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专题 27.1 图形的相似
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;
2.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比.
一、比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段 长度分别是 ，那么就说这两条线段的比是 ，
或写成
2．成比例线段：对于四条线段 ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 （ 称为 的比例中项）．
二、黄金分割比
1.黄金分割的定义：点 把线段 分割成 和 两段,如果 ,那么线段 被点 黄金分割，
点 叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比.
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注意： ( 2 叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段 ，按照如下方法作图：
（1）经过点 作 ，使 .
（2）连接 ，在 上截取 .
（3）在 上截取 .则点 为线段 的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
D
E
A B
C
三、相似图形
1.相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形
注意：①相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
2.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
四、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.A B
几何语言： C D
E F
图一
如图一:直线 .直线 分别交 于，若 .则
拓展：
①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
如图一:直线 ，直线 分别交 于 .且
距离为 ,若 ,则
②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
如图二:在 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A
D E
B C
图二
③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
如图三:在梯形 中， 为 中点， 交 于点 ，则
A D
E F
C
B
图三
五、平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.如图四，在 中， ,则
如图五，在 中， 交 延长线于 ,则
（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角
形的三边对应线段成比例
如图四，在 中， ，则
如图五，在 中， 交 延长线于 ，则
考点01成比例线段的概念
例1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
变式1-1．下列四条线段 中，不是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-2．已知 是比例线段，若 ，则 .
变式1-3．若线段 ，线段c是线段 a，b的比例中项， 则线段c的长度是
考点02比例的性质（比值问题）
例2．若 ，则 ．变式2-1．若 ，则 的值为 ．
变式2-2．已知 ，则 ．
变式2-3．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．5
考点03比例的性质（三角形问题）
例3．已知a，b，c为 的三边，且 ，则k的值为（ ）
A．1 B． 或 C． D．1或
变式3-1．已知三角的三边a、b、c满足 ，且三角形的周长为26，则该三角形的最大边长为
．
变式3-2．已知 ， ， 是 的三边长，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 的周长为 ，求三边 ， ， 的长．
变式3-3．已知 是 的三边，且满足 ，试判断 的形状，
并说明理由．
考点04黄金分割
例4．若点P为线段 的黄金分割点，且 ， ，则 ．
变式4-1．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，P为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为10cm，则 的长度为 cm（结果保留根号）．
变式4-2．人体的正常体温是 左右，有关科学研究表明，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人
体感觉最舒适．这个气温的度数约为 （精确到 ）．
变式4-3．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段
分割成长、短两条线段 、 ，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即
（此时线段 叫做线段 、 的比例中项），这种分割称为黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割
点．如图，若设线段 ，点 是 的黄金分割点，则 的长为 （用含根号的式子表示）．
考点05平行线分线段成比例（“#”字型）
例5．如图， ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式5-1．如图， ，若 ， ， ，则 的长等于（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
变式5-2．如图，己知直线 ，分别交直线 于点A，B，C和点D，E，F，若 ，
则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
变式5-3．如图，直线 ，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若
， ．求 的长．
考点06平行线分线段成比例（“X”字型）
例6．如图，已知 ， ，则 的长为（ ）A．8 B．2 C．4 D．10
变式6-1．如图所示，直线 ，另两条直线分别交 于点 及点 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
变式6-2．如图，已知直线 ，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式6-3．如图，已知直线 、 、 分别交直线 于点 、 、 ，交直线 于点 、 、 ，且
，如果 ， ，那么 ．
考点07平行线分线段成比例的推论（“A”字型）
例7．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且不与 的顶点重合，下列条件中，一定能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ， ，交 于点 ．
若 ，则 的长是 ．
变式7-2．如图，点D、E分别在 的边AB，AC上， ，点G在边BC上，AG交DE于点H，
点O是线段AG的中点，若 ，则 ．
变式7-3．阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比
例．”进行了证明．如图，在 中，D，E是边 ，且 ．求证： ．
证明：如图，分别连接 ．
设点E到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
， …
任务：
(1)请补全以上证明过程．
(2)应用以上结论解答问题：如图，在 中， ， ，求证： ．
考点08平行线分线段成比例的推论（“8”字型）
例8．如图，在平行四边形 中 为 的中点， 为 上一点， 与 交于点 ， ，
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．变式8-1．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果 ，且
， ，那么 .
变式8-2．如图，在平行四边形 中，点 是 上的点， ，直线 与 相交于点 ，交
的延长线于点 ，若 ，则 的值为 ．
变式8-3．已知 ，点E是 延长线上一点， 与 ， 分别相交于点G，F．求证：
．
考点09平行线分线段成比例（判断比例式）
例9．如图， ，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ）A． B． C． D．
变式9-1．如图， 是 的中线，E是 上一点， ，连接 并延长交 于点F，则
为（ ）
A． B． C． D．
变式9-2．如图， ，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式9-3．如图，在 中， ， ，则下列比例式中正确的是（ ）A． B． C． D．
考点10相似多边形
例10．下列图形是相似多边形的是（ ）
A．所有的等边三角形 B．所有的矩形
C．所有的菱形 D．所有的平行四边形
变式10-1．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个
图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组
是（ ）
A． B． C． D．
变式10-2．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国
旗是（ ）
A． B．
C． D．变式10-3．如图，在菱形 中， ，点E、F是对角线 上的点（点E、F不与
B、D重合），分别连接 若四边形 是菱形，且与菱形 是相似菱形，那么菱
形 的边长是 ．（用a的代数式表示）．
考点11相似多边形的性质
例12．如图，已知五边形 五边形 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式12-1．如图，在矩形 中， ，点 分别在 、 边上，且 ，若矩形
矩形 ，且面积比为 ，则 长为（ ）
A．20 B．18 C．12 D．9
变式12-2．如图，四边形 四边形 ．则y（即 ）的长为 ．变式12-3．已知矩形 中， ，在 上取一点E，将 沿 向上折叠，使B落在 上的
F点．则
（1） ；
（2）若四边形 与矩形 相似，则 ．
基础过关练
1．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 表示的数是
（ ）
A．2 B．3 C． D．4
2．若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
3．如图， ， ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．在比例尺为 的地图上量得 两地的图上距离 ，则 两地的实际距离为（ ）m
A． B． C． D．
5．已知 ， ，那么 ．
6．如图， 是 的中线，点E在 上， 交 于点F．当 时， ．
7．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了
黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段 的黄金分割点（ ）， ，
则 ．（结果保留根号）8．如图，在 中，D为 的中点，过点D作 交 于点F，交 的延长线于点E，若点F
恰好为 的中点， ，则 ．
9．已知，线段a，b，c，且 ．
(1)求 的值．
(2)设 ，线段a，b，c满足 ，求k的值．
10．如图，在四边形 中，点E，F分别在边 上，连结 平分 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
11．如图，在 中，点D是 边上的一点， ．
(1)尺规作图：作直线 交 于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的长．12．如图，直线 ，且直线 分别截直线 于点 ， ， ，截直线 于点 ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长．
能力提升练
1．如图，正五边形 的几条对角线的交点分别为 ，它们分别是所在对角线的黄金分割
点．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，珍珍在横格作业纸（横线等距）上画了个“ ”，与横格线交于 ， ， ， ， 五点，若线
段 ，则线段 （ ）A． B． C． D．
3．如图，矩形 的顶点A，B分别为反比例函数 与 的图象上，点C，D在x
轴上， ， 分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．4
4．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O， ，过点O作 交 于点
E，连接 ．已知 ， ，则 的周长是 ．
5．如图，已知四边形 是 的内接正方形， 于H， 且 ，则
．6．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，则 重心的坐标是 ．
7．如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，连接 ， 交于
点
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若点P恰好落在以 为直径的圆上，求 的值．
8．如图， 是 的直径，C是 上一点，过点C作 的切线 ，交 的延长线于点D，过点A
作 于点E．
(1)若 ，求 的度数；(2)若 ，求 的长．
