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专题 15 角
【思维导图】
◎考点题型1 角的概念
（1定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止
位置OB是角的终边．
备注：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，
所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
例．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）如图，下列说法错误的是（ ）A． 也可用 来表示
B． 与 是同一个角
C．图中共有三个角： ， ，
D． 与 是同一个角
变式1．（2022·河南信阳·七年级期末）钟表上，下午3：40时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度
数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
变式2．（2022·山东威海·七年级期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠B与∠CBA表示同一个角 B．∠α可以用∠O表示
C．∠ACO是∠ACB与∠OCB的差 D．∠1可以用∠ACO表示
变式3．（2022·广西贺州·七年级期末）如图，从 的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有
（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
◎考点题型2 角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
图1备注：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字
母．
例．（2022·山东临沂·七年级期中）如图，下列各个图形中，能用 ， ， 三种方法表示同一个
角的图形是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，下列说法不正确的是（ ）
A．∠BAC和∠DAE是同一个角B．∠ABC和∠ACB不是同一个角
C．∠ABC可以用∠B表示D．∠AED可以用∠E表示
变式2．（2021·河北承德·七年级期末）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A． 与 是同一个角B． 也可用 来表示
C．图中共有三个角： ， ， D． 与 是同一个角
变式3．（2022·安徽亳州·七年级期末）下列角中，能用 ， ， 三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型3 角的分类
例．（2022·山东枣庄·七年级期末）下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）连接两点间的线段叫做这两点间的距离；
（3）射线 与射线 是同一条射线；
（4）射线比直线小一半；
（5）平角是直线．
其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
变式1．（2022·湖南娄底·七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（ ）
A．8个锐角，6个直角，2个钝角 B．12个锐角，9个直角，2个钝角
C．8个锐角，10个直角，2个钝角 D．6个锐角，8个直角，2个钝角
变式2．（2020·重庆·七年级阶段练习）如图，直线 与直线CD交于点O， 于点O，则 与
的关系是（ ）
A．互为对顶角B．相等C．互补D．互余变式3．（2021·江苏·七年级专题练习）将一个直角分成1:2:3的三个角，那么这三个角中，最大的角与最
小的角相差（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
◎考点题型4 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线 OA的方向是北偏东60°；射线OB的
方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
备注：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点
的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
例．（2021·河北承德·七年级期末）如图，∠AOB=34.3°，点A位于点O的（ ）
A．南偏东34.3°方向上B．北偏西55°42′方向上
C．南偏东55°42′方向上D．北偏西55°18′方向上
变式1．（2020·江苏·苏州市吴江区实验初级中学七年级开学考试）船的停靠点在指定地点的南偏西 的
方向上，下面选项中，正确的是（ ）A． B． C． D．
变式2．（2022·湖南娄底·七年级期末）如图，点B在点A北偏东60°的方向，点C在点B北偏西30°的方
向，且 ，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．6cm B．12cm C．3cm D．24cm
变式3．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，点A位于点O的（ ）
A．北偏西 方向上B．南偏西 方向上C．北偏西 方向上 D．南偏西 方向上
◎考点题型5 钟面角
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转
30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
例．（2022·山东青岛·七年级期末）下午3：40，时针和分针的夹角是（ ）
A．130° B．135° C．140° D．145°
变式1．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）每天中午12点30分是“校园之声”节目都会如约而至，此时时
针与分针所夹的的角为( )
A． B． C． D．
变式2．（2022·山东滨州·七年级期末）2点半时，时针与分针所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·山西阳泉·七年级期末）小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此
时时钟的分针与时针所成角的度数是（ ）A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°
◎考点题型6 角的度量
角度制及其换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°
1 1
的60为1分，记作“1′”，1′的60为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫
做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
备注：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，
从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进
位．
例．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）若 ，则 用度、分、秒表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期末）下面等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2022·河北唐山·七年级期末）用度、分、秒表示20.21°为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·安徽铜陵·七年级期末）下列关系式正确的是 （ ）
A．45.5°=45°5′ B．45.5°=45°50′ C．45.5°<45°5′ D．45.5°>45°5′
◎考点题型7：角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：
∠1＝∠AOB-∠2．备注：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度
尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，
120°，135°，150°，165°的角．
备注：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
例．（2021·全国·七年级专题练习）下列度分秒运算中，正确的是（ ）
A．48°39′+67°31′＝115°10′
B．90°﹣70°39′＝20°21′
C．21°17′×5＝185°5′
D．180°÷7＝25°43′（精确到分）
变式1．（2018·全国·七年级单元测试）有两个角，它们的比为 ，它们的差为 ，则这两个角的关系
是（ ）
A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．以上答案都不对
变式2．（2016·湖北恩施·七年级期末）计算15°23′×4的结果是（ ）
A．60°92′ B．60.92° C．60°32′ D．61°32′
变式3．（2014·全国·七年级课时练习）已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 （α+β）的结果
依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人计算正确，他是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
◎考点题型8 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是
1
∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = 2 ∠AOB．例．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）如图， ，EF平分 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山东烟台·七年级期中）如图，直线 ，直线c分别交a，b于点A，C， 的平分线
交直线b于点D，若 ，则 的度数是（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
变式2．（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在 中，∠ABC =36°，CB平分∠DCE，则∠AEC
的度数为（ ）
A．36° B．52° C．72° D．108°
变式3．（2022·云南昭通·七年级期中）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE，
，则∠BOE的度数为（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型9 余角和补角
1、余角和补角定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
2、余角和补角性质：（1）等角的余角相等．（2）等角的补角相等．
备注：
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐
角的补角比它的余角大90°。
例．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，把一块含 直角三角板的直角面点放在直尺的一边上，如果
，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图，直线 ，c是截线．若∠2＝5∠1，则
∠1的余角的度数为（ ）
A．60° B．30° C．40° D．150°
变式2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）已知 ，则 的补角等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·陕西咸阳·七年级期中）若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足
（ ）
A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3
◎考点题型10 角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
例．（2022·河南驻马店·七年级期末）在 的内部任取一点C，作射线 ，则一定存在（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正
确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
变式2．（2022·北京石景山·七年级期末）图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2020·河北保定·七年级期末）已知 ， ， ，下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
◎考点题型11 尺规作图--作线段
“作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线
段．
例．（2022·贵州铜仁·七年级期末）（1）如图，点C在线段AB上，线段 ，点M、N
分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
（2）对于（1），如果叙述为：“已知线段 ，点C在直线AB上，点M、N分别是
AC、BC的中点，求线段MN的长．”，结果会有变化吗？如果有，画出图形，求出结果．
变式1．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）如图．已知三点A．B．C．
(1)画直线AB．
(2)画射线BC．
(3)画线段AC．
变式2．（2022·福建福州·七年级期末）如图，点C是线段AB外一点．按下列语句画图：
(1)画射线CB；
(2)反向延长线段AB；
(3)连接AC；
(4)延长AC至点D，使 ．
变式3．（2022·吉林松原·七年级期末）如图，已知平面内的四点 、 、 、 ．请你按下列语句画图：(1)连接
(2)作射线
(3)作直线
(4)线段 与 相交于点 ．
(5)反向延长 到 ，使 ．
◎考点题型12 尺规作图--作角
特殊角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
例．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，将一副三角板摆放在一起，∠CBA=30°，∠CBD=45°．
(1)求∠ABD的度数；
(2)按题意画出图形∶延长线段 CB到E，使BE＝BD，BF为∠ABE的角平分线；
(3)在（2）的前提下，直接写出图中以点B为顶点的所有的角中互余的角．
变式1．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角．
变式2．（2021·安徽宣城·七年级期末）（1）请在给定的图中按照要求画图：①画射线AB；
②画平角∠BAD；
③连接AC．
（2）点B、C分别表示两个村庄，它们之间要铺设燃气管道．若节省管道，则沿着线段BC铺设．这样做
的数学依据是： ．
变式3．（2021·全国·七年级课时练习）凭你的感觉画出 的角，再用量角器量一量，
你画的准确度如何？
