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专题27.3位似
一、知识点梳理
要点一、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
二、题型总结
【题型1 位似的定义】
【例1】．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形的定义判断即可.
【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中
的两个图形不是位似图形.
故选C.
【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个
相似多边形叫做位似图形.
【变式1-1】．下列各组图形中不是位似图形的是（）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义解答即可，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】根据位似图形的定义，可得A，B，C是位似图形，B与C的位似中心是交点，A的位似中心是圆心；D不是
位似图形．
故选D．
【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平
行．
【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，与 是位似图形的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质解答即可．
【详解】因为图③与△ABC这两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，所以与
△ABC是位似图形的是③．
故选C．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【变式1-3】．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位
似中心，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
【题型2 求两个位似图形的相似比】
【例2】．如图，在 外任取一点O，连接 ，并取它们的中点D，E，F，连接 ，得
，则下列说法错误的是（ ）．
A． 与 是位似图形 B． 与 是相似图形
C． 与 的周长比为1∶2 D． 与 的面积比为4∶1
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质，得出 与 是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 与
是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质可得：
A、 与 是位似图形，故A选项正确，不符合题意；
B、 与 是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
∵点D，E，F，为 中点，∴将 的三边缩小到原来的 得到 ，
∴ 与 的周长之比为2：1，故C选项不正确，符合题意；
∵面积比等于相似比的平方，
∴ 与 的面积之比为4：1，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
【变式2-1】．如图，四边形 和 是以点O为位似中心的位似图形，若 ，则四边形
与 的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似性质：位似比等于相似比，根据相似的性质：相似多边形的周长比等于相似比，结合这两个性质即
可得到结论．
【详解】解：∵四边形 和 是以点O为位似中心的位似图形， ，
∴ ，
∴四边形 和 的周长之比等于相似比，即 ，
故选A．
【点睛】本题考查位似图形的性质以及相似图形的性质，理解位似比等于相似比，相似多边形的周长比等于相似比是
解决问题的关键．
【变式2-2】．如图， 与 位似，点O为位似中心，已知 ， 的面积为1，则 的面
积是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C
【分析】根据 与 之比为相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵ 与 位似，
∴ 与 相似，
∵ ，
∴ ，
又∵ 的面积为1，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的有关概念和性质是解题的关键．
【变式2-3】．如图，小莉用灯泡O照射一个与墙面平行的矩形硬纸片 ，在墙上形成矩形影子 ，现测
得 ， ，纸片 的面积为 ，则影子 的面积为__________ ．
【答案】
【分析】根据位似图形的面积之比等于位似比平方进行求解即可．
【详解】解：由题意得，四边形 与四边形 位似，且位似比为 ，
∴四边形 的面积与四边形 的面积之比为 ，
∵纸片 的面积为 ，
∴影子 的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟知位似图形的面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
【题型3 画位似图形】【例3】．如图， 的项点都在网格点上，点M的坐标为 ．
(1)以点O为位似中心，把 按2∶1放大，在y轴的左侧，画出放大后的 ；
(2)点A的对应点D的坐标是_____________；
(3) _____________．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据位似变换的定义找到三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据图形即可得出答案；
（2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求．（2）解：观察图形，点A的对应点D的坐标是 ，
故答案为 ；
（3）解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．
【变式3-1】．如图，正方形网格中， 的顶点都在格点上．
(1)请用无刻度直尺，在线段 上找一点P，使 ；
(2)以点O为位似中心，在x轴下方画出 的位似图形 ，使 与 的位似比为 ．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理画图即可；
（2）根据 与 的位似比等于 ，可得 ，据此作图即可．
【详解】（1）解：如图，点 即为所作；
如图所示： ，
∴ ；
（2）如图： 即为所作．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及位似变换，熟练掌握相似三角形的性质以及位似图像的性质是解本
题的关键．
【变式3-2】．在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ．(1)画出 向左平移6个单位长度后得到的
(2)在 轴右侧画出以点 为位似中心，将 缩小为原来 后得到的
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据位似的性质作图，由图可得出答案．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）解：如图， 为所作；
．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根
据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变
换．【变式3-3】．已知： 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 、 、 （正方形网格中
每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)以点 为位似中心，在网格内画出 ，使 与 位似（点 与点 对应，点 与点 对应，点
与点 对应），且位似比为 ，点 的坐标是_________；
(2) 的面积是_________平方单位．
【答案】(1)作图见解析，点 的坐标是
(2)
【分析】（1）根据位似的定义画图即可，根据图象求解点 的坐标即可；
（2）证明 是等腰直角三角形，根据 计算求解即可．
【详解】（1）解：如图所示： 即为所求．点 的坐标是 ；（2）解：∵ 、 、
∴
∴ 是直角三角形，
∴
∴
∴ 的面积为10平方单位．
【点睛】本题考查了位似，勾股定理与网格问题，位似的性质．解题的关键在于理解位似的含义．
三、课后练习
1．下列说法正确的是( )
A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等
B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似
C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似
D．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似
【答案】D
【分析】两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似；但两个图形如果相似图形，它们不一定位似．
【详解】∵位似是相似的特殊形式，∴两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似，不一定全等．
A．两个图形如果是位似图形，那么它们不一定全等；故A错误；
B．两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似；故B错误；
C．两个图形如果相似图形，那么它们不一定位似；故C错误；
D．两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似；故D正确．故选D．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，两个图形如果是位似图形，它们不一定全等．
2．如图所示，下列图形中不是位似图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而C的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．
故选C．
3．点A,B,C,D都在如图所示的由正方形组成的网格图中,且线段CD与线段AB成位似图形,则位似中心为( )
A．点E B．点F
C．点H D．点G
【答案】B
【分析】根据位似图形对应点连线过位似中心判断即可．
【详解】
解：点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为点
F，
故选B．
【点睛】此题考查位似变换，解题关键是弄清位似中心的定义．
4．如图， 与 位似，点O为位似中心．已知 ，则 与 的面积比为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出相似比，然后根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的面积比为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键．
5．如图 与 是位似图形，位似比是 ，已知 ，则 的长是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．1
【答案】A
【详解】试题分析：位似图形就是特殊的相似图形，位似比就是相似比，根据位似图形的性质可知AB: DE =1:2，据
此解得AB=2．
故选A．
考点：位似图形的性质．
6．如图所示是 ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（ ）
△A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，
确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【详解】解：由位似图形的画法可得：前3个图形都是△ABC的位似图形．
故选C
【点睛】此题主要考查了位似变换，解题关键是正确把握位似图形的定义．
7．已知 与 是关于点 的位似图形，它们的对应点到 点的距离分别为 和 ，则 与 的
面积比为（ ）
A．3:4 B．9:16 C．3:7 D．9:49
【答案】B
【分析】由△ABC与△DEF是关于点P的位似图形，它们的对应点到P点的距离分别为3cm和4cm，可得
△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
【详解】∵△ABC与△DEF是关于点P的位似图形，它们的对应点到P点的距离分别为3cm和4cm，
∴△ABC△DEF，△ABC与△DEF的位似比为：3：4
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为9：16．
故选B．
【点睛】本题考查位似图形，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．熟练
掌握相关知识是解题关键.
8．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA∶OD＝1∶3，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为
（ ）A．6 B．9 C．18 D．27
【答案】C
【分析】先根据位似图形性质得到 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴ ，
∴ ＝（ ）2＝ .
∵ 的面积为2，
∴ 的面积为18，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质等，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题
的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′O．若点B
的坐标是（-2，1），则点B′的坐标是（ ）
A．（-2，4）
B．（-4，2）
C．（2，-4）
D．（4，-2）
【答案】D
【分析】根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以-2，即可得出点B′的
坐标．
【详解】根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以-2，点B的坐标是（-2，1），则点
B′的坐标是（4，-2）.故选D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解题关键．
10．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB
缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）
【答案】A
【详解】∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB
缩小为原来的 后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，2）．
故选：A．
【点睛】考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．
11．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2∶1，把△EFO缩
小，则点E的对应点E′的坐标是
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【答案】D
【详解】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选∶D．
12．如图,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,灯与三角尺的距离为2米,三角尺与投影面的距离为3米,
且三角尺的面积为24 cm2,则投影三角形的面积为____ cm2.
【答案】150【分析】利用位似变换的性质得到三角尺与其灯光照射下的中心投影相似，然后利用相似三角形的性质计算投影三角
形的面积．
【详解】解：∵三角尺与其灯光照射下的中心投影相似，
∴三角尺的面积：投影三角形的面积=（ ）2= ，
∴投影三角形的面积=24× =150（cm2）．
故答案为：150．
【点睛】本题考查位似变换,解题关键是如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相
平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OAB，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出
1 1
点A，B的对应点A，B 的坐标；
1 1
(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△OAB，并写出点A，B的对应点A，B 的坐标；
2 2 2 2 2
(3)△OAB 和△OAB 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 M，并写出点M的坐标．
1 1 2 2 2
【答案】（1）A（4，2），B（2，-4）； （2）A（0，2），B （-1，-1）；（3）△OAB 与△OAB 是关于点M
1 1 2 2 1 1 2 2 2
（-4，2）为位似中心的位似图形．
【详解】试题分析：（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；
（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．
试题解析：（1）如图所示，A（4，2），B（2，-4） ．
1 1
（2）如图所示，A（0，2），B （-1，-1）．
2 2
（3） OAB 与 OAB 是关于点M（-4，2），为位似中心的位似图形．
1 1 2 2 2
△ △14． 在边长为1的正方形网格中如图所示．
(1)以点C为位似中心，在网格图中画出 的一个位似 ，使它与 的相似比为2∶1．
(2)写出点 的坐标______，点 的坐标_______．
(3)求 的面积．
【答案】(1)见详解
(2) ，
(3)12
【分析】（1）根据网格图大小，可知 只能与 分在点C的两侧，延长 到 使 ，延长 到
使 ，连接 ，则 满足条件；
（2）结合网格图即可作答；
（3）采用割补法即可求解．【详解】（1）根据网格图大小，可知 只能与 分在点C的两侧，延长 到 使 ，延长 到
使 ，连接 ，作图如下：
即为所求；
（2）结合网格图和坐标系，可知： 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（3）根据网格图，采用割补法计算如下：
，
即 的面积为12．
【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表
原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同
时也考查了坐标与图形和利用割补法求解三角形面积的知识，掌握位似图形的画法是解答本题的关键．
