文档内容
专题05 图形的相似重难点题型专训（6大题型）
【题型目录】
题型一 比例的性质
题型二 线段的比
题型三 成比例线段
题型四 由平行判断成比例的线段
题型五 由平行截线求相关线段的长或比值
题型六 黄金分割
【知识梳理】
知识点一、线段的比与成比例线段
线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．
a c
四条线段 、 、 、 中，如果 = ，那么这四条线段 、 、 、 叫做成比例
成比例线段 a = c a = c a = c a = c b d d d d d
b d b d b d b d
线段，简称比例线段．
知识点二、比例的性质
基本性质 a c
= ⇔ad=bc
b d
合比的性质 a c a±b c±d
= ⇔ =
b d b d
等比性质 a c m a+c+⋯+m
= =⋯= =k(b+d+⋯+n≠0) =k
b d n ⇔ b+d+⋯+n
知识点三、黄金分割
AC BC
若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果 = ，这
AB AC
黄金分割
√5−1
时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为
≈0.618
．
2
知识点四、相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为 相似图形 (simila r figures) .
要点诠释：
相似图形
(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形是全等；
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
相似多边形
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
图形：
几何语言：
l4 l5
定理 A D
l1
∵l 1 ∥l 2 ∥l 3 ，
l2
B E AB DE
∴ = ， AB DE ， BC EF
BC EF = =
AC DF AC DF
l3
C F
平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
图形： 几何语言：
推论 A AD AE
∵DE∥BC，∴ = ，
E D DB EC
D E A AD AE BD CE
= ， =
B C B C AB AC AB AC
【经典例题一 比例的性质】
1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期末）若 （ ），则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2021上·福建福州·八年级校考期末）若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）若 ，则 的值为
．
4．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）设
，则k的值为 ．
5．（2023上·江苏南通·九年级统考阶段练习）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水
做“糖水实验”，也能验证发现一些数学结论．
(1)糖水实验一：
现有a克糖水，其中含有b克糖（ ），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为 ．加入m克水，则糖水的浓度为______．
生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”；
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不
等式”：______．
(3)糖水实验三：
请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若 ，则 成立．
【经典例题二 线段的比】
1．（2023下·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片 按照以下方法裁剪：剪去矩形
边 长的 ，边 长的 （称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形 （阴影部分）边 长的
， 长的 （称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原
矩形 的长宽比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·上海青浦·九年级校考期中）点 把线段 分割成 和 两段，如果 是 种 的比
例中项．那么下列式正确的个数有（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．43．（2021上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形
（底与腰的比为 的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝
8，则DE＝ ．
4．（2022上·广东佛山·九年级统考期末）如图，在 中， ，以点B为圆心， 长为半径
画弧，交线段 于点D；以点A为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点E，若E为 中点，则
．
5．（2023上·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：
如图1，在线段 上找一点C ，若 ，则称点C为线段 的黄金分割点，这
时比值为 ，人们把 称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特
别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在 中， 的长为2，过点E作 ，且 ，连接 ；以F为圆心， 长为半径作弧，交 于H；再以O为圆心， 长为半径作弧，
交 于点P．
根据材料回答下列问题：
(1)根据作图，写出图中相等的线段：________；
(2)求 的长；
(3)求证：点P是线段 的黄金分割点．
【经典例题三 成比例线段】
1．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（
）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
2．（2023上·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列四条线段中，不能成比例的是（
）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
3．（2022上·上海青浦·九年级校考期中）已知点P把线段 分割成 和 （ ）两段，如果
是 和 的比例中项，那么 的值等于 ．
4．（2022上·河南郑州·九年级统考期中）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心 为长 、宽
的矩形，装裱后整幅画为矩形 ，两矩形的对应边互相平行，且 与 的距离、 与
的距离都等于 当 与 的距离、 与 距离都等于 ，且矩形 ∽矩形 ，
整幅书画最美观此时， 的值为
5．（2022上·江苏南京·九年级校考阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段 ， 的长度分别是 ， ，那么就说两条线段的比 ，如果把 表示成比值 ，那么 或
．请完成以下问题：
(1)四条线段 ， ， ， 中，如果 ，那么这四条线段 ， ， ， 叫做成比例线段．
(2)已知 ，那么 成立吗？请说明理由．
(3)如果 ，求 的值．
【经典例题四 由平行判断成比例的线段】
1．（2023秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，直线 ，直线 、
分别与直线 、 、 相交于点 、 、 和点 、 、 ，若 ， ， ，则 （
）
A． B． C． D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 中， 为 边上一点，过 作 交 于 ，
为 的中点，作 交 于 ，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
3．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线 ，直线m与直线 、 、 分别交于点
A、D、F，直线n与直线 、 、 分别交于点B、C、E．若 ，则 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ，
，交 于点 ．若 ，则 的长是 ．
5．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在正方形 中，点G在对角线 上，不与点
B，D重合，连接 并延长交 于点E，连接 并延长交 于点M，过点D作 交 于点
P，交 于N，垂足为F．
(1)求证： ；
(2)求证： ；(3)若 ， ，求 的长．（用含a的式子表示）
【经典例题五 由平行截线求相关线段的长或比值】
1．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期中）如图，三条直线 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在 的边上， ， ，
，点M是 的中点，连接 并延长交 于点N，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）如图 中， 、 为 的三等分点， 为 的中
点， 与 、 分别交于 、 ，则 ．4．（2021秋·山西太原·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， ，求 的值
为 ．
5．（2023秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，已知直线 、 、 分别截直线 于点A、 、 ，截
直线 于点 、 、 ，且 ．
(1)如果 ， ， ，求 的长；
(2)如果 ， ，求 的长．
【经典例题六 黄金分割】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即；如图，
点 是线段 上一点 ，若满足 ，则称点 是 的黄金分割点，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长20
米，主持人从舞台一侧进入沿直线行走，设他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则 满足的方
程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，线段 ，在线段AB上找一点C，C把 分为 和
两段，其中 ，若 ，则点C就叫做线段 的黄金分割点，其中 （或 ）的值叫做
黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和
日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长 米，C，
D是线段 的黄金分割点（即 ， ），若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金
分割点D，则 的长为 米．（结果保留根号）
4．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后
一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是 的黄金分割点（ ），若线
段 的长为10cm，则 的长为 cm．（结果保留根号）5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
操作一：如图1，将矩形纸片 沿过点A的直线折叠，使点B落在 上的点E处，折痕为 ，把纸
片展平，连接 ；
操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为 ，把纸片展平；
操作三：如图3，连接 ，并把 折到 上的 处，得到折痕 ，把纸片展平，连接 ．
根据以上操作，直接写出图3中 的值：______；
(2)【问题解决】
请判断图3中四边形 的形状，并说明理由．
(3)【拓展应用】
我们知道：将一条线段 分割成长、短两条线段 ， ，若 ，则点P叫做线段 的黄金
分割点．
在以上探究过程中，已知矩形纸片 的宽 为 ，当点M是线段 的黄金分割点时，直接写出
的长．【重难点训练】
1．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，直线 ，直线 分别交直线a，b，c于A，B，
C和D，E，F，且 ， ，则 （ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
2．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着
“黄金分割”，如图， 为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为 ，那么 的长度是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·山西运城·九年级统考期中）宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金
矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形 ， 的中点E，F，
连接 ，以 为半径画弧，交 的延长线于点G，交 的延长线于点H．则图中共有几个黄金矩形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如图，正方形 的边长为4， 为 边中点，
为 边上一点，连接 ， ，相交于点 ．若 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·浙江·九年级周测）如图， 中， ， ， ， 的平分线交
于点D，与 的垂线 相交于点E，过点D作 于点F，则 为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如果两个相似三角形的最长边分别是 和
，它们的周长之差为 ，那么这两个三角形的周长之和是 ；
7．（2023上·上海松江·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
，则 重心的坐标是 ．8．（2023上·浙江金华·八年级统考期中）如图，在 中， ，点D，E，F分别在
边 上，连结 ，已知点B和点F关于直线 对称．若 ，则 ，
.
9．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在平行四边形 中，点 是 上的点， ，
直线 与 相交于点 ，交 的延长线于点 ，若 ，则 的值为 ．
10．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，矩形 中， ， ．将矩形 分成
矩形 和矩形 ．
（1）若矩形 与矩形 相似，则 的长是 ；
（2）若矩形 与矩形 相似（两矩形全等的情况除外），则 的长是 ．
11．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）已知线段 、 、 ，满足 ．且 ，求
的值．12．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程
的两根互为相反数的条件是 ．
（2）已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的两倍，那么新矩
形的长是 ？
（3）阅读下列材料，完成探究与运用．
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米
与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程 ，…．
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
由 ，
从而可得： ，解得 ，经检验 是原方程的解，…．
请用上述规律，解分式方程 ．
13．（2023上·上海·九年级校联考阶段练习）如图，正方形纸片 ．现对纸片做如下操作：第一步，
对折纸片，使边 与 重合，得到折痕 ；第二步，将 折叠，得到折痕 ；第三步，将
折叠，使顶点 落在折痕 上点 处．
(1)求证：点 恰为线段 的黄金分割点；
(2)现有矩形纸片 ，其中 ，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个 的角．要求写
出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明 角的位置，不需要证明．14．（2023上·四川内江·九年级统考期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的
平面图可看作宽与长的比是 的矩形，我们将这种宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．如图①，
已知黄金矩形 的宽 ．
(1)黄金矩形 的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以 为边的正方形 ，得到新的矩形 ，猜想矩形
是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接 ，求点 到线段 的距离．
15．（2022上·山西运城·九年级统考期中）阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比
例．”进行了证明．
如图，在 中，D，E是边 ，且 ．求证： ．
证明：如图，分别连接 ．设点E到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
， …
任务：
(1)请补全以上证明过程．
(2)应用以上结论解答问题：如图，在 中， ， ，求证： ．
