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专题 27.49 《相似》挑战综合（压轴）题分类专题
（专项练习）
【知识点一】平行线分线段成比例
【类型①】平行线分线段成比例➼➻作图★✭ 求值★✭ 证明
1．（2019·广东·中考真题）如图，在 中，点 是边 上的一点.
（1）请用尺规作图法，在 内，求作 ，使 ， 交 于 ；
（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的值.
2．（2021·福建漳州·模拟预测）如图，已知点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB
＝90°，∠A＝60°．
(1) 求作Rt△DEF，使点F在AB的延长线上，∠DEF＝90°，∠EDF＝60°，且BF＝
AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的前提下，连结CE，BE．求证：EB＝EC．【类型②】平行线分线段成比例★✭特殊三角形
3．（2016·山东淄博·中考真题）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC
的中点为M，ME//AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
(1)求证：AE＝AF；
(2)求证：BE＝ (AB＋AC)．
4．（2015·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中（BC>AC），∠ACB=90°，点D在
AB边上，DE⊥AC于点E
（1）若 ，AE=2，求EC的长
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC
有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者
都有可能？请说明理由【类型③】平行线分线段成比例★✭特殊平行四边形
5．（2022·福建三明·二模）已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE于
点F，CG⊥DF于点G．
求证：(1) ∠DAE = ∠BCG； (2) G为DF的中点．
6．（2022·安徽·合肥38中一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上且与点
A、C不重合的一个动点，过点E作 于点F， 于点G，连接DE、FG
（1）FG与DE的数量关系是______；
（2）若正方形ABCD的边长为6，且 ，则DE的长为______；
【类型④】平行线分线段成比例➼➻构造平行线（作辅助线）7．（2022·北京昌平·模拟预测）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方
形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交
边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，
小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图
2，则可得： ，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求
得EM与EN的比值．
(1) 请按照小明的思路写出求解过程．
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论
正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
8．（2020·福建莆田·二模）（1）如图1， 的三条中线 、 、 相交于点
，求 的值；
（2）如图2，在 中， ， 与 相交于点 ，连接并延长 交线段
于点 ．求证： 是 的中点；（3）如图3，已知矩形 ，仅用无刻度的直尺画出线段 的中点 ，并简要写
出画图过程．
【知识点二】相似三角形性质与判定
【类型①】相似三角形★✭全等三角形➼➻证明★✭求值
9．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线
段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
(1) ∠CAE=∠BAF； (2) CF·FQ=AF·BQ
10．（2015·湖北咸宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
【类型②】相似三角形★✭特殊四边形➼➻证明★✭求值
11．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在 ABC中，点D，E，F分别在边AB，
AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形， ．
(1) 若 ，求线段AD的长．
(2) 若 的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
12．（2022·山东泰安·中考真题）如图，矩形 中，点E在 上， ，与 相交于点O． 与 相交于点F．
(1) 若 平分 ，求证： ；
(2) 找出图中与 相似的三角形，并说明理由;
(3) 若 ， ，求 的长度．
【类型③】相似三角形★✭动点问题➼➻折叠问题➼➻证明★✭求值
13．（2022·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD
上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，
M，已知∠BAC＝ ， ，若△EMN与△AEF相似，则AF的长为多少？
14．（2021·安徽·一模）如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．
（1）求证：AM=PN；
（2）当点P是边AB的中点时，求证： ；
（3）当点P不是边AB的中点时， 是否仍然成立？请说明理由．
【类型④】相似三角形★✭动点问题➼➻旋转➼➻证明★✭求值
15．（2012·湖北省直辖县级单位·中考真题）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
以D为顶点作∠MDN=∠B,
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图
中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，
AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的
时，求线段EF的长．
16．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝
90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于
点E，F．
(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①， ______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时， ______．
②若改变点D的位置，且 时，求 的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
【类型⑤】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻证明★✭求值17．（2021·河北唐山·一模）如图， ， ， 轴，与直线 交
于点 ， 轴于点 ， 是折线 上一动点．设过点 ， 的直线为 ．
（1）点 的坐标为________；
（2）若直线 所在的函数随 的增大而减少，则 的取值范围是__________；
（3）若动点 在 上运动， 与 相似时，求此时直线 的解析式．
18．（2012·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，
y轴上，四边形ABCO
为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB= ，点E，F分别是线段
AD，AC上的动点（点
E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．
【类型⑥】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻最值19．（2019·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形 中， ， ，点 分
别在边 ， 上，点 分别在 ， 上， ， 交于点 ，记 .
（1）若 的值是1，当 时，求 的值.
（2）若 的值是 ，求 的最大值和最小值.
（3）若 的值是3，当点 是矩形的顶点， ， 时，求
的值.
20．（2018·山东济宁·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，
BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为
10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
【知识点三】相似三角形性质与判定➼➻拓展与探究
【类型①】相似三角形➼➻➼➻操作与问题发现21．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点
上．
①请按要求画图：将 绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点 ，点C
的对应点为点 ．连接 ；
②在①中所画图形中， ＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在 中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕
点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，
CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
22．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下
册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提
出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形
的一个顶点， 交 于点 ， 交 于点 ，则 与 的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 、 经过正方形 的对
称中心 ，直线 分别与 、 交于点 、 ，直线 分别与 、 交于点 、 ，
且 ，若正方形 边长为8，求四边形 的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 的顶点 在正方形
的边 上，顶点 在 的延长线上，且 ， ．在直线 上是否存在
点 ，使 为直角三角形？若存在，求出 的长度；若不存在，说明理由．
【类型②】相似三角形➼➻➼➻背景问题与探究
23．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1）， 中， ， 是的中点，延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ，探究 的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点，
，延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的
值（用含 的式子表示）．
24．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，过点 作
交 于点 ．实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的 绕点 按逆时针方向旋转 ，
如图2所示，得到结论：① _____；②直线 与 所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将 绕点 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探
究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当 旋转至 、 、 三点共线时，则 的面积为______．
【类型③】相似三角形➼➻➼➻问题拓展与延伸
25．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两
块大小不同的等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，按如图1的方式摆放，
，随后保持 不动，将 绕点C按逆时针方向旋转 （
），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ．该数学兴趣小组进行如
下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当 时，则 _____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出 ， ， 之间的数量关
系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，
请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在 与 中， ，若 ，
（m为常数）．保持 不动，将 绕点C按逆时针方向旋转 （
），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ，如图6．试探究 ，
， 之间的数量关系，并说明理由．
26．（2021·浙江宁波·中考真题）【证明体验】
（1）如图1， 为 的角平分线， ，点E在 上， ．求
证： 平分 ．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为 上一点，连结 交 于点G．若 ，
， ，求 的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形 中，对角线 平分 ，点E在
上， ．若 ，求 的长．【类型④】相似三角形➼➻➼➻阅读材料与教材呈现
27．（2019·辽宁大连·中考真题）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， 中， ，点 在
上， ， （其中 ） ， 的平分线与
相交于点 ， 垂足为 ，探究线段 与 的数量关系，并证明．同学们
经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现 与 相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 与 的数量关
系．”
……
老师：“保留原题条件，延长图1中的 ，与 相交于点 （如图2），可以求出
的值．”
（1）求证： ；
（2）探究线段 与 的数量关系（用含 的代数式表示），并证明；
（3）直接写出 的值（用含 的代数式表示）．28．（2021·吉林长春·二模）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102-103
页的部分内容．
(1)【问题解决】请结合图1将证明过程补充完整．
(2)【应用探究】
如图2，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，DF⊥CE，点F为垂
足，∠AEC＝78°，则∠BCE为 度
(3)如图3，在线段AC上有一点B，AB＝4，AC＝11，分别以AB和BC为边作正方形
ABED和正方形BCFG，点E落在边BG上，连接DF，点H为DF的中点，连接GH，则
GH的长为 ．参考答案
1．（1）见分析；（2） .
【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为
圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧
交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
解：(1)如图所示；
(2)∵ ，
∴ .
∴ .
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用
尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.
2．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）作∠EDF＝∠A，延长AB至F，使BF＝AB，然后作∠DFE＝∠ABC，
即可解决问题；
（2）结合（1）证明DE是BC的垂直平分线，进而可以解决问题．
解：（1）如图所示，△DEF就是所求作的三角形；
（2）如图，由（1）知∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠EGC＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴ ，即BG＝CG，
∴ED垂直平分BC．
∴EB＝EC．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：作一个角等于已知角，垂直平分线的判定与性质，
平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
3．（1）证明见分析；（2）证明见分析.
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE，即可得
AE=AF；
（2）作CG//EM，交BA的延长线于G，已知AC=AG，根据三角形中位线定理的推论
证明BE=EG，再利用三角形的中位线定理即可证得结论．
解：（1）∵DA平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD//EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
（2）作CG//EM，交BA的延长线于G．∵EF//CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵BM=CM．EM//CG，
∴ ，
∴BE=EG，
∴BE= BG= （BA+AG）= （AB+AC）．
【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
定理等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．
4．（1）6；（2）见分析．
【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；
（2）分三种情况讨论：①若∠CFG＝∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中
线；②若∠CFG＝∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的
平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．
解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴
∵ ，AE=2，
∴ ，
解得：EC＝6；
（2）①如图1，若∠CFG＝∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．
证明：∵∠CFG+∠CGF＝90°，∠ECD+∠PCG＝90°，
又∵∠CFG＝∠ECD，
∴∠CGF＝∠PCG，
∴CP＝PG，
∵∠CFG＝∠ECD，∴CP＝FP，
∴PF＝PG＝CP，
∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；
②如图2，若∠CFG＝∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．
证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∵∠CFG＝∠EDC，
∴∠CFG+∠ECD＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．
③如图3，当CD为∠ACB的平分线，∠FGC＝∠CDE时，则CD为∠ACB的平分线，
CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质以及直角三
角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得 ，再得内错角 ，由 ， 可得 ，同位角 ，等量转化，即可得出结论；
（2）由四边形 为平行四边形， ， ，可得四边形 为平
行四边形，故 ，再由中位线得 ，再根据平行线分线段成比例即可得出
结论．
(1)证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)证明：延长 交 于点M，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 为平行四边形．
∴ ．
∵E为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ ，即G为 的中点．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质、平行线的判定与性质、中位线的判定
及性质以及平行线分线段成比例．
6．
【分析】（1）连接BE，证明四边形EFBG是矩形，由矩形的对角线相等解得
FG=BE，再结合正方形的性质证明 ，最后由全等三角形的对应边相等
得到 ，据此解答；
（2）由正方形的性质证明 ，由四边形EFBG是矩形证明 ，利用平
行线分线段成比例解得 ，由正方形的边长为6解得 ，最后根据勾股
定理解答即可．
解：（1）FG=DE，理由如下
连接BE，
在正方形ABCD中，
， ，
四边形EFBG是矩形
FG=BE
正方形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分
在 与 中，FG=DE
故答案为： ；
（2） 正方形ABCD中，对角线AC平分
四边形 是矩形
正方形ABCD的边长为6，
．
【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾
股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．(1)见分析(2)正确，见分析
【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，结合平行线分线段成比例定理可得： ，由DE＝EP，可知DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，
可得 ，进而可求得EM与EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于点H，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB∥CD，
可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性质可证得∠DPC＝∠MNH，进而可得
△DPC≌△MNH，从而有DP＝MN．
(1)解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图1），
则 ，GF＝BC＝12，
∵DE＝EP，
∴DF＝FC，
∴EF＝ CP＝ ＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，
∵AB∥CD，
∴ ；
(2)解：正确，
证明：作MH∥BC交AB于点H，（如图2），
则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，
∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCP＝∠MHN，
∵AB∥CD，
∴∠MNH＝∠CMN，
∵NE是DP的垂直平分线，
∴∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，
∵∠DPC＝90°﹣∠CDP，∴∠DPC＝∠MNH，
∴△DPC≌△MNH（AAS），
∴DP＝MN．
【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等
三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．
8．（1）2；（2）见分析；（3）见分析，过程见分析
【分析】（1）过点 作 交 于点 ，运用平行线分线段成比例定理求解
即可；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，可证明 ，进一
步证明 ，得四边形 是平行四边形，从而可得结论；
（3）根据题意作出图形即可．
解：（1）如图1，过点 作 交 于点 ．
、 是 的中线
，
，
（2）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接四边形 是平行四边形
即点 是 的中点
（3）①在 上方任取一点 ，连接 、 分别交 于点 、
②连接 、 交于点 ，连接 并延长交 于点
则点 就是所求作 的中点
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的重心性质以及平行四边形的
判定与性质．关键是由中位线定理得出线段的比．
9．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）利用SAS证明 ACE≌△ABF即可；
（2）先证 ACE∽△AFQ可得∠△AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证
CAF∽△BFQ，△利用相似三角形的性质得出结论．
△ (1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∵CF=BE，
∴CE=BF，
在 ACE和 ABF中， ，
△ △
∴ ACE≌ ABF（SAS），
∴△∠CAE=∠△BAF；
(2)证明：∵ ACE≌ ABF，
∴AE＝AF，∠△CAE=△∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴ ，即 ，
∴ ACE∽△AFQ，
∴△∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴ CAF∽△BFQ，
△
∴ ，即CF·FQ=AF·BQ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的
判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
10．（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明见分析．
解：（1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案；
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵ ，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC= ∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
点评：此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题
关键．
考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定．
11．(1)2(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明 ，得到 即可求
出；
（2）利用平行条件证明 ，分别求出 、 的相似
比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出 、 ，最后通过
求出．
（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ， ，DE=BF，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，DE=BF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、
灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
12．(1)证明见分析(2) ， 与 相似，理由见分析(3)
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；
（3）根据 得出 ，根据 得出
，联立方程组求解即可．
（1）证明：如图所示：四边形 为矩形，
，
，
，
，
又 平分 ，
，
，
又 与 互余，
与 互余，
；
（2）解： ， 与 相似．
理由如下：
， ，
，
又 ，
，
， ，
；
（3）解： ，
，
，
，
在矩形 中对角线相互平分，图中 ，
①，，
，
，
在矩形 中 ，
②，
由①②，得 （负值舍去），
．
【点拨】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余
关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是
解决问题的关键．
13．1或3
【分析】分两种情况：①当EM⊥AC时∠AME=90°，然后根据三角函数的性质可得解；
②当EN⊥AC时，∠MNE=90°，然后根据三角函数的性质可得解．
解：由已知 EMN与 AEF相似， AEF与 HEF全等，所以可以分为两种情况：
①当EM⊥AC△时，∠A△ME=90°， △ △
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90 ，
∵∠CAB=30°， ∘
∴∠AEM=60°，AB= ，
由已知可得∠AEF=30°，AE= ，
∴AF=AEtan30°= =1；
⋅
②当EN⊥AC时，∠ANE=90°，
∴∠AEN=60°，
∴AF=AEtan60°= =3，
⋅
故答案为：1或3.
【点拨】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键．
14．（1）见分析；（2）见分析；（3）成立，理由见分析．
【分析】（1）连接PC，根据折叠的性质得MN是PC的垂直平分线，证明AM=PM=
AC即可得到结论；
（2）易证得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 ，
继而可得比例式 ；
（3）首先连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，易证得△AEP∽△ACB，
△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 成立．
解：（1）连接PC，如图1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°
∴∠A=∠B=45°
∴MC=NC
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，MN//AB，MC=PM=PN
∴CP⊥AB，∠MPC=∠MCP=45°
∴∠MPA=45°
∴∠MPA=∠A
∴AM=PM
∴AM=PN
（2）如图1，
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB， =1，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴ ，
∴ ；
（3）当点P不是边AB的中点时， 仍然成立．
理由：如图（2），连接PC，则MN⊥PC，
过点P作PE⊥AC于点E，
∵∠ACB=90°，∠A是公共角，
∴△AEP∽△ACB，
∴ ，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=EP，
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴△MCN∽△PEC，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与
性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见分析；（3）
5.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出
△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形
的性质得出 ，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的 ，求出DH的长，从而利用S 的值
DEF
△
求出EF即可
解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，
∴∠BFD=∠CDE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴△BDF∽△CED．
∴ ．
∵BD=CD，
∴ ，即 ．
又∵∠C=∠EDF，
∴△CED∽△DEF．
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD= BC=6．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，
∴AD=8．
∴S = •BC•AD= ×12×8=48，
ABC
△
S = S = ×48=12．
DEF ABC
△ △
又∵ •AD•BD= •AB•DH，
∴ ．
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD．
∵DH⊥BF，DG⊥EF，
∴∠DHF=∠DGF．
又∵DF=DF，
∴△DHF≌△DGF（AAS）．
∴DH=DG= ．
∵S = ·EF·DG= ·EF· =12，
DEF
△
∴EF=5．
【点拨】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和
性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的
运用．16．(1) (2)① ；② ，解答过程见分析(3) 或
【分析】（1）证 、 是 的中位线，得 ， ，即可得出答案；
（2）①过点 作 于点 ， 于点 ，先证 ，得出
，再根据（1）所得结论即可得出答案；
②过点 作 于点 ， 于点 ，证 ， ，
推出 ， ，同①得 ，则 ，即可得出结论；
（3）分 和 两种情况分别求解可得．
（1）解： ， ， ，
， ，
点 是 的中点，
、 是 的中位线，
， ，
，
故答案为：3；
（2）①过点 作 于点 ， 于点 ，如图2所示：
则 ，
四边形 是矩形，
，即 ，
，
，即 ，
，，
，
同（1）得： ，
，
故答案为：3；
②过点 作 于点 ， 于点 ，如图3所示：
，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
与①同理得： ，
；
（3）如图 所示：在 中，由勾股定理得： ，
，
与 相似分两种情况：
① ，则 ，即 ，整理得： ，
，
；
② ，则 ，即 ，整理得： ，
，
；
综上所述，当 或 时， 与 相似；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位
线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角
形相似是解题的关键．
17．（1） ；（2） ；（3） 与 相似时，此时直线 的解
析式为 或
【分析】（1）将 代入 中可求出点 的坐标，；
（2）由直线 所在的函数随 的增大而减少，点 在线段 上，且纵坐标小于2，结合图象写出结果即可；
（3）分类讨论当 和 ，利用相似三角形的性质分别求
出 的坐标，利用待定系数法求即可求出 的解析式．
解：（1）∵ 轴，
∴
∴把 代入 可得：
∴
（2）∵直线 所在的函数随 的增大而减少，
∴点 在线段 上，且纵坐标小于2
∴ ；
（3）由题意得， ， ，
当 时，有 ，即
∴
∴
设直线 的解析式为
∴ 解得
∴直线 的解析式为
当 时，有 ，即
∴
∴
设直线 的解析式为∴ 解得
∴直线 的解析式为
综上所述， 与 相似时，此时直线 的解析式为 或
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数上点的坐标特征，待定系数法求
一次函数解析式，相似三角形的判断和性质，熟悉掌握相似三角形的判定方法是解题的关
键．
18．（1）20，D（12，0）（2）证明见分析（3）E的坐标为（8，0）或（ ，0）
解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠B=90°．
在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷ ="12" ，
AC= ．
则AO=BC=12．∴ A（-12，0）．
∵点D与点A关于 轴对称，∴D（12，0）．
（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO．
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF．
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质），
∴∠AEF=∠DCE．
则在△AEF与△DCE中，
∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE．
∴AE=CD=20．
∴OE=AE－OA=20－12=8．
∴E（8，0）．②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，
则点M为CE中点．
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB= EF．
∵点D与点A关于y轴对称，
∴CD=AC=20．
∵△AEF∽△DCE，
∴ ，即 ，
解得 ．
∴OE=AE－OA= ，
∴E（ ，0）．
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO．
即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（ ，0）．
（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得
到A点坐标；
由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标．
（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可，在△AEF与
△DCE中，易知
∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决．（3）当△EFC为等腰三角形时，需要分CE=EF，EF=FC，CE=CF三种情况讨论．
19．（1） ；（2）最大值为 ，最小值为 ；（3） 的值为 或 .
【分析】（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明
FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题．
△
（2）由题意：2a≤MN≤ a，a≤EF≤ a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k
的值最大，最大值= ，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为
．
（3）连接FN，ME．由k=3，MP=EF=3PE，推出 ，推出 ，
由 PNF∽△PME，推出 =2，ME∥NF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，
△
NP=12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②
如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．
解：（1）作 ， ，如图1.
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，∴ .
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ .（2）∵ ，∴ .
由题意得， ， ，
当 取最长时， 可取到最短，此时 的值最大，最大值为 ，
当 取最短时， 可取到最长，此时 的值最小，最小值为 .
（3）连结 ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， .
设 ，则 ， ， .
①当点 与点 重合时， 如图2，点 恰好与点 重合，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ .
②当点 与点 重合时，如图3，过点 作 于点 ，
则 ， ，
∴ ，∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
综上所述， 的值为 或 .
【点拨】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，
矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
20．（1）结论：CF=2DG，理由见分析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2 ．
【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明 DEG∽△CDF即可；
（2）作点C关于NM的对称点K，连接D△K交MN于点P，连接PC，此时 PDC的周
长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. △
解：（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴ = = ，∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时 PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
△
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ，
∴EH=2DH=2 ，
∴HM= =2，
∴DM=CN=NK= =1，
在Rt DCK中，DK= = =2 ，
△
∴△PCD的周长的最小值为10+2 ．
【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股
定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
21．（1）①见分析，②45；（2）135°；（3）
【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．
②只要证明 ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2△，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明 ABC≌△EAH（AAS）即
可解决问题． △
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将 ABD绕点A逆时针旋转
△
得到 ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝ ，由
△
此即可解决问题．
解：（1）①如图， AB′C′即为所求．
△②由作图可知， ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，△
故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将 ABD绕点A逆时针旋转得到 ACG，连接DG．则BD＝CG，
△ △∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝ ＝ ．
∴BD＝CG＝ ．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的
判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考
压轴题．
22．(1) (2)16(3)BP的长度为2或3或6或7．
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ，根据
ASA可证 ，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作 交AD于点M，交BC于点N，作 交AB于点T，交
CD于点R，证明 进而证明 ；
△（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵ 是对角线，
∴∠ ，
∴∠ ，
∵四边形 是正方形，
∴∠ ，
∴∠
又∠
∴ ，
∴
∴
故答案为:
（2）过点O作 交AD于点M，交BC于点N，作 交AB于点T，交
CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，∴
同（1）可证
△
∴
（3）解：在直线BE上存在点P，使 APF为直角三角形，
①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF△，AD相交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴ ，
∵QF=EQ-EF=4，
∴ ，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②当∠APF=90°时，如图⑤，同①的方法得， ABP∽△PEF，
△
∴ ，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴ ，
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得， AMP∽△FNA，
△
∴ ，
∴ ，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7．【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等
三角形是解本题的关键．
23．(1)[问题提出]（1） ；（2）见分析(2)[问题拓展]
【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得
， ，根据含30度角的直角三角形的性质，可得
，即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 ．证明 ，可得 ，根据
，证明 ，根据相似三角形的性质可得 ，进而可得
；
[问题拓展]方法同（2）证明 ，得出， ，证明
，得到 ，进而可得 ．
（1）[问题探究]：（1）如图，
中， ， 是 的中点， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，，
，
，
．
（2）证明：取 的中点 ，连接 ．
∵ 是 的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
（2）[问题拓展]如图，取 的中点 ，连接 ．
∵ 是 的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
∴ ．
．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性
质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（1） ，30°；（2）成立，理由见分析；拓展延伸： 或
【分析】（1）通过证明 ，可得 ， ，即可求
解；
（2）通过证明 ，可得 ， ，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出 ， 的长，即可求解．
解：（1）如图1， ， ， ，
，
如图2，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，
绕点 按逆时针方向旋转 ，
，
，
， ，
又 ，，
直线 与 所夹锐角的度数为 ，
故答案为： ， ；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，
将 绕点 按逆时针方向旋转，
，
又 ，
，
， ，
又 ，
，
直线 与 所夹锐角的度数为 ．
拓展延伸：如图4，当点 在 的上方时，过点 作 于 ，
， ，点 是边 的中点， ，
， ， ，
， ，
，、 、 三点共线，
，
，
，
，
由（2）可得： ，
，
，
的面积 ；
如图5，当点 在 的下方时，过点 作 ，交 的延长线于 ，
同理可求： 的面积 ；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直
角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25．(1) (2) (3) 仍然成立，理由见分析
(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得 ，根据题意可得 ，
根据等原三角形的性质可得 平分 ，即可得 ，根据旋转的性质可知
；（2）证明 ，可得 ，根据等腰直角三角形可得 ，
由 ，即可即可得出 ；
（3）同（2）可得 ，过点 ，作 ，交 于点 ，证明
， ，可得 ，即可得出 ；
（4）过点 作 ，交 于点 ，证明 ，可得 ，
，在 中，勾股定理可得 ，即可得出
．
解：（1） 等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，
，
故答案为：
（2）
在 与 中，又
重合，
故答案为：
（3）同（2）可得
，
过点 ，作 ，交 于点 ，
则 ，
，
在 与 中，，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
即 ，
（4）过点 作 ，交 于点 ，
， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
， ，
中， ，
，
即 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，
相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解
题的关键．
26．（1）见分析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据SAS证明 ，进而即可得到结论；
（2）先证明 ，得 ，进而即可求解；
（3）在 上取一点F，使得 ，连结 ，可得 ，从而得
，可得 ， ，最后证明 ，即可
求解．
解：（1）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
（2）∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（3）如图，在 上取一点F，使得 ，连结 ．
∵ 平分 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
又∵ ，
∴∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅
助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．
27．（1）见分析；（2） ；（3）
【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解；
（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF=FC，AF=BF，通过证明
△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解；
（3）通过证明△ABH∽△ACB，可得AB2=AC×AH，设BD=m，AB=km，由勾股定理
可求AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．
解：证明：（1）∵
∴
∵ ,
∴
（2）设 ，
∴
∵ ，
∴
∵ 平分
∴
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ∽
∴∵ ，
∴ ∽
∴ ，且 ，
∴ ，即
∴
（3）∵ ，
∴ ，且
∴ ∽
∴
∴
设 ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，
灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．28．(1)见分析(2)26(3)
【问题解决】延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE，先证四边形ACBE是平行
四边形，再由∠ACB＝90°，得平行四边形ACBE为矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；
【应用探究】（1）连接DE，先证∠EDB＝2∠BCE，再由直角三角形斜边上的中线性
质得DE＝BE，则∠B＝∠EDB＝2∠BCE，再由三角形的外角性质即可求解；
（2）过E作EM⊥CF于M，过H作HN⊥GF于N，延长AD、FG交于点P，则四边形
ACFP、四边形ABGP是矩形，得PF＝AC＝11，AP＝BG，∠APF＝90°，再由正方形的性
质得AD＝AB＝4，FG＝BG＝BC＝AC﹣AB＝7，然后证HN是△PDF的中位线，得PN＝
FN＝ ，HN＝ PD＝ ，最后由勾股定理求解即可．
（1）解：证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE．
∵CD为斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE为矩形，
∴AB＝EC，
∴CD＝ CE＝ AB；
（2）解：如图2，连接DE，
∵点F是CE的中点，DF⊥CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵CE是中线，
∴AE＝BE，
∴DE＝ AB＝BE，∴∠B＝∠EDB＝2∠BCE，
∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝3∠BCE＝78°，
∴∠BCE＝26°，
故答案为：26；
（3）解：如图，过E作EM⊥CF于M，过H作HN⊥GF于N，延长AD、FG交于点
P，
则四边形ACFP、四边形ABGP是矩形，
∴PF＝AC＝11，AP＝BG，∠APF＝90°，
∵四边形ABED和四边形BCFG是正方形，
∴AD＝AB＝4，FG＝BG＝BC＝AC﹣AB＝11﹣4＝7，
∴AP＝BG＝7，
∴PD＝AP﹣AD＝7﹣4＝3，
∵HN⊥PF，AP⊥PF，
∴∠HNG＝90°，HN∥PD，
∵点H为DF的中点，
∴HN是△PDF的中位线，
∴PN＝FN＝ PF＝ ，HN＝ PD＝ ，
∴GN＝FG﹣FN＝7﹣ ＝ ，
在Rt△GHN中，由勾股定理得：GH＝ ，
故答案为： ．【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四
边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角
形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题
的关键．
