 16 20 21 32 …
min） 8 4
3 6 4 4
水箱中水的温度y（单位：℃） 20 50 80 64 32 20 m 80 64 20 …
5 5 0 0
(2)①当 时，写出一个符合表中数据的函数解析式________；当 时，写出一个符合表中数
据的函数解析式________；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当 时，
温度y随时间x变化的函数图像：
(3)如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源______min．
变式2．（2022·山东临沂·二模）如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天
平的仪器的左边固定托盘 中放置一个重物，在右边活动托盘 （可左右移动）中放置一定质量的砝码，
使得仪器左右平衡．改变活动托盘 与点 的距离 ，观察活动托盘 中砝码的质量 的变化情况．
实验数据记录如表
10 15 20 25 30
30 20 15 12 10(1)把表中 的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测 与 之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为 时，活动托盘 与点 的距离是多少？
变式3．（2022·广东深圳·模拟预测）【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共
计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，则y与
x的关系式为 ．
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函
数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究．请根据所给信息，将彤彤的探究过
程补充完整：
（1）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 …
y … …
（2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象：（3）观察图象，彤彤发现以下性质：
①该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ；
②该函数值y不可能等于 ；
③当x＞﹣2时，y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如此．
【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越
（填“高”或者“低”），但不会突破 元．
