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专题27.43 《相似》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对
应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形
的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位
似变换后点的坐标的变化；
4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力
和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【要点梳理】
【知识点一】成比例线段
1、定义：四条线段 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这
四条线段 叫做成比例线段，简称比例线段。
2、性质：
（ 1 ） 基 本 性 质 ： 如 果 ， 那 么 ； 反 之 ， 若
，那么
（2）等比性质：如果 ，那么
（3）合比性质：如果 ，那么 ，
【知识点二】平行线分线段成比例
1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
【知识点三】相似多边形
1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比
2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【知识点四】相似三角形
1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
2、判定：
（1）两角分别相等的两个三角形相似
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
（3）三边成比例的两个三角形相似
3、性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【知识点五】黄金分割
把线段 分成两条线段 和 ，如果 ，那么称线
点
段 被点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比，
即
【知识点六】位似图形
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 , 所在的直线都经过同
一点 ，且有 = ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 叫做位
似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描
出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同
，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比
一个数
为
【典型例题】
类型一、成比例线段和平行线分线段成比例
1．已知三条线段 满足 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=
【分析】（1）设 ，用含k的代数式分别表示出 ，再由
a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出 的值．
（2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到d2=ab，代入计算
求出d的值．
解：（1）解：设
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵线段 是线段 和 的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d= ．
【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设 法”用 表示出 、 、 可
以使计算更加简便．【变式1】已知 ，且 ，求 的值
【答案】 ， ， ．
【分析】根据比的性质，可得a，b，c用k表示，根据解方程，可得k的值，即可得
答案．
解：∵ ， ，
∴设 ， ， ，
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∴ ， ， ．
【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出 ， ， 是解题
关键．
【变式2】如图所示，以长为2的定线段 为边作正方形 ，取 的中点P，
连接 ，在 的延长线上取点F，使 ，以 为边作正方形 ，点M在
上．
（1）求 的长；
（2）点M是 的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1） = ， = ；（2）是，理由见分析
【分析】（1）要求 的长，只需求得 的长，又 ，
，则 ， ；
（2）根据（1）中的数据得： ，根据黄金分割点的概念，则点 是
的黄金分割点．解：（1）在 中， ， ，
由勾股定理知 ，
，
．
故 的长为 ， 的长为 ；
（2）点 是 的黄金分割点．
由于 ，
点 是 的黄金分割点．
【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段
AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行
判断．
2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l、l 于点A、B、C和D、E、F．
1 2
若 ，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【答案】(1) 4 10 (2) 9
（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得 ，从而
可得 ，再由AC=14即可求出AB的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出BH及HE的
长，然后即可得出BE的长．
解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴ ，
∴ ，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴ ，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条
直线，所得的对应线段成比例．
【变式1】如图，已知AD BE CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、
E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求 的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【答案】（1） ；（2）11
【分析】（1）根据AD BE CF可得 ，由此计算即可；
（2）过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线
分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
解：（1）∵AD BE CF，
∴ ，
∵AB=6，BC=8，
∴ ，
故 的值为 ；
（2）如图，过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，
∵AG DF，AD BE CF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BE CF，
∴ ，
∴ ，
解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH
是解决问题的关键．
【变式2】如图，在 中，点 是边 上的一点.
（1）请用尺规作图法，在 内，求作 ，使 ， 交 于 ；
（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的值.
【答案】（1）见分析；（2） .
【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为
圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧
交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
解：(1)如图所示；
(2)∵ ，
∴ .
∴ .
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.
类型二、相似三角形判定和性质
3．如图，在 中， ， 是边 上的中线， 垂直平分 ，
分别交 ， 于 ， ，连接 ， ．
(1) 求证： ．
(2) 当 ， 时，求线段 的长．
【答案】(1)见分析(2)
【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得
， ， ，再根据三角形全等的判定定理证出
，根据全等三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后根据
相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见分析），延长 至 ，使 ，连接 ， ，先根据线段垂
直平分线的判定与性质可得 ，再根据三角形全等的判定定理证出 ，
根据全等三角形的性质可得 ， ，然后根据平行线的判定与性质可得
，最后在 中，利用勾股定理即可得．
（1）证明：∵ 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ．
则 垂直平分 ，
，
是边 上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平
分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
【变式1】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB
的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求 的值．
【答案】（1）见分析（2）见分析（3）
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得 ADC∽△ACB，然后由
相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD． △
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可
证得CE= AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
（3）易证得 AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值，从而
△
得到 的值．
（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB•AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE= AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）解：∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴ ．
∵CE= AB
∴CE= ×6=3．
∵AD=4
∴
∴ ．
【变式2】如图，在△ABC中，
（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求
写作法）．
（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．
【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析；
【分析】（1）①以C为圆心，任意长为半径画弧，交CB、CA于E、F；②以A为圆心，CE长为半径画弧，交AB于G；③以G为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于H；④
连接AH并延长交BC于D，则∠BAD=∠C；（2）证明△ABD∽△CBA，然后根据相似三
角形的性质得到结论．
解：（1）如图，∠BAD为所作；
（2）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B
∴△ABD∽△CBA，
∴AB：BC=BD：AB，
∴AB2=BD•BC．
【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的
垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．
4．如图，在 中，过点C作 ，E是AC的中点，连接DE并延长，
交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
求证：四边形AFCD是平行四边形．
若 ， ， ，求AB的长．
【答案】 证明见分析； ．
【分析】 由E是AC的中点知 ，由 知 ，据此根据
“AAS”即可证 ≌ ，从而得 ，结合 即可得证；证 ∽ 得 ，据此求得 ，由 及 可
得答案．
解： 是AC的中点，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
又 ，即 ，
四边形AFCD是平行四边形；
，
∽ ，
，即 ，
解得： ，
四边形AFCD是平行四边形，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为
E，交AC于点F.求证：(1) △ABF∽△BED； (2) 求证： .
【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析.
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∵BE⊥DC，
∴∠FEC=∠BED，
由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，
∴△BED∽△CEF，
∴△ABF∽△BED；
（2）∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∵△ABF∽△BED，
∴ ，
∴ .
【变式2】如图，已知▱ABCD．
（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不
写作法）
（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；
（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2
分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据
平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得
∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四
边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．
解：（1）如图所示：
；
（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠B=∠D，
∴∠DAE=∠D；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△AFD，
∴ = ，
∵E为BC的中点，∴BE= BC= AD，
∴EF：FA=1：2．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四
边形的性质是关键．
5．如图，在 中，点 、点 分别在 、 上，点 是 上的一点，
联结 并延长交 于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）证明 和 相似，即可证明．
（2）先证明 ∽ ，再证明 ∽ ，得到 ，即
可证明．
（1）证明： ， ，
∽ ，
∴
．
（2）证明： ， ，
∽ ，
，
，
又∵ ，
，
，，
∽ ，
，
，
．
【点拨】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边
成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相
等”的形式．
【变式1】已知 ， 平分 交 于 ，交 于 ．
(1) 求证： ；
∽
(2) 连接 ，若 ， ， ，求 的长度．
【答案】(1)见分析(2)11
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明；
（2）由（1）的结果和平行线的性质证明 ，进而可得 为等腰三角
形，最后证明 并结合相应的计算即可解∽答．
（1）证明： ∽ 平分 ，
，
又 ，
；
（2）解：∽ ，
∽
，
，
，
， ，
∽，
平分 ，
∴∠DAG=∠CAG，
，
∴ 为等腰三角形，
，
，即 ，
解得： ，
，
， ，
，
∽
，
，
．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等
腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．
【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；
(1) 求AE的长．
(2) 求证：△ADE∽△DFE．
【答案】(1)9(2)见分析【分析】（1）依题意得出∠ADE＝∠CFD，∠C＝∠A，据此可得出△ADE∽△CFD，
由相似的性质即可得出答案；
（2）由 ，及∠A＝∠EDF，可证得△ADE∽△DFE．
（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C＋∠CFD＋∠CDF＝180°，∠EDF＋∠ADE＋∠CDF
＝180°，
∴∠ADE＝∠CFD，
∵∠C＝∠A，
∴△ADE∽△CFD，
∴ ，
∵CF＝4，CD＝AD＝6，
∴ ，
∴AE＝9．
（2）证明：∵AE＝9，AD＝6，
∴ ，
∵△ADE∽△CFD，
∴ ，
∴ ，
∵∠A＝∠EDF，
∴△ADE∽△DFE．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据
相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．
类型三、相似三角形拓展与提升
6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向
以每秒 cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度
向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1) 如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2) 如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？
【答案】(1)当t＝2时，PQ⊥BC(2)当t的值为 时，四边形QPCP′为菱形
【分析】（1）根据勾股定理求出 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
（2）作 于 ， 于 ，证明出 为直角三角形，进一步得出
和 为等腰直角三角形，再证明四边形 为矩形，利用勾股定理在
、 中，结合四边形 为菱形，建立等式进行求解．
（1）解：（1）如图①，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝ ＝ （cm），
由题意得，AP＝ tcm，BQ＝tcm，
则BP＝（4 ﹣ t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQ AC，
，，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，PQ⊥BC．
（2）解：作 于 ， 于 ，如图，
， ，
， ，
为直角三角形，
，
和 为等腰直角三角形，
， ，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，四边形 为菱形，
，
，
， （舍去）．
的值为 ．
【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，
线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
【变式1】已知，点 、 、 、 分别在正方形 的边 、 、 、
上．
(1)如图1，当四边形 是正方形时，求证： ；
(2)如图2，已知 ， ，当 、 的大小有_________关系时，四边
形 是矩形；
(3)如图3， ， 、 相交于点 ， ，已知正方形 的
边长为16， 长为20，当 的面积取最大值时，判断四边形 是怎样的四边
形？证明你的结论．
【答案】(1)见分析(2) (3)平行四边形，证明见分析
【分析】（1）利用平行四边形的性质证得 ，根据角角边证明
．
（2）当 ，证得 ， 是等腰直角三角形，
∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边形EFGH是矩形．
（3）利用正方形的性质证得 为平行四边形，过点 作 ，垂足为点
，交 于点 ，由平行线分线段成比例，设 ， ， ，则可表示
出 ，从而把△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．
解：（1）∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（2） ；证明如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴ ，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
（3）∵四边形 为正方形，
∴ ．
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形．
∴ ．
∴ ．
过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
∴ ．
∵ ，
设 ， ， ，则 ，
∴ ．
∴ ．
∴当 时， 的面积最大，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线
分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有
一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．
【变式2】已知点 在正方形 的对角线 上，正方形 与正方形 有
公共点 ．(1)如图1，当点 在 上， 在 上，求 的值为多少；
(2)将正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，如图2，求： 的值为多
少；
(3) ， ，将正方形 绕 逆时针方向旋转 ，
当 ， ， 三点共线时，请直接写出 的长度．
【答案】(1)2(2) (3) 或
【分析】（1）根据题意可得 ，根据平行线分线段成比例即可求解；
（2）根据（1）的结论，可得 ，根据旋转的性质可得 ，
进而证明 ，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及
勾股定理即可得出答案．
（1）解： 正方形 与正方形 有公共点 ，点 在 上， 在 上，
四边形 是正方形
（2）解：如图，连接 ，正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，
，
（3）解：①如图，
， ，
, , ，
三点共线，
中， ，
，
由（2）可知 ，
，
．
②如图：由（2）知 ADG∽△ACE，
△
∴ ，
∴DG= CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8 ，AC= ，
∵AG= AD，
∴AG= AD=8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG= ，
∴CE=CG+EG=8 +8，
∴DG= CE= ．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为 或 ．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，
勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似
7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点
均为小正方形的顶点.
⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为
1：2
⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）
【答案】（1）见分析；（2） .
【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出各边的长度即可得出答案．
解：⑴如图.
（2）AA′=1，CC′=2．
在Rt△OA′C′中，OA′=1，OC′=2，得A′C′= ,
在Rt OAC′中，OA=2，OC=4，得AC= ,
△
∴四边形AA′C′C的周长= .
【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应
点位置是解题关键．
【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，
4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△ABC ，使得△ABC 与△ABC的
1 1 1 1
位似比为2；
(2)直接写出点A 的坐标和△ABC 的面积．
1 1 1
【答案】(1)见分析(2) ，22
【分析】(1) 以点B为位似中心，使得△ABC 与△ABC的位似比为2，延长BA到
1 1
A，使BA=2BA，延长BC到C ，使BC =2BC，再顺次连接即可；
1 1 1 1
（2）利用割补法求解可得．
解：(1)以点B为位似中心，使得△ABC 与△ABC的位似比为2，延长BA到A，使
1 1 1
BA=2BA，延长BC到C ，使BC =2BC，连接AC ，△ABC 为所求△ABC的位似图形；
1 1 1 1 1 1 1
(2)如图所示 ： ；
=48-12-6-8=22．
【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，正确得出对应点的位置是解题的关
键．
【变式二】如图， 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为 ，
， （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点 为位似中心，把
按相似比2：1放大，得到对应 ．(1)请在第一象限内画出 ；
(2)若以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点
的坐标．
【答案】(1)见分析(2) ； ；
【分析】（1）根据点 为位似中心， ， ， ，把 按相似比
2：1放大，得到对应 ，求出点 ， ， 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；
（2）设D(x,y)，根据平行四边形的对角线互相平分与 ， ， ，得
到当AC为对角线时， x+2=1+5，y+1=2+3，推出x=4，y=4，得到 ；当BC是对角
线时，推出x+1=2+5，x=6，y+3=1+2，y=0，得到 ，当AB为对角线时，推出
x+5=1+2，x=-2，y+2=3+1，y=2，得到 ．
解：(1)∵点 为位似中心， 按相似比2：1放大，得到对应 ，
∴ ,
∵ ， ， ，
∴ （2,6）， （4,2）， （10,4），
在网格图中顺次连接各点得到 ，如图；(2)设D(x,y)，
∵平行四边形的对角线互相平分，且 ， ， ，
∴当AC为对角线时，AC中点的横坐标为 ，纵坐标为 ，BD中点的横坐标为
，纵坐标为 ，
∴x+2=1+5，y+1=2+3，
∴x=4，y=4，
∴ ，
同理，
当BC是对角线时，x+1=2+5，x=6，y+3=1+2，y=0，
∴ ，
当AB为对角线时，x+5=1+2，x=-2，y+2=3+1，y=2，
∴ ，
综上， ； ； ．
【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似
三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．
