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专题27.44 《相似》全章复习与巩固（基础篇）
一、单选题
1．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（ ）
A．50cm B．500cm C． D．
2．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝6，BD＝2，若△ADE的面积是27，则
△ABC的面积是（ ）
A．24 B．36 C．48 D．52
3．已知，点P是线段 的黄金分割点（ ），若线段 ，则线段
的长是（ ）
A． cm B．（ ）cm C．（ ）cm D．（ ）cm
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，
根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论不正确的是 （ ）
A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正五边形都相似
6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，E是BC的中点，AD
BC，AE DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（ ）A．四边形AECD的周长是20 B．△ABC∽△FEC
C．∠B＋∠ACD＝90° D．EF的长为
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中
心画 OA′B′，使它与 OAB的相似比为1：4，则点A的对应点的坐标是（ ）
△ △
A．（ ，1） B．（ ，﹣1）
C．（ ，1）或（ ，﹣1） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
8．如图， 斜边和矩形ABCD边AD重合，AG、DG分别交BC于E、F，
， ， ，则AB的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.4
9．数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的
深度（如图），点 为沙坑底面所在圆的圆心， 为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆
周所在的平面上，当他位于 时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点 看到坑底 （甲
同学的视线起点 与点 ，点 三点共线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该
同学列出了如下表达式，其中不正确的是（ ）
A． B． C． D．10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则
EF的长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D．8cm
二、填空题
11．若 ，则 的值为_____．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l、l 于点A、C、E和点B、D、F，如
1 2
果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=______．
13．如图，已知点F在 上，且 ，点D是 延长线上一点，
，连接 与 交于点N，则 __________．
14．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加条件______，能确定△ABC和△ADE相似．
15．如图，在平行四边形 中，延长 至点 ，使 ，连接 与 交
于点 ，则 的值是______．16．如图， 是等边三角形 的边 上一点，且 ： ： ，现将 折
叠，使点 与点 重合，折痕为 ，点 、 分别在 和 上，且 ： 的值为
______．
17．如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为
AE中点，连接DG，若 ，则 ______．
18．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多
边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换
叫做旋转相似变换（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，△ABC是边长为1cm的等
边三角形，将它作旋转相似变化A（ ，90°），则BD长___cm．
三、解答题
19．如图，在等边△ABC中，点E在边AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接CE，以点E为顶点、CE为腰作等腰△ECD，使其底边CD落在射线CB上．
求证：△DEB≌△ECF．
20．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1) 在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△ABC ；
1 1 1
(2) 以点M(1，2)为位似中心，作出△ABC 按2：1放大后的位似图形△ABC ；
1 1 1 2 2 2
(3) 填空：点A 的坐标 ；△ABC与△ABC 的周长比是 ．
2 2 2 2
21．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的
中点，求证：△ADQ∽△QCP．22．如图，在平行四边形 中， 于点 ，点 在 的延长线上，且
，连接 ， ．
(1) 求证：四边形 是矩形；
(2) 若 ， ， ，求
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD
（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）直线BD和CE的位置关系是 ；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD
＝1时，直接写出PB的长．24．如图，已知 ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，
BF、ED的延长线交于△点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．参考答案
1．B
【分析】根据成比例线段的性质求解即可．
解：∵1：50=10:500，
∴长度为10cm的线段实际长为500cm，
故选B．
【点拨】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．
2．C
【分析】先根据DE∥BC证明△ADE∽△ABC，则 ，其中AD＝6，AB＝
6+2＝8，S ADE＝27，通过适当变形求出S ABC的值即可．
△ △
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AD＝6，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝6+2＝8，
∴ ，
∵S ADE＝27，
△
∴S ABC S ADE 27＝48，
△ △
∴△ABC的面积是48，
故选：C．
【点拨】此题考查相似三角形的判定与性质，根据“相似三角形面积的比等于相似比
的平方”列出等式再求出 ABC的面积是解题的关键．
3．B △【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则 ，代入数据即
可得出 的长度．
解：由于P为线段 的黄金分割点，且 是较长线段，
则 ．
故选：B
【点拨】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为
全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄
金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的 ，较长的线段＝原线段的
是解题的关键．
4．C
【分析】要使△ACD∽△CBD，则∠ADC=∠CDB，即可推出∠ADC=∠CDB=90°，则CD
是AB边的垂线即可，由此求解即可．
解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
5．B
【分析】利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
解： 、所有的正方形都相似，故A正确，不合题意；
、菱形的内角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故B不正确；符合题意；
、所有的等腰直角三角形都相似，故C正确，不合题意；
、所有的正五边形边都相似，故D正确，不合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比也
相等的多边形相似，比较简单．
6．B
【分析】根据平行四边形和菱形的判定即可证明A选项；根据菱形的性质和三角形的
面积公式即可证明C选项和D选项；根据△ABC与△FEC的三边长的比即可证明B选项．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC 10，
∵AD BC，AE DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE BC＝5，
∴四边形AECD是菱形，
∴菱形AECD的周长是20，
故A选项正确，不符合题意；
∵四边形AECD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠ACD＝90°，
故C选项正确，不符合题意；
如图，过A作AH⊥BC于点H，∵S ABC BC•AH AB•AC，
△
∴AH ，
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5，
∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，
∴EF＝AH ．
故D选项正确，不符合题意；
在Rt△EFC中，EF ，EC＝5，
∴FC ，
在Rt△CAB中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∵ ， ， ，
∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、菱形的判定
和性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7．C
【分析】根据位似变换的性质解答即可得．
解：∵以原点O为位似中心画△OA′B′，使它与△OAB的相似比为1：4，点A（2，
4），
∴点A的对应点的坐标为（2 ，4 ）或（2×（ ），4×（ ）），即（ ，
1）或（ ，﹣1），
故选：C．【点拨】本题考查了位似图形的概念和性质，解题的关键是掌握这些知识点．
8．B
【分析】根据矩形的性质得到∠B=90°，证明△ABE∽△DGA即可求出AB的长．
解：∵矩形ABCD
∴ ，∠B=90°
∴∠DAG=∠AEB，∠B=∠G=90°
∴△ABE∽△DGA
∴
∴
∴
故选B．
【点拨】本题考查了矩形的性质、三角形相似的判定与性质，解题的关键是找出三角
形相似．
9．D
【分析】根据已知条件先证明 ，根据相似三角形的性质，进行判断即可．
解：∵点O为沙坑底面所在圆的圆心，S为其顶点，
∴ ，
∵甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，
∴ ，
∴ ，
∵视线起点C与点A，点S三点共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ， ，故ABC正确，不符合题意；
无法判断 ，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据题目中的已知条件得出，是解题的关键．
10．C
【分析】首先证明△BOF≌△DOE，得出OE＝OF，再证明△BOF∽△BAD，得出
，然后再根据勾股定理，得出BD的长，进而得出BO的长，再结合相似比，算
出FO的长，即可得出EF的长，从而得出选项．
解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴ ＝ ，
∵BD＝ ＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5× ＝ cm，
∴EF＝2FO＝ cm．
故选：C
【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全
等三角形的性质与判定，勾股定理，根据勾股定理求BD的长是解本题的关键．
11．
【分析】由 ，设 ，然后再代入求解即可．
解：∵ ，设 ，
∴ ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12． ．
解：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，
∵AC：CE=3：5，
∴AC：AE=3：8，
∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∴BD= ，
∴DF= ，
考点：平行线分线段成比例．
13． ##
【分析】过点F作 ，交AC于点E，求出 ，得出 ，根据
已知推出 ，根据平行线分线段成比例定理推出 ，代入化简即可．
解：过点F作 ，交AC于点E，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成
比例，此题具有一定的代表性，但也是比较容易出错的题目，解题关键求出线段之间的关
系．
14． (答案不唯一)
【分析】根据相似三角形的判定方法结合已知添加条件即可．
解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴
故答案为： (答案不唯一)
【点拨】本题考查了相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判
定方法才能灵活根据题意添加适当的条件．
15． ##0.5
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出 ，结合题意即可得出结论．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，AB=CD
∴∆ABF~∆CEF，
∴ ，
∵DE=DC，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，综
合运用这些知识点是解题关键．
16．
【分析】设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝
60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF
＝DE：DF＝4：5，问题得解．
解：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，
∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由△CEF折叠得到△DEF，得
CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5，
∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及
其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．
17． ##0.4
【分析】由三角形中位线可知DG∥BC， ，然后可得 ，进而
根据相似三角形的性质可进行求解．
解：∵BD是△ABC的中线，点G为AE中点，
∴DG∥BC， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角形中
位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18．2
【分析】已知△ABC旋转相似变换A（ ，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝
90°，利用勾股定理可求出BD的值．
解：将△ABC作旋转相似变换A（ ，90°），则 cm，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD＝ ＝2（cm）．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中的旋转
相似是解题的关键．19．详见分析.
【分析】根据全等三角形的判定证明即可．
证明：∵EF∥BC，AB=AC=BC，
∴ ，∠FEC=∠ECD
即得：AE=AF=EF，
∴△AEF是等边三角形
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
∴△DEB≌△ECF（AAS）．
【点拨】此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS证明△DEB≌△ECF．
20．(1)见分析(2)见分析(3)点A 的坐标(3，6)，周长比是1：2
2
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可；
1 1 1
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A，B，C 即可；
1 1 1 2 2 2
（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．
解：(1)如图，△ABC 即为所作；
1 1 1
(2)如图，△ABC 即为所作；
2 2 2
(3)如图，点A 的坐标(3，6)，周长比是1：2．
2
故答案为：(3，6)；1：2．
【点拨】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变
换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
21．证明见分析【分析】由四边形 是正方形可知 ， ，由
，可得 ，由 是 的中点，可得 ，可得
，进而结论得证．
解：证明：∵四边形 是正方形
∴ ，
∵
∴
∵ 是 的中点
∴
∵ ，
∴
∵
∴ ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．解题的关键在于找出相似所
需的条件．
22．(1)证明见分析(2)4
【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再由 得 ，然后由
矩形的判定即可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质求出 长，再根据三角形面积公司即可求解．
解：（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判
定和性质，熟练掌握这些图形的性质与判定是解本题的关键．
23．（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，证明见分析；（3） 或 ．
【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，依据同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质
可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）分为点E在AB上和点E在BA的延长线上两种情况画出图形，然后再证明
△BPE∽△BAD，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
解：（1）BD⊥CE，
理由：延长CE交BD于P，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD⊥CE；
（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE；
（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．∵∠EAC＝90°，
∴CE＝ ＝ ，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∵∠AEC＝∠BEP，
∴∠BPE＝∠EAC＝90°，
∵∠PBE＝∠ABD，
∴△BPE∽△BAD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BP＝ ．
②当点E在BA延长线上时，BE＝3，
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝ ＝ ，
由△BPE∽△BAD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PB＝ ，
综上所述，PB的长为 或 ．
【点拨】本题通过旋转图形的引入，综合考查了三角形全等、三角形相似、直角三角形性质知识点.
24．（1）见分析；（2）CE= .
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得
到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：∵D，E是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴∠ABF=∠DGF，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AB=GD；
（2）∵AB=2，
∴CD=2，DE=1，
∴GE=3，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CG=EG，
∴∠GEC=∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
设CE=x，
则BC=2x，
∴ ，即 ，解得： ，（负值舍去）
∴CE= .
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似
三角形的性质定理是解决本题的关键．
