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专题26.4 实际问题与反比例函数
一、知识点梳理
要点一、利用反比例函数解决实际问题
1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决
问题.
2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的
系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的常见应用
1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
二、题型总结
【题型1 实际问题与反比例函数】
【变式1-1】．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比
例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据
表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
【变式1-3】．今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数
额，则每个月的付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( )
A．y＝ +2000 B．y＝ ﹣2000
C．y＝ D．y＝
【变式1-4】．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：
人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
【变式1-5】．随着私家车的增多，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上汽车的行驶速度y（千
米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当 时，y与x成反比例关系，当车速低
于20千米/时时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是
（ ）
A． B． C． D． .
【变式1-6】．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km h）满足函数关系：y
/ =
（k≠0），其图象为如图的一段曲线，若这段公路行驶速度不得超过60km h，则该汽车通过这段公路最少
需要______h． /【变式1-7】．某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x
（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天．
（1）求y关于x的函数表达式，并指出比例系数；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
【变式1-8】．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为
18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x
（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
【变式1-9】．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．
（1）假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
（3）在（2）的条件下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少
辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
【变式1-10】．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立
方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现
测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问
题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于
x的函数关系式为 ．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要
经过 分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气
中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【变式1-11】．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)
与时间 (时)的关系可近似地用二次函数 刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数 (k＞0)刻画(如图所示)．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?
②当 ＝5时，y＝45．求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不
能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能
否驾车去上班?请说明理由．
【变式1-12】．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)
之间是反比例函数关系s＝ (k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1
升的速度行驶，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
三、课后练习
1．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一
组实验数据：P与V的函数关系式可能是（ ）V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3
P（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32
A．P＝96V B．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176 D．P＝
2．用电器的输出功率 与通过的电流 、用电器的电阻 之间的关系是 ，下面说法正确的是
（ ）
A． 为定值， 与 成反比例 B． 为定值， 与 成反比例
C． 为定值， 与 成正比例 D． 为定值， 与 成正比例
3．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（p）与它的体
a
积v（m3）的乘积是一个常数k，即pv=k（k为常数，k＞0），下列图象能正确反映p与v之间函数关系的
是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处
用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为xm，g取10N/kg，则F关于x
的函数解析式为( )
A． B． C． D．
5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关
系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻
R应控制在A． B． C． D．
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（ ）
的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的
体积应（ ）
A．不小于 B．大于 C．不小于 D．小于
7．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时
水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自
动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温 和时间 的关系如图所示，
水温从100℃降到50℃所用的时间是（ ）
A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟
8．物理学告诉我们这样的事实：当压力F不变时，压强P和受力面积S之间是反比例函数关系，可以表
示成 ，如图，一个圆台形物体的上底面面积是下底面面积的 ，如果正放在桌面上，对桌面的压强
是200Pa，则反过来放时，对桌面的压强是_____．9．有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会
随之改变，密度ρ(kg/m3)是体积V(m3)的反比例函数，它的图象如图，当V＝2 m3时，气体的密度是
____kg/m3.
10．新学期开始时，有一批课本要从A城市运到B县城，如果两地路程为500米，车速为每小时x千米，
从A城市到B县城所需时间为y小时，那么y与x的函数关系式是__________．
11．家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变
化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比
例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻
增加 kΩ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？
12．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件
的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答
下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少
km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸
后多少小时才能下井？
13．如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间
为x分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为
15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间
x成反比例函数关系．
（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料
进行特殊处理所用的时间是多少？
